两个基本函数极限

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000个0相加，极限等于0。

2、limn???i?1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、limxn，其中xn=n??3+xn-1，x1=3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1.

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则 二、两个重要极限sin x lim =1 x→0 x1 n lim(1 + ) = e n→∞ n上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则1.夹逼准则 1.夹逼准则准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:

的极限存在, 那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a . →∞n

(1) yn ≤ xn ≤ z n ( n = 1,2,3L) ( 2) lim yn = a , lim zn = a , →∞ →∞n→ ∞ n→ ∞

证 Q yn → a ,

zn → a ,

ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

当 n > N 1时恒有 y n a < ε,当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,

取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a ε < y n < a + ε,

上两式同时成立, 上两式同时成立

a ε < z n

经济数学基础 第2章 导数与微分

第二单元 两个重要极限与函数连续性

第一节 两个重要极限 一、学习目标

通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计 一些函数的极限.

二、内容讲解

limsinxx?1第一个重要极限公式：

x?0

sinx几何说明：如图，设x为单位圆的圆心角，则x对应的小三角形的面积为2xtanx2，

x对应的扇形的面积为2，x对应的大三角形的面积为当x?0时，它们的面

积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.

lim(1?x??1x1第二个重要极限公式：

limsinxx??)x?e；x?0lim(1?x)x?e

问题思考：x?? 0.这不是第一个重要极限公式，当x??时，此式为无穷小量乘以有界变量，其结果仍为无穷小量. 三、例题讲解

limsin3xx例1 x?0

——50——

经济数学基础 第2章 导数与微分

解：

limsin3xxx?0=

lim3sin3x3x13xx?0?3limsin3x3xx?0?3

例2 求极限x??lim(1?x??lim(1?)x

13x)3x?1313x解:

)?lim(1?x??x?[lim(1?x??13x11)3x

经济数学基础 第2章 导数与微分

第二单元 两个重要极限与函数连续性

第一节 两个重要极限 一、学习目标

通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计 一些函数的极限.

二、内容讲解

limsinxx?1第一个重要极限公式：

x?0

sinx几何说明：如图，设x为单位圆的圆心角，则x对应的小三角形的面积为2xtanx2，

x对应的扇形的面积为2，x对应的大三角形的面积为当x?0时，它们的面

积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.

lim(1?x??1x1第二个重要极限公式：

limsinxx??)x?e；x?0lim(1?x)x?e

问题思考：x?? 0.这不是第一个重要极限公式，当x??时，此式为无穷小量乘以有界变量，其结果仍为无穷小量. 三、例题讲解

limsin3xx例1 x?0

——50——

经济数学基础 第2章 导数与微分

解：

limsin3xxx?0=

lim3sin3x3x13xx?0?3limsin3x3xx?0?3

例2 求极限x??lim(1?x??lim(1?)x

13x)3x?1313x解:

)?lim(1?x??x?[lim(1?x??13x11)3x

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

机动

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结束

一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 (P37 定理4) 定理1x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

机动

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结束

定理1

x x0

lim f ( x) An

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)机动 目录

x0 上页 下

　　在本世纪初，一个由日本移居在旧金山附近的家庭在那里开创了一项种植玫瑰的产业。他们在一周内的3天早晨把玫瑰送到旧金山。

　　另一个家庭是从苏格兰迁移来的，他们家也出售玫瑰花，两个家庭都是依靠诚信获得成功的。他们的玫瑰在旧金山市场上很受欢迎。

　　在几乎40年时间里，两个家庭相邻而居，儿子们接管了农场。但是1941年12月7日，日本人轰炸了夏威夷群岛，尽管家庭中的其他成员都已经是美国人了，但是日本人家庭中的父亲从没有加入美国国籍，在混乱情形下和被拘审的期间，他的邻居明确告诉他们，如果有必要，他会照顾他朋友的苗圃。这就像每个信奉基督教的家庭能做的那样：爱你所有的邻人就像爱你自己。“你们也会像我们这样做的。”他告诉他的日本朋友。

　　不久，日本人家庭被流放到科罗拉多州格林那达的贫瘠的土地上，新聚居地点的中心由木质柏油顶的大房子组成，周围密布铁蒺藜和全副武装的士兵。

　　整整一年过去了。第二年，第三年……当日本人家庭还在拘留地时，他们的朋友一直在暖室中工作着，孩子们星期六之前一直上学，父亲常常每天工作16——17个小时。有一天，欧洲的战争结束了。日本人家庭告别了拘禁生涯，坐上火车，

数列极限四则运算的两个易错占

I

‘ l

20 0 0年弟 l期摘要数列极限的加、减与乘的运算法则能推广到有限个

数列的情况，但不能适用无限个数列的情况注意运用数列极限四则运算的前提条件。蜘 关键词极限有限个个

数列极限四则运算的两个易错占课本中对数列极限运算 绐出T四则运算法则 .这些浊则有两点应引起学生注意比如数列极限的加、溅与乘的运算法则能推广到有限个数列的情况 .但不能通 1无限个数列的情讨况另外，法刚指出：“若两个数列都有极限 .”这足运用数列极限四则运算的前提条件。【题】例

纽厂

,■聂狮 .

l求下列极限：、( l ( 1)i￣ a r…- -

n

南 _ .

)

、

正确的解法：

由 o 于<+n— -

_-<一…一 ' -一 . .÷一

1

—

毳『l

而

n。

一一，1 1十

n=i— 0 n。 )由迫性知： n (一。 .一敛

‘+毒南错误的解法：L (1 i a ro

++ )。…悉一_ I. ._ )=Lm i l i￣ lm.,

+

=…

…

一

一

+

一o o。+。 o+ -…

2求下列极限：、

(l4… ) 1i 4++ ) m( 1 (三++ 2 i三一… ) )解：1南极限四则运算法则知 (), I'、

原一 l【三+ l _『

“两个细则”总结

一、简介

“两个细则”是华中电监局下发的规范电厂服务、维护电力系统的安全稳定运行、保证电能质量的管理条例，其中包括调峰、日发电计划、无功、PSS、AGC、一次调频等十三个考核项目，以及AGC、有偿无功、旋转备用、有偿调峰这四个有条件的补偿项目。自从2011年10月份开始正式实施“两个细则”以来，生产部多次组织人员进行学习交流、明确职责、制定考核奖励制度、收集现场数据、根据实际情况采取不同的措施，避免考核、争取补偿。

二、两个细则中主要的考核项目及如何避免考核

分析“两个细则”规定可以看出，考核的项目比较多，但是需要密切关注的有：调峰、日发电计划、无功、PSS、AGC、一次调频这六项，剩下的七项按要求执行，定期检查，发现问题及时整改即可。

其中AGC是应中调命令投入后才开始需要关注的，AGC五台机组都和中调做过联调试验，试验结果都还不错，以前#4机也有过AGC运行的经验，跟踪情况良好，加上最近两年我公司的机组基本没有投入过AGC，所以自实施以来没有考核数据。

一次调频因为电厂PMU装置没有改造完，部分数据没有上传，暂时不具备考核的条件，到2012年六月份以后省调将一次调频纳入考核，这将是我公司下半年“两个细则”重点需要关注的部

“两个带来”案例

培训班次： 学员姓名： 所在单位及职务： 联系电话：

一、一个工作案例，即自己近年来亲自拟定处理并较为满意的工作案例——昆明市团代表工作室建设

创建团代表工作室是2016年共青团改革工作启动以来，共青团昆明市委为做好新形势下团代表工作，创新闭会期间团代表活动，促进团代表密切联系团员青年，充分发挥团代表作用的有益尝试。目的就是通过团代表深入基层、深入一线，“零距离”倾听团员青年心声，发挥团代表在加强与团员青年联系交流方面的模范带头作用和桥梁纽带作用。该项工作自今年启动以来，受到团代表和广大团员青年的一致认可和好评。

集思广益，播下团代表工作的“种子”

“扩大代表大会代表的参与渠道，建立代表发言制度”，“团 代表走访团员青年制度”，是《共青团中央改革》中提出的明确要求。如何围绕这一要求，打造新时期团代表履职阵地，构建团

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代表与团员青年联系沟通平台，为闭会期间团代表常态化履职活动提供场所，成为共青团昆明市委一直思考的问题。通过深入基层调研，率队考察学习先进地区的经验，多次召开团市委常委会进行研究讨论，共青团昆明市委制定出台了《关于成立团代表工作室的实施意见（试行）》，对团代表工作室的规划设立、工作形式、运行管理等工作提出

把“两个确立”转化为“两个维护”的自觉

《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》深刻指出，党确立习近平同志党中央的核心、全党的核心地位，确立习近平新时代中国特色社会主义思想的指导地位，反映了全党全军全国各族人民共同心愿，对新时代党和国家事业发展、对推进中华民族伟大复兴历史进程具有决定性意义。这是全会作出的重大政治论断，是深刻总结党的百年奋斗、深刻总结党的十八大以来的伟大实践得出的重大历史结论，是党的十八大以来最重要的政治成果。

一、两个确立”是党的十八大以来最重要政治成果

1.“两个确立”体现理论发展的必然逻辑，为复兴伟业提供更为牢靠的思想基础。拥有科学理论的政党，才拥有真理的力量；科学理论指导的事业，才拥有光明前途。党的十八大以来，习近平总书记洞察时代风云、把握时代脉搏、引领时代潮流，以非凡理论勇气提出一系列原创性的战略思想和创新理念，创立了习近平新时代中国特色社会主义思想。这一重要思想，是当代中国马克思主义、二十一世纪马克思主义，是中华文化和中国精神的时代精华，为推进民族复兴伟业提供了科学行动指南。

2.“两个确立”体现实践发展的必然结论，为复兴伟业提供更为显著的制度优势。全会从13个方面对党的十八大以来党治国理政采取的重大方略、重大