幂级数的展开式
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初等函数的幂级数展开
一、 泰勒级数
在泰勒定理中曾指出,若函数f在点x0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数,则:
f''(x0)f(n)(x0)2(1) (x-x0)+?+(x-x0)n+Rn(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+2!n!'这里Rn(x)为拉格朗日余项
f(n+1)(?)(2) Rn(x)=(x-x0)n+1
(n+1)!其中,?在x与x0之间,称(1)为f在x0的泰勒展式。
如果在(1)中抹去余项Rn(x),那么在x0附近f可用(1)式右边的多项式来近似代替,如果函数f在x=x0处存在任意阶的导数,这时称形式为
f''(x0)f(n)(x0)2 f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)+?+(x-x0)n+? (3)
2!n!'的级数为函数f在x0的泰勒级数,对于级数(3)是否能在x0附近确切的表达f,或说f在x0的泰勒级数在x0附近的和函数是否就是f,这就是下面要讨论的问题。
先看一个例子: 例1 由于函数
?-x12?f(x)??e,x?0
??0,x?0在x=0处任何阶导数都等于0,即
f(n)(0)=0,n=1,2,?
所以f在x=0的泰勒
幂级数展开的多种方法
幂级数展开的多种方法
摘要:本文通过举例论证的说明方法,系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结
关键词:幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开
在复变函数的学习过程中,我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道,任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的,但在解析函数的研究上,幂级数之所以重要,还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理:
定理 1(泰勒定理)设f?z?在区域D内解析,a?D,只要圆K:z?a?R含于D,则f?z?在K内能展成幂级数f?z???c?z?a?,其中系数
nnn?0?cn??d?n?1?2?i????a?1f???f?n??a?n!.(?:z?a?? 0???R n=0,1,2?)且展式唯
一.
定理2(洛朗定理)在圆环H:r?z?a?R (r?0 R???)内解析的函数
f?z?必可展成双边幂级数f?z????n???cn?z?a?n,其中系数cn??d? n?1?2?i????a?1f??(n?0,?1,?2? ?:z?a?? r???R) 且展式唯一.
这两个定理的存在,使得在函数解析的范围内,我们可以通过幂级数展
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
.
精品 图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式
其中,
。!
4!3!21)(;!
3!21)(;!
21)(;
1)(;
)exp(4
32443
2332
2211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+====
-3-2-10
123
-50
5
101520
25
Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation
X Y
.
精品 图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式
其中,
。!
7!5!3)(;!
5!3)(;!
3)(;
)();
sin(7
53775
3553
3311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-=====
-4-3-2-10
1234
-8-6
-4
-2
2
4
6
8
Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation
X Y
.
精品 图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式
其中,
。!
8!6!4!21)(;!
6!4!21)(;!
4!21)(;!
21)();
二级减速器展开式说明书
阳 泉 学 院
机械设计基础课程设计说明书
设计题目: 带式输送机传动装置 班 级: 机电一体化二班 姓 名: 邵华 学 号: 130522060 指导教师: 张立仁
2014年 12月30日
成绩 签字 日期
目录
第一章 设计任务书…………………………………………………1
§1设计任务……………………………………………………………1
第二章 传动系统方案的总体设计………………………………1
§1电动机的选择 …………………………………………………………1 §2传动比的分配 …………………………………………………………2 §3传动系统的运动和动力学参数设计…………………………………3
第三章 高速级齿轮设计……………………………………………4
§1按齿面强度设计……………………………………………………4 §2按齿根弯曲强度设计…………………………………………………6
第四章 低速级齿轮设计……………………………………………8
§1按齿面强度设计…………………………………
减速器装配图二级展开式
12
435
6
7拆视去盖孔部件
9 48 223.470 1 0351.81 13 54 15 379152 12 0 25 4251 05 4 48947 46 1 1530± 0.3015 5 54 3393 35 14 240 273 687.0934 2 517.667545 44 3 44 21 40439 38 73 6 35 33技4术性特入输功率 k/ 15W 1 17762H 7/h8 181 20985H 7h/ 21 28 2242 4.127894 09 0. 82 52. 5入转速输/(/rim)传n比 i效率动传动η特性m3 Z 1Z 23ZZ 4数 28齿 7 052 09精等度 8级cGB 11 3561-998 c 8GB1 3615-198 98cGB 11365 -19898 c BG 1136-598193 32 31 3032 9 82 7 22 652 8 4743 06 8kH7525 1 2. 3. 4. 5. .. 67.8技术要.求配装,所有前零件需行进清,洗箱体内涂耐油漆油,速减器表面涂外色灰油漆。轮齿合啮隙不侧得于0.1小mm用,丝检铅时查其直不得大径于小侧最的隙格。齿两接触面点沿
机械设计课程设计(二级展开式减速器)
二级展开式圆柱齿轮减速器-机械设计课程设计
目 录
l 设计任务..................................................... 2 电动机的选择计算............................................ 3 传动装置的运动和动力参数计算..............................
4 带传动的设计计算.......................................... 5 传动零件的设计计算.............................................
6 轴的结构设计和强度校核....................................... 7 滚动轴承的选择及计算.......................................... 8 箱体内键连接的选择及校对........................... 9 箱体的结构设计......................................
10 联轴器的选择................
展开式二级圆柱齿轮减速器说明书
晋 中 学 院
机械设计课程设计
题目:二级展开式圆柱斜齿轮减速器
设计者:______ 张伟斌________
学 号:______0914121136_______
班 级:_______ 09师本一 _____
学 院:______ 机械学院 ____ 指导老师______刘刚_____ _____________
2012年 6月 20日目录
1
一、电动机的选择
工作机参数???????????????????????4 由工作条件选择电动机??????????????????4
二、传动系统的参数计算和设定
传动比??????????????????????????6
各轴转速?????????????????????????6 各轴传动功率???????????????????????6 各轴转矩?????????????????????????6
三、齿轮设计
高速级齿轮传动设计??????????????????????7
二级展开式减速器课程设计计算说明书
目 录
§一 减速器设计说明书................................................. 5 §二 传动方案的分析................................................... 5 §三 电动机选择,传动系统运动和动力参数计算 ........................... 6
一、电动机的选择.................................................. 6 二、传动装置总传动比的确定及各级传动比的分配 ...................... 7 三、运动参数和动力参数计算 ........................................ 7 §四 传动零件的设计计算............................................... 8
一、V带传动设计 .................................................. 8 二、渐开线斜齿圆柱齿轮设计 ....................................... 1
二级展开式减速器课程设计计算说明书
目 录
§一 减速器设计说明书................................................. 5 §二 传动方案的分析................................................... 5 §三 电动机选择,传动系统运动和动力参数计算 ........................... 6
一、电动机的选择.................................................. 6 二、传动装置总传动比的确定及各级传动比的分配 ...................... 7 三、运动参数和动力参数计算 ........................................ 7 §四 传动零件的设计计算............................................... 8
一、V带传动设计 .................................................. 8 二、渐开线斜齿圆柱齿轮设计 ....................................... 1
展开式二级圆柱齿轮减速器设计说明书
目录
前 言.............................................................................................................................. 2 第一章 设计说明书 ............................................................................................... 3 §1.1 设计题目 ....................................................................................................... 3 §1.2 工作条件 ....................................................................................................... 3 §1.3原始技术数据(表1) ...............................