双曲线的第三定义

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双曲线的第二定义

标签:文库时间:2025-02-16
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双曲线的第二定义:

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线,其中,定点F叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 1、离心率:

(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比e?(2)范围:e?1;

(3)双曲线形状与e的关系:

2cc?,叫做双曲线的离心率; 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1; 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔; (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约; 2、准线方程:

x2y2a2对于2?2?1来说,相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??,

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?;

ca2b2?0,焦点到准线的距离p?位置关系:x?a?(也叫焦参数); ccy2x2a2对于2?2?1来说,相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??;相

caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。

cyyF2A2F1A1OA2F2xOx

双曲线的第二定义

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双曲线的第二定义:

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线,其中,定点F叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 1、离心率:

(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比e?(2)范围:e?1;

(3)双曲线形状与e的关系:

2cc?,叫做双曲线的离心率; 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1; 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔; (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约; 2、准线方程:

x2y2a2对于2?2?1来说,相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??,

caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?;

ca2b2?0,焦点到准线的距离p?位置关系:x?a?(也叫焦参数); ccy2x2a2对于2?2?1来说,相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??;相

caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。

cyyF2A2F1A1OA2F2xOx

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

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抛物线标准方程与几何性质

一、抛物线定义的理解

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F为抛物线的焦点,定直线l为抛物线的准线。

注:① 定义可归结为“一动三定”:一个动点设为M;一定点F(即焦点);一定直线l(即准线);一定值1(即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1)

② 定义中的隐含条件:焦点F不在准线l上。若F在l上,抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线

③ 圆锥曲线的统一定义:平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹,当0?e?1时,表示椭圆;当e?1时,表示双曲线;当e?1时,表示抛物线。

④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化,与抛物线的定义联系起来,通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程

1.抛物线标准方程建系特点:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系,这样使标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用。

2.四种标准方程的联系与区别:由于选取坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛

双曲线的几何性质教案

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双曲线的几何性质 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 高中数学 人教版 双曲线的几何性质及其应用 知识与技能:掌握双曲线的范围,对称性,顶点,离心率,渐近线等几何性质; 过程与方法:通过联想椭圆几何性质的推导方法,用类比方法双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质,从而培养学生的观察力以及联想类比能力; 情感态度与价值观:让学生充分体验探索、发现数学知识的过程,深刻认识“数”与“形”的关系,培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 适用年级 课时时长(分钟) 高中二年级 60 教学重点 教学难点 双曲线的渐近线及其得出过程 渐近线几何意义的证明 1

教学过程

一、课堂导入

前面我们学习了椭圆及其标准方程,并由标准方程推导出椭圆的几何性质,椭圆的几何性质有哪些? 今天我们以双曲线的标准方程为工具,研究双曲线的几何性质。

2

二、复习预习

双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2)的动点的轨迹叫双曲线。 当2a<2c时,轨迹是双曲线 当2a=2c时,轨迹是两条射线 当2a>2c时,轨迹不存在

如果双曲线的焦点在x轴上,即?Fx2y2F1?c,0?,2?c,0?,则双曲线的标准方程为a2?b2?1;

如果双曲线的焦点在y轴上,即F?0,c?,Fy2x212?0,?c?,则双曲线的

双曲线的简单几何性质

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教学内容:双曲线的简单几何性质 【基础知识精讲】

1.双曲线 - =1的简单几何性质

(1)范围:|x|≥a,y∈R.

(2)对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点:两个顶点A1(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴,长为2a,虚轴长为2b,且c2=a2 b2.与椭圆不同.

(4)渐近线:双曲线特有的性质,方程y=± x,或令双曲线标准方程 -

=1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e= >1,随着e的增大,双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±x,离心率e=

.

(7)共轭双曲线:方程 - =1与 - =-1表示的双曲线共轭,有共

同的渐近线和相等的焦距,但需注重方程的表达形式.

注重:

1.与双曲线 且λ为待定常数)

- =1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - =λ(λ≠0

2.与椭圆 =1(a>b>0)共焦点的曲线系方程可表示为 -

=1(λ<a2,其中b2-λ>0时为椭圆, b2<λ<a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x= 的距离之比等于常数e= (c

>a>0)

双曲线的简单几何性质19

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2.3.2双曲线的简单几何性质

【学习目标】

会分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质,并熟记之;掌握双曲线的渐近线的概念

【预习案】

1、双曲线的简单几何性质

2、等轴双曲线:___________

【小组讨论】

例1、(1)求双曲线9y2-16x2=144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

【课堂检测】

1.已知下列双曲线方程,求它的焦点坐标,离心率和渐近线方程(1)4x2-9y2=36 (2)16x2-9y2= - 144

【课后作业】P53练习1

牛顿第三定律学案

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新课程改革下,引导学生完成课程教学的引导性资料

3.1牛顿第三定律

编写人: 审核人:

班 组 姓 名:

学习目标:

1、知道力的作用是相互的,明确作用力和反作用力的概念。

2、理解牛顿第三定律,理解作用力和反作用力的相同点和不同点。

3、理解作用力和反作用力与平衡力的区别和联系。

学习重点:理解作用力和反作用力,应用牛顿第三定律解题

学习难点:应用牛顿第三定律解题

学法指导:阅读课本进行预习,课堂积极思考讨论

一、自主学习

1.回忆初中学习的力的三要素是: 、 和 。

2.物体之间的 称作力。

3.牛顿第三定律的内容:两个物体之间的作用力和反作用力总是

二自主检测:

1.下列关于力的说法,正确的是( )

A .力是标量

B.有的物体自己就有力,这个力不是另外物体施加的

C.没有施力物体和受力物体,力照样存在

D.施力物体同时也是受力物体

2.用牛顿第三定律判断下列说法中正确的是( )

A.地球对苹果的作用力大于苹果对地球的作用力,故苹果落向地面

B.物体A静止在物体B上,A的质量是B的质量的10倍,所以A作用于

B的力大于B作用于A的力

C.轮船的螺旋浆旋转时向后推

双曲线的简单几何性质2

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学习目标: 1.掌握直线与双曲线的位置关系; 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等 问题; 3.了解与双曲线有关的应用问题.

复习回顾 1:直线与椭圆的位置关系有那些?如何判定? 2:点与椭圆的位置关系有哪些?如何判断?x2 y2 x2 y2 3 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点, 则实数 34 n n 16 n 的值是( B )A.± B.± C.25 D.9 5 3

4.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( C ) 1 3 A.y=± 3x B.y=± x C.y=± 3x D.y=± x 3 3 2 2 x y 5.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲 a b

线的离心率为( A )A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

探究:1.如何判断点与双曲线的位置关系? 2.判断下列直线和双曲线 的位置关系 (1)直线L1:x-y+1=0; (2)直线L2:2x+y-1=0; (3)直线L3:2x-y+ =0 通过这道题目的解答你认为解决直线和双曲线的 位置关系与解决直线和椭圆的位置关系有那些 相同点?有那些不同点?

例1: 已知双曲线x2-y2=4

双曲线与直线的位置关系

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直线与双曲线

一:直线与双曲线位置关系种类Y

O

X

种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)

位置关系与交点个数Y

相交:两个交点O X

相切:一个交点 相离: 0个交点Y

相交:一个交点

O

X

总结

方程组解的个数交点个数 一个交点 0 个交点 相离 相 切 相 交

有没有问题 ? 两个交点 相交

>0 <0

两个交点 0 个交点 一个交点

相交 相离

=0

?

相切相交

天哪 !

[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系 [2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意 味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相 交 ?

实践是检验真理的唯一标准 !请判断下列直线与双曲线之间的位置关系[1]

x y l : x 3 ,c : 1 9 162 2

2

2

相 切

[2]

4 x y l : y x 1 , c : 1 3 9 16回顾一下:判别式情况如何?

相 交

一般情况的研究显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?

b x y l : y x m ,c : 2 2 1 a a b根本就没有判别式 !

2

2

唉 !

椭圆、双曲线的离心率问题

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椭圆、双曲线的离心率问题

丁益祥特级工作室 张留杰

教学目标

1.复习巩固椭圆、双曲线的第二定义、离心率的定义及求离心率的基本方法;

2.从数和形两方面分析椭圆、双曲线的离心率与基本量a、b、c之间的关系,提高学生分析问题、解决问题的能力;强化数形结合思想、方程思想在解题中的应用;

3.通过对各区一模部分试题的分析,培养同学们良好的发散思维品质,增强学习解析几何的兴趣和信心,感受几何图形的美;

4.通过试题变式的训练,提高学生的解题能力,增强研究高考试题的意识,帮助学生树立“通过现象看问题的本质”这一辨证唯物主义观点. 教学重点 离心率的求法 教学难点

快捷地寻找出椭圆、双曲线的基本量之间的相等与不等关系,进而准确地求出离心率或其范围是本节的难点.

教学方法 讲授与启发相结合 教学过程

x2y2

一.回忆:(朝阳0804)已知双曲线C1:2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、

abF2,抛物线C2的顶点在原点,准线与双曲线C1的左准线重合,若双曲线C1与抛物线C2的

交点P满足PF2 F1F2,则双曲线C1的离心率为 ( ) A

B

C

3

D

.a24a22

x; 解:由已知可得抛物线的准线为直