导数与极限小结

一、函数与极限 导数 导数的应用

一、填空题

x a

(1) 设a为非零常数，则lim . x x a x 2a (2) 设lim 8，则a . x x a

1,|x| 1,

(3) 设函数f(x) ，则f[f(x)] .

0,|x| 1,

(4) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a (5) 若f(t) limt(1 )

x

x

x

1

23

1x

2tx

，则f (t)

123

(6) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a . (7) 已知f (3) 2，则lim

h 0

f(3 h) f(3)

2h

x 1 t2,d2y(8) 设 则2

y cost,dx

(9) x 0

．

2sinx

(10) lim 1 3x

x

.

1 1

sinxx 3sinx x2cos ． (12) lim

x 0(13) lim( ) 2x 0x(11) limcotx

x 0

(14) 当x y x 2x取得极小值。

(15) 对数螺线 e在点( , ) (e,)处的切线的直角坐标方程为．

2y2

(16) 已知函数y y(x)由

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

两个重要极限

第一个重要极限：lim

推论：lim

第二个重要极限：lim(1 )x e

x

sinx

1

x 0x

tanxarcsinxarctanx 1，lim 1，lim 1

x 0x 0x 0xxx

1

x

1其他形式：lim(1 n e,n n

推论：lim

lim 1 x e

x 0

1x

loga(1 x)1ln(1 x)

lim 1

x 0x 0xlnax

ax 1ex 1lim lna lim 1 x 0x 0xx

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

等价无穷小

当x 1时，lnx x 1（这个等价无穷小很有用。） 证明：lnx ln[1 (x 1)] x 1（ x 1 0）

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

导 数

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

高阶导数

函数f(x)在点x0注 如果函数f(x)在点x0处的二阶可导，则函数f(x)在点x0的某个邻域内必须有连续的导数

f (x)。

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

uv

n

k n k k

Cnuv k 0

n

或

(uv)

(n)

n(n 1)...(n k 1)(n k)(k)

v

k!k 0

n

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

求导法则和方法

编制人： 田侠侠 审核人：郭小红 日期： 2013.11.26 编号： 高二数学组（文科） 班级： 姓名： 组别： 评价：

导数应用小结

使用说明：

1.阅读课本第四章导数应用全部内容，掌握本章知识点. 2.完成设置的问题，然后结合基础知，完成本学案内容.

预习案 知识体系总览

平均变化率 导数概念 瞬时变化率 导导数的几何意义 数 几个初等函数的导数 导数的运算法则 函数的单调性 导数在研究函数中的应用 函数的极值和最值 生活中的优化问题

知识梳理

1.导数的概念_____________________________________________ 2导数的几何意义：

3. 求函数y?f(x)的导数的一般方法： （1）求函数的改变量．_____________________ （2）求平均变化率．_____________________ （3）取极限，得导数________________

4.y?f(x)上点（x0,f(x0)）处的切线方程为_______________

教师指导实验4

实验名称：极限和导数的运算

一、问题：求一元函数的极限和导数。 二、实验目的：

学会使用Mathematica求数列和一元函数的极限（包括左极限、右极限），会求一元函数的导数，及利用导函数求原函数的单调区间和极值。 三、预备知识：本实验所用的Mathematica命令提示

1、Limit[f,x→x0] 求函数f(x) 在x→x0时的极限；

2、Limit[f,x→x0,Direction→-1] 求函数f(x) 在x→x0时的右极限；

Limit[f,x→x0,Direction→1] 求函数f(x) 在x→x0时的左极限； 3、D[f, var] 求函数f(x) 对自变量var的导数；

SetAttributes[k,Constant] 设定k为常数；

4、FindMinimum[f, {x, x0}] 从x0出发求函数f(x)的一个极小值点和极小值。 四、实验的内容和要求：

n1?1?1、求数列的极限lim?1??、lim?；

n??n??i(i?1)n??i?11sinx2、求函数的极限lim、limtanx；limx(ex?1)

x???/2x??x?0xn223、求下列函数的导数；sinx?cosnx、cosx?l

极限和导数

相关知识

1.导数的有关概念。 (1)定义：

函数y=f(x)的导数f(x)，就是当?x?0时，函数的增量?y与自变量的增量?x的比极限，即f(x)?lim//

?y的?x?yf(x??x)?f(x)?lim。

?x?0?x?x?0?x(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。 (3)几何意义：

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。 2． 求导的方法： (1)常用的导数公式：

C=0（C为常数）； (x)=mx(m∈Q); (sinx)=cosx; (cosx)= -sinx ; (e)=e; (a)=alna

x/

x

x/

x//

m/

m-1

/

(lnx)/?1; x1(logax)/?logae.

x(2)两个函数的四则运算的导数：

(u?v)/?u/?v/;(uv)/?u/v?uv/;/

u/v?uv/?u?(v?0).???2v?v?(3)复合函数的导数：y3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。

当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f(x)>0，则f(x)为增函数；如果f(x)<0，则f(x)为减函数。

用心 爱心 专心

- 1 -

/

/

/x?y/u?u/x

(2)极大值和

全国名校高考专题训练12导数与极限(选择题)

1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是（ ）

A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16 答案：A

2、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若limx?0f(x)(x?1)存在，则f(x)不可能为2x?x（ ）

Ａ．x2； Ｂ．|x|； Ｃ．x； Ｄ．?x； 答案：B

3、(江西省五校2008届高三开学联考)设函数f(x)?sin(?x?最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是

A．x?C．x??6)?1(??0)的导数f?(x)的

?9

B．x?D．x??6

?3?2

答案：A

4、(江西省五校2008届高三开学联考)已知f?3??2,f??3???2,则limA．－4 B．8 C．0 D．不存在 答案：B

5、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)函数f(x)在x?x0处连续是f(x)在x?x0处有极限的

(A)充分不必要条件 (B)必

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则 二、两个重要极限sin x lim =1 x→0 x1 n lim(1 + ) = e n→∞ n上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则1.夹逼准则 1.夹逼准则准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:

的极限存在, 那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a . →∞n

(1) yn ≤ xn ≤ z n ( n = 1,2,3L) ( 2) lim yn = a , lim zn = a , →∞ →∞n→ ∞ n→ ∞

证 Q yn → a ,

zn → a ,

ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

当 n > N 1时恒有 y n a < ε,当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,

取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a ε < y n < a + ε,

上两式同时成立, 上两式同时成立

a ε < z n

福建省高考文科数学第二轮：函数与导数题型小结

福建省高考文科数学第二轮：函数与导数题型小结

1.高考考点 (1)导数概念及其几何意义. ① 了解导数概念的实际背景； ② 理解导数的几何意义. (2)导数的运算.

①能根据导数定义求函数y = C,y = x,y = x 2, 1 y = 的导数； x②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数； ③常见基本初等函数的导数公式； ④常用导数运算法则

福建省高考文科数学第二轮：函数与导数题型小结

(3)导数在研究函数中的应用. ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中 多项式函数不超过三次); ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多 项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 2.易错易漏 ①对导数概念以及导数概念的某些实际背景 (如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率)未 能认真理解；

福建省高考文科数学第二轮：函数与导数题型小结

②求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点 的必要条件，但不是充分条件； ③求曲线在某一点处的切线与过某一点的切线的

第一章 函数与极限

一、填空题 1．已知f(sin1x2)=1+cosx，则f(cos1xx2)= 。

2．f(x)?ex?e1?1，则f(x)连续区间为 ，f(?0)= ，

ex?exf(?0)= 。

(4?3x)223．limx??x(1?x) = 。

4．x?0时，tgx?sinx是x的 阶无穷小。 5．limxsinx?0k1x=0成立的k为 。

6．limeatctgx? 。

x???x?ex?1,x?07．f(x)??，在x=0处连续，则b= 。

?x?b,x?08．limln(3x?1)6xx?0? 。

二、单项选择题

1．设f(x)、g(x)是[?l,l]上的偶函数，h(x)是[?l,l]上的奇函数，则 所给的函数必为奇函数。

（A）f(x)?g(x)；（B）f(x)?h(x)；(C)f(x)[h(x)?g(x)]；（D）f(x)g(x)h(x)

第十

第一节 数列的极限 一、选择题

1、数列{an}满足lim[( 2 n – 1 )an] = 2，则

n?? 极限与导数

lim( nan)＝ （ ）

n??A

12 B

13 C 1 D不存在

a?bnnnn2、已知a,b 是互不相等的正数，则lim＝（ ）

n??a?b

A 1 B -1或 1 C 0 D -1或0 3、limC2nn?1nn??C2n?2? （ ）

12A 0 B 2 C D

214

n4、设f (x) =(1?x)?(1?x)?…(1?x)，在f(x)中x的系数为Tn，则limA 1 B

162Tn3n??n?2n= ( )

C

13 D 2

an?cbn?c1、 已知a 、b 、c 是常数，且limn???2

limA

bn?c22n??cn?b?3，则lim16an?c22n??cn?a? （ ）

32112 B