双曲线的第三定义
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双曲线的第二定义
双曲线的第二定义:
到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线,其中,定点F叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 1、离心率:
(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比e?(2)范围:e?1;
(3)双曲线形状与e的关系:
2cc?,叫做双曲线的离心率; 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1; 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔; (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约; 2、准线方程:
x2y2a2对于2?2?1来说,相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??,
caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?;
ca2b2?0,焦点到准线的距离p?位置关系:x?a?(也叫焦参数); ccy2x2a2对于2?2?1来说,相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??;相
caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。
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双曲线的第二定义
双曲线的第二定义:
到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c?c?a?0?的点的轨a迹是双曲线,其中,定点F叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 1、离心率:
(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比e?(2)范围:e?1;
(3)双曲线形状与e的关系:
2cc?,叫做双曲线的离心率; 2aaybc2?a2c2k????1?e2?1; 2aaaF1A1OA2F2x因此e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔; (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约; 2、准线方程:
x2y2a2对于2?2?1来说,相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??,
caba2相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?;
ca2b2?0,焦点到准线的距离p?位置关系:x?a?(也叫焦参数); ccy2x2a2对于2?2?1来说,相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??;相
caba2对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。
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圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F为抛物线的焦点,定直线l为抛物线的准线。
注:① 定义可归结为“一动三定”:一个动点设为M;一定点F(即焦点);一定直线l(即准线);一定值1(即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1)
② 定义中的隐含条件:焦点F不在准线l上。若F在l上,抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线
③ 圆锥曲线的统一定义:平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹,当0?e?1时,表示椭圆;当e?1时,表示双曲线;当e?1时,表示抛物线。
④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化,与抛物线的定义联系起来,通过这种转化使问题简单化。
二、抛物线标准方程
1.抛物线标准方程建系特点:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系,这样使标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用。
2.四种标准方程的联系与区别:由于选取坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 高中数学 人教版 双曲线的几何性质及其应用 知识与技能:掌握双曲线的范围,对称性,顶点,离心率,渐近线等几何性质; 过程与方法:通过联想椭圆几何性质的推导方法,用类比方法双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质,从而培养学生的观察力以及联想类比能力; 情感态度与价值观:让学生充分体验探索、发现数学知识的过程,深刻认识“数”与“形”的关系,培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 适用年级 课时时长(分钟) 高中二年级 60 教学重点 教学难点 双曲线的渐近线及其得出过程 渐近线几何意义的证明 1
教学过程
一、课堂导入
前面我们学习了椭圆及其标准方程,并由标准方程推导出椭圆的几何性质,椭圆的几何性质有哪些? 今天我们以双曲线的标准方程为工具,研究双曲线的几何性质。
2
二、复习预习
双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于F1F2)的动点的轨迹叫双曲线。 当2a<2c时,轨迹是双曲线 当2a=2c时,轨迹是两条射线 当2a>2c时,轨迹不存在
如果双曲线的焦点在x轴上,即?Fx2y2F1?c,0?,2?c,0?,则双曲线的标准方程为a2?b2?1;
如果双曲线的焦点在y轴上,即F?0,c?,Fy2x212?0,?c?,则双曲线的
双曲线的简单几何性质
教学内容:双曲线的简单几何性质 【基础知识精讲】
1.双曲线 - =1的简单几何性质
(1)范围:|x|≥a,y∈R.
(2)对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点:两个顶点A1(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴,长为2a,虚轴长为2b,且c2=a2 b2.与椭圆不同.
(4)渐近线:双曲线特有的性质,方程y=± x,或令双曲线标准方程 -
=1中的1为零即得渐近线方程.
(5)离心率e= >1,随着e的增大,双曲线张口逐渐变得开阔.
(6)等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±x,离心率e=
.
(7)共轭双曲线:方程 - =1与 - =-1表示的双曲线共轭,有共
同的渐近线和相等的焦距,但需注重方程的表达形式.
注重:
1.与双曲线 且λ为待定常数)
- =1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - =λ(λ≠0
2.与椭圆 =1(a>b>0)共焦点的曲线系方程可表示为 -
=1(λ<a2,其中b2-λ>0时为椭圆, b2<λ<a2时为双曲线)
2.双曲线的第二定义
平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x= 的距离之比等于常数e= (c
>a>0)
双曲线的简单几何性质19
2.3.2双曲线的简单几何性质
【学习目标】
会分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质,并熟记之;掌握双曲线的渐近线的概念
【预习案】
1、双曲线的简单几何性质
2、等轴双曲线:___________
【小组讨论】
例1、(1)求双曲线9y2-16x2=144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
【课堂检测】
1.已知下列双曲线方程,求它的焦点坐标,离心率和渐近线方程(1)4x2-9y2=36 (2)16x2-9y2= - 144
【课后作业】P53练习1
牛顿第三定律学案
新课程改革下,引导学生完成课程教学的引导性资料
3.1牛顿第三定律
编写人: 审核人:
班 组 姓 名:
学习目标:
1、知道力的作用是相互的,明确作用力和反作用力的概念。
2、理解牛顿第三定律,理解作用力和反作用力的相同点和不同点。
3、理解作用力和反作用力与平衡力的区别和联系。
学习重点:理解作用力和反作用力,应用牛顿第三定律解题
学习难点:应用牛顿第三定律解题
学法指导:阅读课本进行预习,课堂积极思考讨论
一、自主学习
1.回忆初中学习的力的三要素是: 、 和 。
2.物体之间的 称作力。
3.牛顿第三定律的内容:两个物体之间的作用力和反作用力总是
二自主检测:
1.下列关于力的说法,正确的是( )
A .力是标量
B.有的物体自己就有力,这个力不是另外物体施加的
C.没有施力物体和受力物体,力照样存在
D.施力物体同时也是受力物体
2.用牛顿第三定律判断下列说法中正确的是( )
A.地球对苹果的作用力大于苹果对地球的作用力,故苹果落向地面
B.物体A静止在物体B上,A的质量是B的质量的10倍,所以A作用于
B的力大于B作用于A的力
C.轮船的螺旋浆旋转时向后推
双曲线的简单几何性质2
学习目标: 1.掌握直线与双曲线的位置关系; 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等 问题; 3.了解与双曲线有关的应用问题.
复习回顾 1:直线与椭圆的位置关系有那些?如何判定? 2:点与椭圆的位置关系有哪些?如何判断?x2 y2 x2 y2 3 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点, 则实数 34 n n 16 n 的值是( B )A.± B.± C.25 D.9 5 3
4.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( C ) 1 3 A.y=± 3x B.y=± x C.y=± 3x D.y=± x 3 3 2 2 x y 5.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲 a b
线的离心率为( A )A. 2
B. 2
C. 3
D. 2 2
探究:1.如何判断点与双曲线的位置关系? 2.判断下列直线和双曲线 的位置关系 (1)直线L1:x-y+1=0; (2)直线L2:2x+y-1=0; (3)直线L3:2x-y+ =0 通过这道题目的解答你认为解决直线和双曲线的 位置关系与解决直线和椭圆的位置关系有那些 相同点?有那些不同点?
例1: 已知双曲线x2-y2=4
双曲线与直线的位置关系
直线与双曲线
一:直线与双曲线位置关系种类Y
O
X
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)
位置关系与交点个数Y
相交:两个交点O X
相切:一个交点 相离: 0个交点Y
相交:一个交点
O
X
总结
方程组解的个数交点个数 一个交点 0 个交点 相离 相 切 相 交
有没有问题 ? 两个交点 相交
>0 <0
两个交点 0 个交点 一个交点
相交 相离
=0
?
相切相交
天哪 !
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系 [2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意 味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相 交 ?
实践是检验真理的唯一标准 !请判断下列直线与双曲线之间的位置关系[1]
x y l : x 3 ,c : 1 9 162 2
2
2
相 切
[2]
4 x y l : y x 1 , c : 1 3 9 16回顾一下:判别式情况如何?
相 交
一般情况的研究显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
b x y l : y x m ,c : 2 2 1 a a b根本就没有判别式 !
2
2
唉 !
椭圆、双曲线的离心率问题
椭圆、双曲线的离心率问题
丁益祥特级工作室 张留杰
教学目标
1.复习巩固椭圆、双曲线的第二定义、离心率的定义及求离心率的基本方法;
2.从数和形两方面分析椭圆、双曲线的离心率与基本量a、b、c之间的关系,提高学生分析问题、解决问题的能力;强化数形结合思想、方程思想在解题中的应用;
3.通过对各区一模部分试题的分析,培养同学们良好的发散思维品质,增强学习解析几何的兴趣和信心,感受几何图形的美;
4.通过试题变式的训练,提高学生的解题能力,增强研究高考试题的意识,帮助学生树立“通过现象看问题的本质”这一辨证唯物主义观点. 教学重点 离心率的求法 教学难点
快捷地寻找出椭圆、双曲线的基本量之间的相等与不等关系,进而准确地求出离心率或其范围是本节的难点.
教学方法 讲授与启发相结合 教学过程
x2y2
一.回忆:(朝阳0804)已知双曲线C1:2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、
abF2,抛物线C2的顶点在原点,准线与双曲线C1的左准线重合,若双曲线C1与抛物线C2的
交点P满足PF2 F1F2,则双曲线C1的离心率为 ( ) A
B
C
.
3
D
.a24a22
x; 解:由已知可得抛物线的准线为直