行列式分解因式技巧
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利用行列式分解因式
数学系数学与应用数学专业09级本科毕业论文(设计)
用行列式分解因式的几种方法
摘 要 因式分解作为初等数学中最重要的恒等变形之一,被广泛的应用于初等数学的各个方面,而我们也学习过很多种因式分解的方法,例如:提公因式法、运用公式法、十字相乘法、凑数法等,它们都符合一定特征的多项式的分解。而行列式是解决高等代数问题的重要工具之一,本文就通过各种典型例子,用高等数学工具行列式来解决初等代数中的一些因式分解问题。 关键词 因式分解 行列式 多项式
1. 引 言
因式分解(factorization),是指把一个多项式化为几个最简整式的形式,也可以称为分解因式。它是初等数学中的重点,也是一个难点,但是它也是初等数学中最重要的恒等变形之一,而被广泛引用于初等数学解高次方程、求根、作图等各个方面,是我们解决初等数学问题的有力工具之一。但因式分解方法灵活、技巧性强,常用的方法就有提公因式法、运用公式法、凑数法、十字相乘法、待定系数法等好几种方法,它们都各自适用于一些符合各自特点的多项式。
行列式在数学中,是由解线性方程组产生的一种算式,它无论在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如在换元积分法中),行列式作为基本的数学工
行列式 -
第一章 行列式
行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用,是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中,它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n阶行列式定义和性质
1.二阶行列式
定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子(或符号)
a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式,行列式中每一个数称为行列式的元素,数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第
2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成,两行两列;展开式是一个数或多项式;若是多项式则必有2!?2项,且正负项的各数相同。
应用:解线性方程
例1:二阶线性方程组
?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解:D?
a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21,D1??a11b2?b1a21
x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2,
D2
行列式的计算技巧和方法总结
WORD 格式整理
专业技术参考资料 计算技巧及方法总结
一、 一般来说,对于二阶、三阶行列式,可以根据定义来做
1、二阶行列式
2112221122
211211a a a a a a a a -= 2、三阶行列式
33
3231232221
131211
a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504
3
21-
解 =-6
015043
21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??-
4810--=.58-=
但是对于四阶或者以上的行列式,不建议采用定义,最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ221122*********= 下三角形行列式 nn
n n a a a a a a ΛΛΛ
ΛΛΛ
Λ
21222111000.2211nn a a a Λ=
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1 定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.
00例1 计算行列式
040030020010. 00?24项,但由解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有4!于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4.显然,如果j1?4,那么a1j1?0,从而这个项就等于零.因此只须考虑j1?4的项,同理只须考虑
j2?3,j3?2,j4?1的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有
??6,所以此项取正号.故 a14a23a32a41,而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式. 2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
1
a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann,?00???ann?000?a11a22?ann.
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1 定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.
00例1 计算行列式
040030020010. 00?24项,但由解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有4!于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4.显然,如果j1?4,那么a1j1?0,从而这个项就等于零.因此只须考虑j1?4的项,同理只须考虑
j2?3,j3?2,j4?1的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有
??6,所以此项取正号.故 a14a23a32a41,而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式. 2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
1
a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann,?00???ann?000?a11a22?ann.
线性代数 - 特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结
一、 几类特殊行列式
1. 上(下)三角行列式、对角行列式(教材P7例5、例6) 2. 以副对角线为标准的行列式
a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式(教材P14例10)
一般化结果:
An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm
Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm
4. 范德蒙行列式(教材P18例12) 注:4种特殊行列式的结果需牢记!
以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握!!! 二、 低阶行列式计算
二阶、三阶行列式——对角线法则 (教材P2、P3) 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】
1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式;
2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式;
3) 利用行列式的行(列)扩展定理以及行列式的性质,将行列式降阶进行计算
——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素,并
线性代数 - 特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结
一、 几类特殊行列式
1. 上(下)三角行列式、对角行列式(教材P7例5、例6) 2. 以副对角线为标准的行列式
a11a21?ann?(?1)a12?a1na22??0n(n?1)20000?an2????0a2,n?1?an,n?1a1na2n?an?1,nann?000??000a1n00 0?0???00an10?a2,n?1an?1,2?an?1,n?1an1?a1na2,n?1?an13. 分块行列式(教材P14例10)
一般化结果:
An0m?n0n?mBmAnCm?nCn?mBm??AnCm?nAn0m?n0n?mBm?An?Bm
Cn?mBm?(?1)mnAn?Bm
4. 范德蒙行列式(教材P18例12) 注:4种特殊行列式的结果需牢记!
以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握!!! 二、 低阶行列式计算
二阶、三阶行列式——对角线法则 (教材P2、P3) 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】
1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式;
2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式;
3) 利用行列式的行(列)扩展定理以及行列式的性质,将行列式降阶进行计算
——适用于
行列式计算7种技巧7种手段
行列式计算7种技巧7种手段
【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读
一7种技巧:
【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=Da11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann?a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?annT
技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 a11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann??a21a11?an1a22a12?an2???a2na1n?ann
技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
行列式的计算
行列式的计算方法
摘要:行列式计算的技巧性很强.理论上,任何一个行列式都可以按照定义进行计算,但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的.本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上,对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨.总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径. 关键词: 行列式 计算方法
行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则
对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种,记忆起来很方便,但它只适用于二阶和三阶行列式,四阶及以上的行列式就不能采用此方法. 2.定义法
根据行列式定义可知,如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ,可以直接利用行列式的定义求解,或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) .如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律,如上(下) 三角形行列式
行列式发展历史
行列式发展历史
我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式有一定的计算规则,利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,也就是说行列式代表着一个数。
行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
1693年4月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年,瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704~1752) 在其著作《线性代数分析导引》中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后,数学家贝祖 (E.Bezout,1730~1783) 将确定行列式每一项符号的方法