正定矩阵的定义

第1篇：正定矩阵的几种经典证明方法

科技论坛　正定矩阵的几种经典证明方法　封京梅　（陕西广播电视大学，陕西西安７１０１１９）　摘要：矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而正定　矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究，本文主要利用特征值，单位矩阵，上三角矩阵，可逆矩阵等　知识给出正定矩阵的几种证明方法和一些性质，希望能起到推广正定矩阵应用的作用。　关键词：正定矩阵；可逆矩阵；特征值；主子式　零，由归纳法的假设可知Ａ。是正定矩阵，换句话说存在可逆的ｎ一１　引言　ｑ　ｑ　矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在　级矩阵Ｇ使Ｇ　ＡＧ＝　（Ｅ　是ｎ一１级单位矩阵），　解线性方程组时的应用上。而经过近几年的发展，矩阵论已经是代　数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受　到了人们的广泛关注．但是正定矩阵的证明方法一直成为我们应用　正定矩阵的瓶颈，为此我们将给出几种经典的证明方法及重要性　质．首先，对以下名词加以说明：　①正定矩阵：实数域Ｒ上二次型刷＝ｘ＇Ａｘ，若对任意　一　，恐，‘‘　）　∈　，Ｘｏ；０均有价。Ｊ＞０，则称ｇｘ）为正定

广义正定矩阵P_E广义的正定矩阵FP_E复广义正定矩阵(CP)_D子集合类论文 正定矩阵在概率论,物理学、几何学等一些学科中都有重要的应用,但随着数学本身及应用矩阵的其它学科或领域(如投入产出的矩阵理论、数学规划、现代控制等)的发展,越来越不能满足其应用需要,于是广义正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做了许多重要研究工作

三类广义正定矩阵的研究

【摘要】 正定矩阵在概率论,物理学、几何学等一些学科中都有重要的应用,但随着数学本身及应用矩阵的其它学科或领域(如投入产出的矩阵理论、数学规划、现代控制等)的发展,越来越不能满足其应用需要,于是广义正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做了许多重要研究工作,本文在前人研究的基础上对广义正定矩阵的性质、判定、做了进一步的讨论研究,获得了相应的一些结论。第一章首先介绍了广义正定矩阵的研究背景、应用及其研究现状,然后介绍了其他章节的主要内容,最后给出了几个常用定义的约定。第二章对广义的正定矩阵PE在已有的结果的基础上,进行了特征值的分布或其他方面补充。第三章将广义的正定矩阵PE进行了推广到FPE,并对它的性质,充要条件进行了研究,而且又补充了它的子集合类独特的性质。第四章将复正定矩阵(CP)I推广到的复广义正定

本科生学年论文（设计）

论文（设计）题目 正定矩阵的性质及应用 作 者 分院、 专业 理学分院数学与应用数学专业 班 级

指导教师（职称） 字 数 5488 成果完成时间

正定矩阵的性质及应用

摘 要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨． 关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用

The nature and application of positive definite matrices

Abstract：We are o

广义正定矩阵P_E广义的正定矩阵FP_E复广义正定矩阵(CP)_D子集合类论文 正定矩阵在概率论,物理学、几何学等一些学科中都有重要的应用,但随着数学本身及应用矩阵的其它学科或领域(如投入产出的矩阵理论、数学规划、现代控制等)的发展,越来越不能满足其应用需要,于是广义正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做了许多重要研究工作

三类广义正定矩阵的研究

【摘要】 正定矩阵在概率论,物理学、几何学等一些学科中都有重要的应用,但随着数学本身及应用矩阵的其它学科或领域(如投入产出的矩阵理论、数学规划、现代控制等)的发展,越来越不能满足其应用需要,于是广义正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做了许多重要研究工作,本文在前人研究的基础上对广义正定矩阵的性质、判定、做了进一步的讨论研究,获得了相应的一些结论。第一章首先介绍了广义正定矩阵的研究背景、应用及其研究现状,然后介绍了其他章节的主要内容,最后给出了几个常用定义的约定。第二章对广义的正定矩阵PE在已有的结果的基础上,进行了特征值的分布或其他方面补充。第三章将广义的正定矩阵PE进行了推广到FPE,并对它的性质,充要条件进行了研究,而且又补充了它的子集合类独特的性质。第四章将复正定矩阵(CP)I推广到的复广义正定

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

微积分 线性代数

第三节

微积分 线性代数

一、基本概念定义 设 A 为实对称矩阵，相应实二次型 f ( x) = xT Ax, 为实对称矩阵， 对任意非零向量 x = ( x1 , x2 ,L, xn )T (≠ O), 若恒有 f ( x) > 0,正定二次型， 称为正定矩阵 正定矩阵. 则称 f (x) 是正定二次型，A 称为正定矩阵.

负定二次型， 注：(1)若恒有 f ( x ) < 0 ,则称 f (x) 是负定二次型， (1)若恒有

A 称为负定矩阵； 称为负定矩阵 负定矩阵； 半正定二次型， (2)若恒有 f ( x ) ≥ 0 ,则称 f (x) 是半正定二次型，A称为半正定矩阵； 称为半正定矩阵； 半正定矩阵

半负定二次型， (3)若恒有 f ( x ) ≤ 0 ,则称 f (x) 是半负定二次型，

A 称为半负定矩阵. 称为半负定矩阵 半负定矩阵.(4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. (4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. 如果二次型的取值有正有负 不定二次型 2

微积分 线性代数

二、正定矩阵、正定二次型的判别 正定矩阵、由定义，可得以下两个结论： 由定义，可得以下两个结论：( 1)二次型 f (

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2012届 本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

院（系）名称 专 业 名 称 学学指

导

教生

姓

名 号 师

数学科学学院 数学与应用数学

李俊霞 080414076 黄盛 讲师 2012.5

完 成 时 间

洛阳师范学院本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

李俊霞

数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076

指导教师：黄盛

摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.

关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵

1 关于正定矩阵的定义

本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为

定义1?1? n阶实对称矩阵A称为正定的，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1 ,都

T有XTAX?0.这种正定矩阵的全体记作PS.

1970年，C.R.Johnson首先提出了较广义的正

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。