万喜人的平面几何好吗

万喜人老师的几个平面几何问题

潘成华

万喜人老师提出了几个关于三角形内切圆的几个问题，笔者在这里做出解答如下

引理

已知 三角形ABC内切圆切BC于D,切AB,AC分别于H,I,点E在AD上，线段BE,CE分别交圆于F,G,AD交三角形ABC内切圆于令一点J

求证：线段AD,CF,BG共点，过J的切线，直线HI,FG,BC交于一点

证明 设BC交过J点的切线于K,则HI必过K,易知D,K调和分割BC

A因为B,C,D,K是调和点列，设CF交AD于L, 因此EB,EC,ED,EK是调和线束，设BL交FK 于S,根据调和性质,点S在EC上， AD是点K极线,因此S点在圆上， 所以S,G重合，因此结论得证

图1

问题1：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，

FHJEIG（S)KLBDC在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,过L,Q作圆I切线交BC于R,S联GR、HS,求证：RH,GS交点在AD上

ANEGLRYIFMQDSX HC BP Z图2 证明：根据引理得：EF,GH,CB共点，设为P,M在P的极线AD上，于是直线

平面几何新思索

【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。在任意△ABC周围作： △FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。G是△ABC的重心。求证：△GEF∽△OPQ。

EAOFGPMNQBC

F上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。结果发觉其难度并不大。 当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。

【020527】黄路川问如下题：

“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。求证：DI垂直于EF。”

经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。

EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。

BDAEIC

【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。

结论1 三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。

AHFGOBC

J注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°； 其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形

空间与图形概念（1） 平面几何的基本概念

1，直线上两点间的一段叫做线段。

2，把线段的一端无限延长，得到一条射线。

3，把线段的两端无限延长，得到一条直线。

4，从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点。这两条射线叫做角的边。

5，角的大小与边的长短无关，与两边展开的程度有关。

6，小于90的角叫做锐角；大于90而小于180的角叫做钝角，等于90的角叫直角。 7，角的两边成一条直线，这样的角叫做平角。一个平角180。 8，一条射线绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角。一个周角360 9，1平角=2直角 1周角=2平角=4直角

10，在同一平面内，两条直线的相互位置有两种情况：相交和平行

11，两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

12，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行线间的距离处处相等。

13，从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度叫做这点到这条直线的距离。

14，由三条线段围成的图形叫做三角形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边。 每两条线段的交点叫做三角形的顶点。三角形具有稳定性。

15，三个角都是锐角的三

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>

Hi，Zuming

Three Problems Sat, 13 May 2006 23:23:39 +0800 (CST)】

今天做了三个挺有意思的小题，是一位网友传来的。附上供一阅。06-05-13 附件：闵飞．doc（197KB）；06051302．gsp（52KB）

【From：闵飞<minfei2003@>

叶老师:

几道三点共线与特殊角的命题 Tue, 9 May 2006 14:36:14 +0800 (CST)】

您好!近日,用几何画板画了几道三点共线与特殊角互为充要条件的命题,只给出第一道的证明,余下两题没想出好的办法,在此发出在附件中,请叶老师看一看.

闵飞 2006,5,9.

附件：三点共线与特殊角等价．doc（114KB）

题目1：过A作 ABC的外接圆的切线，交BC的延长线于P点， APB的平分线依次交AB、AC于D、E，BE、CD交于Q，求证： BAC=60 的充要条件是O、P、Q共线。

题目2：在 ABC中， A的平分线交BC于D， ABC、 ABD、 ACD的外接圆圆心分别为O1、O2、O

高中平面几何

(上海教育出版社 叶中豪)

知识要点

三角形的特殊点

重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线

特殊直线、圆

Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆， Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆

特殊三角形

中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形， 第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形

相关直线及相关三角形

Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形

重心坐标和三线坐标 四边形和四点形

质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线

完全四边形

Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，G

平面几何的定理

模型1：【内心与外接圆】设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之， 点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆也成立). A

I

BC

A' 模型2【内切圆与旁切圆】 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常 常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. A 性质：（1）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIA＝DI＝DB＝DC； （2）△ABC的∠A的内角平分线交外接圆于点D，以点D为圆心，DC 为半径作圆，与直线AD相交于两点I和IA，则这两点I和IA恰好是△ABC 的内心和旁心。 I BC

D

IA

模型【3垂心性质】△ABC 垂心H关于三边的对称点在△ABC的外接圆上，关于三边中点的对称点在△ABC

的外接圆上；三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(AH＝|2RcosA|)。

A

B'F

E

O H M DBC

H'

1

模型4【圆幂定理】 从一定

平面几何入门（2）

例题和习题

1．如图，BD、CE是△ABC的角平分线，BD、CE相交于O点。 若∠BOC＝130°，则∠A＝_________°。

AEOBDC

2．如图，△ABC内有一点D，AD、BD、CD分别平分∠A、∠B、∠C。又E为△ABD内一点，AE、BE、DE分别平分△ABD各内角；F为△BDE内一点，BF、EF、DF分别平分△BDE各内角。若∠BFE的度数为整数，试求∠BFE至少是多少度？

AEFDB1

C

3．在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于E点。 求证：∠E＝

1∠A。 2AEBCD

4．过△ABC的边AB上任意一点D作直线，交BC及AC的延长线于点E、F，∠ADE和∠ABE的平分线交于点G，∠AFE和∠ACE的平分线交于点H。求证：∠DGB＝∠CHF。

FCEGAHDB

2

5．如图，已知AE、CE分别平分∠BAD和∠BCD。且∠B＝60°，∠D＝30°，则∠E的度数是_________。

CA??B°°DE

【补充】

6．四边形ABCD中，∠D＞∠B，∠A、∠C平分线交于E点，延长AE交BC于F。 求证：∠FEC＝

1（∠D－∠B）。 2ADEBFC

3

7．如图，△ABC与△AD

《平面几何入门教学》读书心得

《平面几何入门教学》读书心得

几何教学特别是初中的几何教学对于老师来说是一个难教的课题，对于学生来说也一直认为是一个难学的内容，读了杨裕前老师的《平面几何入门教学》，觉得非常有收获，此书确实是一本既有理论依据，又有实用价值的好书书。对于我们在一线的教师来书来说无疑是给出了清晰的理论依据和实战经验典范，给了我明确的指导方向，现就自己的阅读谈点滴体会：

一、激发学生的学习兴趣

心理学认为，动机是一切学习的原动力，任何成功的学习都伴有强烈的动机，受内在动机的驱使：而无动机的学习，多畏惧困难，敷衍了事，最后一事无成。平面几何的学习刚进入新天地，好奇心、求知欲十分旺盛，激发学生内在动机，必是学习平面几何关键。因此激发学生学习几何的动机，成为我们几何入门教学的引言，现从一下两个方面阐述：1.激发民族自尊心和自豪感。可以给学生介绍我国古代在几何学上的辉煌成就，如：《周骨算经》中写到的“勾三股四玄五”，祖冲之在圆周率的计算上达到了相当的精确的程度等，以激发学生的爱国主义热情，渲染教育民族自尊心和自豪感，使学生有充分的学习信心。2.联系实际从生活找根源。如学习圆的内容时可以从实际出发为什么要学习圆，生活中圆无处不在，特别是我们的交通工具离

《平面几何入门教学》读书心得

《平面几何入门教学》读书心得

几何教学特别是初中的几何教学对于老师来说是一个难教的课题，对于学生来说也一直认为是一个难学的内容，读了杨裕前老师的《平面几何入门教学》，觉得非常有收获，此书确实是一本既有理论依据，又有实用价值的好书书。对于我们在一线的教师来书来说无疑是给出了清晰的理论依据和实战经验典范，给了我明确的指导方向，现就自己的阅读谈点滴体会：

一、激发学生的学习兴趣

心理学认为，动机是一切学习的原动力，任何成功的学习都伴有强烈的动机，受内在动机的驱使：而无动机的学习，多畏惧困难，敷衍了事，最后一事无成。平面几何的学习刚进入新天地，好奇心、求知欲十分旺盛，激发学生内在动机，必是学习平面几何关键。因此激发学生学习几何的动机，成为我们几何入门教学的引言，现从一下两个方面阐述：1.激发民族自尊心和自豪感。可以给学生介绍我国古代在几何学上的辉煌成就，如：《周骨算经》中写到的“勾三股四玄五”，祖冲之在圆周率的计算上达到了相当的精确的程度等，以激发学生的爱国主义热情，渲染教育民族自尊心和自豪感，使学生有充分的学习信心。2.联系实际从生活找根源。如学习圆的内容时可以从实际出发为什么要学习圆，生活中圆无处不在，特别是我们的交通工具离

2.52.5.1

平面向量应用举例平面几何中的向量方法

问题提出

1 5730 p 2

t

1.用有向线段表示向量，使得向量可以 进行线性运算和数量积运算，并具有鲜 明的几何背景，从而沟通了平面向量与 平面几何的内在联系，在某种条件下， 平面向量与平面几何可以相互转化.

2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相 似等，是平面几何中常见的问题，而这 些问题都可以由向量的线性运算及数量 积表示出来.因此，平面几何中的某些问 题可以用向量方法来解决，但解决问题 的数学思想、方法和技能，需要我们在 实践中去探究、领会和总结.

探究(一):推断线段长度关系

思考1:如图，在平行四边形ABCD中，已 知AB=2,AD=1,BD=2,那么对角线AC的 长是否确定？D A B C

A D b,则向量 A C 思考2:设向量A B a, 等于什么？向量 DB 等于什么？ AC

=a+b, DB =a-b

思考3:AB=2,AD=1,BD=2,用向量语言 怎样表述？ D C b |a|=2,|b|=1,|a-b|=2. A a B 思考4:利用 | A C | (A C ) ,若求| A C | 需要解决什么问题？2 2

思考5:利用|a|=2,|b|=1,|a-b|=