数学选修极坐标与参数方程

极坐标系与参数方程

编稿：侯彬 审稿：安东明 责编：辛文升 一、基础知识回顾 1．极坐标系

（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的 正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。

平面上任意点M的位置可以由线段OM的长度度来刻画，这两个数组 成的有序数对下，我们用弧度制度 量。

称为点M的极坐标。

（

≥0）和从Ox到OM的角

称为极径，称为极角。多数情况

注意：平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系，因为若点M的一组极坐标为

，则

（k∈Z）也是点M的极坐标。若限定

，则除原点

外，点其极坐标一

一对应。

（2）极坐标系与直角坐标系的互化

在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以的射线作y轴的

正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。 设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为

。画图可知：

，或。

（3）曲线的极坐标方程的概念

在给定的平面上的极坐标系下，

极坐标与参数方程单元练习一

一、选择题（每小题5分，共25分）

1、已知点M的极坐标为??5，???

?3?

，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）。

A. ???5，???3??B. ???5，4??3??C. ???5，?2???5??3??D. ??5，?3??

2、直线：3x-4y-9=0与圆：??x?2cos?，(θ为参数)的位置关系是( ?y?2sin?)

A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

3、在参数方程??x?a?tcos??y?b?tsin?（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参

数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）

4、曲线的参数方程为??x?3t2?2t?1(t是参数)，则曲线是（ ）?y?2

A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线 5、实数x、y满足3x2＋2y2=6x，则x2＋y2的最大值为（ ）

- 1 -

A、

72 B、4 C、92 D、5 二、填空题（每小题5分，共30分）

1、点?2，?2?的极坐标为

- 1 - 高考高频题型整理汇总

——《极坐标与参数方程》

除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及以下部分问题。

（一）有关圆的题型

题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <

用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200B A C

By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200B A C

By Ax d +++=

第二步：判断直线与圆的位置关系

第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min

相切、相交：r d d +=max min 0d =

题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离

延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题

（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解

参数方程、极坐标 一．直线的参数方程

l(1)标准式 过点P0(x0,y0)，倾斜角为?的直线(如图)的参数方程是

?x?x0?tcos? (t为参数）?y?y?tsin?0?????这里直线l的方向向量可以选定为(cos?,sin?)，由P0P?t(cos?,sin?)引出直线的标准式参数方程，进而引入参数t的几何意义 (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k?tan??b的直线l的参数方程是 a?x?x0?at(t为参数) ② ?y?y?bt0?在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a?b?1,②即为标准式，此时， t表示直线

22a?bt a?b?1，则动点P到定点P上动点P到定点P的距离；若00的距离2222?x?x0?tcos?l直线参数方程的应用：设过点P (t为参数）0(x0,y0)，倾斜角为?的直线的参数方程是?y?y?tsin?0?l若P1,P2是上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则

(1) P1,P2两点的坐标分别是(x0?t1cos?,y0?t1sin?) ，(x0?t2cos?,y0?t2sin?) ； (2) PP12?t1?t2；

P所对应的参数为t，则t?(3)线段PP12的中

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

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1．曲线的极坐标方程．

(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．

(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．

(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程．

(1)过极点且与极轴成φ

0角的直线方程是θ＝φ

2013极坐标、参数方程

5、选修44:-坐标系与参数方程

极坐标系中，已知圆心C (3,)6π

，半径r=1．

（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线为参数）t t y t x (21231???

????=+-=与圆交于B A ,两点，求AB 的中点M 与点P （-1，0）的距离．

（1、1)23(23322=-+???

? ??-y x 2

、1232t t PC +==+

解：（1）由已知得圆心)6sin 3,6cos 3(π

πC ，半径1，圆的方程为1)23(23322=-+???

? ??-y x 2分 即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ 5分

（1）

把直线方程代入圆方程得26)90,30t t -++=?=> 7分 设21,t t 是方程两根

126)t t ∴+=-

所以1232t t PC +=

= 10分

5、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参

数方程为

cos,

sin,

x t

y t

α

α

=

?

?

=

?

（t为参数，α为直线l的倾斜角）。圆C的极坐标方程为

28cos120.

ρρθ

-+=

（1）若直线l与圆C相切，求α的值；

（2）若

2015年极坐标与参数方程专题

1．在极坐标系中，已知直线过点(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为

?，则直线的极坐标方程为________． 3?x?4cos?2．平面直角坐标系中，将曲线? (α为参数)上的每一点纵坐标不变，横坐标

y?sin??变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标变为原来

的2倍得到曲线C1.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的单位长度相同的极坐标系中的曲线C2的方程为ρ＝4sinθ，则C1和C2公共弦的长度为________．

3．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别

?x?4?sin?在曲线C1：? (θ为参数)和曲线C2：ρ＝2上，则|AB|的最小值为________．

y?3?cos??224．如图, 以过原点的直线的倾斜角?为参数, 则圆x?y?x?0的参数方程

为 .

yPθOx

2

5．设曲线C的参数方程为：x=t，y=t （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.

??x?2cost??y?2sint(t为参数),C

极坐标与参数方程测试题

一．选择题（每小题5分，共50分） 1.曲线的极坐标方程 4sin

化为直角坐标为（ ）。

A.x

2

(y 2)2 4 B. x2 (y 2)2 4 C. (x 2)2 y2 4 D. (x 2)2 y2 4

2.已知点P的极坐标是（1， ），则过点P且垂直极轴的直线方程是（ ）。 A.

1 B. cos C.

1

cos

D.

1cos

3.直线

y 2x 1的参数方程是（ ）

。 A.

x t2 x 2t 1 x t 1 x sin y 2t2

B. 1

y 4t 1 C. 2t 1 D.

y y 2sin 14.方程 x t 1表示的曲线是（。

y 2t

）

A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分

5.参数方程

x 2 sin2

（ 为参数）化为普通方程是（ ）。

y 1 cos2

A.2x y 4 0 B. 2x y 4 0 C. 2x y 4 0 x [2,3] D. 2x y 4 0 x [2,3]6.设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为

2015年极坐标与参数方程专题

1．在极坐标系中，已知直线过点(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为

?，则直线的极坐标方程为________． 3?x?4cos?2．平面直角坐标系中，将曲线? (α为参数)上的每一点纵坐标不变，横坐标

y?sin??变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标变为原来

的2倍得到曲线C1.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的单位长度相同的极坐标系中的曲线C2的方程为ρ＝4sinθ，则C1和C2公共弦的长度为________．

3．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别

?x?4?sin?在曲线C1：? (θ为参数)和曲线C2：ρ＝2上，则|AB|的最小值为________．

y?3?cos??224．如图, 以过原点的直线的倾斜角?为参数, 则圆x?y?x?0的参数方程

为 .

yPθOx

2

5．设曲线C的参数方程为：x=t，y=t （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.

??x?2cost??y?2sint(t为参数),C

极坐标和参数方程训练二

一、选择题

1．直线l的参数方程为??x?a?t(t为参数)，则点Pl上的点P1对应的参数是t1，1与P(a,b)?y?b?t之间的距离是（ ）

A．t1 B．2t1 C．2t21 D．2t1 ?2．参数方程为??x?t?1t(t为参数)表示的曲线是（ ）

??y?2A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线

??3．直线?x?1?1?2t3(t为参数)和圆x2?y2?16交于A,B两点， ???y??33?2t则AB的中点坐标为（ ）

A．(3,?3) B．(?3,3) C．(3,?3) D．(3,?3) 4．圆??5cos??53sin?的圆心坐标是（ ）

A．(?5,?4?3) B．(?5,??5?3) C．(5,3) D．(?5,3) 5．与参数方程为???x?t(t为参数)等价的普通方程为（ ）

??y?21?tA．x2?y24?1 B．x?y224?1(0?x?1) C．x2?y2y24?1(0?y?2) D．x2?4?1(0?x?1,0?y?2) 6．直线??x??2?t?y?