数学建模动态规划matlab编程与例题精讲

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第四章动态规划

§1 引言

1.1 动态规划的发展及研究内容

动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20 世纪50 年代初R. E. Bellman 等人在研究多阶段决策过 程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of

optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程 优化问题的新方法—动态规划。1957 年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这 是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广 泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动 态规划方法比用其它方法求解更为方便。

虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时

间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为 多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是

信息学竞赛中的动态规划专题

哈尔滨工业大学 周谷越

【关键字】

动态规划 动机 状态 典型题目 辅助方法 优化方法 【摘要】 本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法，从动机入手，讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。纵观全文可知，动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。

【目录】

1.动态规划的动机和基本思想

1.1.解决重复子问题 1.2.解决复杂贪心问题 2.动态规划状态的划分方法

2.1.一维状态划分

2.2.二维状态划分 2.3.树型状态划分

3.动态规划的辅助与优化方法 3.1.常见辅助方法 3.2.常见优化方法 4.近年来Noi动态规划题目分析 4.1 Noi2005瑰丽华尔兹 4.2 Noi2005聪聪与可可 4.3 Noi2006网络收费 4.4 Noi2006千年虫

附录 参考书籍与相关材料

信息学竞赛中的动态规划专题

1.动态规划的动机和基本思想

首先声明，这里所说的动态

1、生产库存问题

例 某厂在年末估计，下年4个季度市场对该厂某产品的需求量均为dk=3 (k=1,2,3,4)，该厂每季度生产此产品的能力为bk=5 (k=1,2,3,4,)。每季度生产这种产品的固定成本为F=13（不生产时为0），每一产品的单位变动成本为C=2。本季度产品如不能售出，则需发生库存费用g=1/件，仓库能贮存产品的最大数量Ek=4。试问如何安排4个季度的生产，以保证在满足市场需求的前提下，使生产和库存总量用最小?

解：首先分析一下这类问题。设xk—第k季度的计划生产量，sk—第k季度初的库存，?1,xk?0，可以得到数学模型： yk??0,x?0k?4?13yk?2xk?sk?1?min?k?1?s.t.sk?1?sk?xk?3??。 ?xk?(3?4)yk?xk?5??sk?4??xk,sk?0,yk?0or1k?1,2,3,4??显然，这个问题是一个混合整数规划。但由于这类问题可以按时间先后顺序分成四个阶段，故可用动态规划方法求解。

(1) 将每个季度看作一个阶段，就有一个四阶段的决策问题。

(2)Sk--第k季度初的仓库库存量，在问题中，s1=s5=0, 0?sk?E?3,k=2,3,4。 (3) xk--第k季度的生产

磁场专题复习与例题精讲

磁 场

【内容和方法】

本单元内容包括磁感应强度、磁感线、磁通量、电流的磁场、安培力、洛仑兹力等基本概念，以及磁现象的电本质、安培定则、左手定则等规律。

本单元涉及到的基本方法有，运用空间想象力和磁感线将磁场的空间分布形象化是解决磁场问题的关键。运用安培定则、左手定则判断磁场方向和载流导线、运动的带电粒子受力情况是将力学知识与磁场问题相结合的切入点。

【例题分析】

在本单元知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：不能准确地再现题目中所叙述的磁场的空间分布和带电粒子的运动轨迹：运用安培定则、左手定则判断磁场方向和载流导线、运动的带电粒子受力情况时出错；运用几何知识时出现错误；不善于分析多过程的物理问题。

例1 如图10-1，条形磁铁平放于水平桌面上，在它的正中央上方固定一根直导线，导线与磁场垂直，现给导线中通以垂直于纸面向外的电流，则下列说法正确的是： [ ]

A．磁铁对桌面的压力减小

B．磁铁对桌面的压力增大

C．磁铁对桌面的压力不变

D．以上说法都不可能

【错解分析】错解：磁铁吸引导线而使磁铁导线对桌面有压力，选B。

错解在选择研究对象做受力分析上出现问题，也没有用牛顿第三定律来分析导线对磁铁的反作用力作用到哪里。

【正确解答】

通电

matlab入门知识

数学建模与数学实验MATLAB入门 入门

后勤工程学院数学教研室

matlab入门知识

●

MATLAB作为线性系统的一种分析和仿真

工具，是理工科大学生应该掌握的技术工具，它 作为一种编程语言和可视化工具，可解决工程 工程、 工程 科学计算和数学学科 科学计算 数学学科中许多问题。 数学学科 向量、数组 矩阵的基 ● MATLAB建立在向量 数组 矩阵 向量 数组和矩阵 础上，使用方便，人机界面直观，输出结果可 视化。 ● ● 矩阵是MATLAB的核心 矩阵 MATLAB的进入与运行方式(两种)

matlab入门知识

MATLAB入门 入门一、变 量 与 函 数 二、数 三、 矩 组 阵

四、 MATLAB编程 编程 五、 实 验 作 业

matlab入门知识

一、变 量 与 函 数1、变量 、 MATLAB中变量的命名规则 命名规则是： 命名规则 (1)变量名必须是不含空格的单个词； (2)变量名区分大小写； (3)变量名最多不超过19个字符； (4)变量名必须以字母打头，之后可以是 任意字母、数字或下划线，变量名中 不允许使用标点符号.

matlab入门知识

特殊变量表特殊变量 ans pi eps flops inf NaN i,j na

《Matlab与数学建模》综合练习

1．按顺序进行如下的操作：

（1）产生一个5阶魔术方阵A；并计算A'与A-1(即inv(A))； >> A=magic(5) A =

17 24 1 23 5 7 4 6 13 10 12 19 11 18 25

>> A'

ans =

17 23 4 24 5 6 1 7 13 8 14 20 15 16 22 >> inv(A)

ans =

-0.0049 0.0512 0.0431 -0.0373 -0.0303 0.0031 0.0047 -0.0065 0.0028 0.0050

（2）求A的特征值；>> P=poly(A) P =

1.0e+006 *

0.0000 -0.0001

>> roots(P)

8 15 14 16 20 22 21 3 2

一、人体重变化

某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克? 天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、 问题分析

人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。

二、 模型假设

1、 以脂肪形式贮存的热量100%有效

2、 当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、 假设体重的变化是一个连续函数 4、 初始体重为W0

三、 模型建立

假设在△t时间内：

体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；

身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；

转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；

四、 模型求解

d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得：

(-69t/41686)

5429-69

第六章 数学实验与数学建模

学习目标

1.掌握利用Matlab软件进行了相关的数学运算的方法. 2.以软件辅助来完成数学实验.

3.了解数学建模思想方法，能够对一些简单问题建立数学模型求解分析.

教学要求

能力模块 运算能力 能力要求 要求学生知道数学中运算所对应的相关 相关知识点 （1）数学的相关知识 Matlab基本函数及其用法，并能够运用相 （2）Matlab软件的语法 关函数完成数学的基本运算。 实验能力 要求学生能够以软件作为辅助工具，按 要求完成相关实验 建模能力 要求学生了解数学建模的思想方法，具备 一些基本的数学建模的 一定的数学建模能力 方法 （3）相关函数的用法 线性代数中的相关数学理 论与思想方法 Matlab是Mathworks公司推出的用于数值计算的交互式软件系统，具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示和建模仿真功能. Matlab是“Matrix Laboratory”的缩写，意思是“矩阵实验室”，其强大的数据处理能力和丰富的工具箱使它的编程极为简单， 因此，它成为科学家和工程技术人员解决实际问题的首选计算工具软件。

本章的第一节主要介绍Matlab软件的简单使用方法，从第二节到第六节在讲解Matla

UG编程精讲

建议：

初学者首先把每个指令特有的图标熟记，因为仔细观察，会发现图标已经将命令自身的含义表述的非常清楚,理解后更容易学习。

切削方式： 往复

: 最常用在加工无边界和凸起的平面，刀路只走直线，来回切削。优点：来回

走刀效率高，刀路美观，加工表面度好。

UG编程生成刀路的原理：根据工件的外形轮廓，依次往外或者往内按照一定步进距离一圈一圈的偏置。比如一个平面中心有个8字形的凸起（也叫岛屿），那么我们生成的开粗刀路就是8字形，然后8字形的刀路一圈一圈往外扩。

跟随工件

：最常用的一种切削走刀方式，一定熟记。其根据最大外形轮廓向外

或向内偏置。并且按照最优的路径往复切削不单是走直线，而且可以走曲线，属于两轴联动。 优点：可以加工任何形状规则或者不规则的产品，自动生成最优的切削路径，对工件整体开

粗，快速去掉大量的余料。效率高（对比跟随周边模式）。缺点：抬刀较多（很多时候可以接受），只适合粗加工和半精加工。 需要特别注意设置的参数：

1切削—连接---打开刀路—变换切削方向（进一步减少抬刀次数）

2 方法—传送方式：如果选择先前平面模式，则进给率选项--横越值一定要赋予一个数值，比如6000.或8000

清角：用于型腔开粗后，换刀加工的必要步骤，大直

《Matlab与数学建模》综合练习

1．按顺序进行如下的操作：

（1）产生一个5阶魔术方阵A；并计算A'与A-1(即inv(A))； >> A=magic(5) A =

17 24 23 5 4 6 10 12 11 18

>> B=A' B =

17 23 24 5 1 7 8 14 15 16

>> inv(A)

ans =

-77/15600 133/2600 89/2063 -97/2600 -59/1950 1/325 73/15600 -17/2600 43/15600