一元二次不等式及其解法知识梳理

3.2一元二次不等式及其解法

【学习目标】

1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：x2?5x?0.一元二次不等式的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0).

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为xx21、2且x1?x2，则不等式ax?bx?c?0的解集为

?xx?x21或x?x2?，不等式ax?bx?c?0的解集为?xx1?x?x2?

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(a?0)成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为x21、x2且x1?x2，设??b?4ac，它的解按照

??0，??0，??0可分三种情况，相应地，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像与x轴的位置关系也

分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)或ax2

一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为 ；当a＜0时，解集为 .

2.一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.

(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.

(3)一元二次不等式的解：

函数与不等式 二次函数 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 x1，x2(x1＜x2) ① {x|x1＜x＜x2} bx1＝x2＝－ 2a② ? 无实根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ③ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 3.分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：

f（x）

的形式. g（x）

f（x）f（x

一元二次不等式的解法练习设计

一、选择题

1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.{x|-23≤x≤12} B.{x|x≤-23或x≥12} C.{x|x≥12} D.{x|x≤-23} 2.如果不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为?,那么( )

A.a<0,Δ>0 B.a<0,Δ≤0 C.a>0,Δ≤0 D.a>0,Δ≥0

3.函数y=x2?x?12的定义域是( ) （定义域表示求自变量x的取值范围）A.{x|x<-4或x>3} B.{x|-4

5.对于任意实数x不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.-1≤a≤0 B.-1≤a＜0 C.-1＜a≤0 D.-1

6.设集合M={x|0≤x＜2,集合N={x|x2-2x-3

7.已知函数y=ax2?2x?3,x的变化范围是全体实数,则实数a的取值范围是( A.a>0 B.a≥

13C.a≤1D.0＜a≤13 3 二、非选择题（解答题做在背面） 8.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-

120恒成立,则k的取值范围是______.

10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B. (1)求A∩B; (2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,求ax2+x+b<0的解集.

用心 爱心 专心

)

高三数学专题复习

高三数学专题复习一元二次不等式及其解法一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集 若 a>0 时. (1)若Δ>0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点， 即方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 (x1<x2),那 {x|x<x1 或 x>x2} 么，不等式 ax2+bx+c>0 的解集是________________,不等式 {x|x1<x<x2} ax2+bx+c <0 的解集是_____________. (2)若Δ=0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个交 b , 点，即方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根，x1=x2=2a

高三数学专题复习

那么不等式 ax2+bx+c>0

b x x 2a 的解集是___________,不等式

ax2+

bx+c<0 的解集是___.(3)若 Δ<0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴无交点，即 方程 ax2+bx+c=0 无实数根，那么，不等式 ax2+bx+c>0 的 R

高三数学专题复习

高三数学专题复习一元二次不等式及其解法一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集 若 a>0 时. (1)若Δ>0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点， 即方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 (x1<x2),那 {x|x<x1 或 x>x2} 么，不等式 ax2+bx+c>0 的解集是________________,不等式 {x|x1<x<x2} ax2+bx+c <0 的解集是_____________. (2)若Δ=0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个交 b , 点，即方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根，x1=x2=2a

高三数学专题复习

那么不等式 ax2+bx+c>0

b x x 2a 的解集是___________,不等式

ax2+

bx+c<0 的解集是___.(3)若 Δ<0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴无交点，即 方程 ax2+bx+c=0 无实数根，那么，不等式 ax2+bx+c>0 的 R

不等式第二讲：一元二次不等式

一、一元二次不等式的解法

判别式??b?4ac 方程2??0 有两个不等实根 ??0 有两个相等实根 ??0 无实根 f(x)?ax2?bx?c?0 二次函数 y y y y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 不等式O x1 x2 x O x1?x2x O x ax?bx?c?0(a?0) 的解集 不等式ax?bx?c?0 22?x|x?x1或x?x2? ?b?xx???? 2a??R (a?0)的解集 二、总结规律： ?x|x1?x?x2? ? ? 1、方程f(x)?0的实根是函数y?f(x)的图像与x轴的交点，也是函数y?f(x)的零点。 2、方程f(x)?0的根就是不等式解集的端点，不等式解集的端点就是方程f(x)?0的根。 3、不等式大于0的解集就是方程的根之外，小于0就是方程的两根之间；（大于取两根之外，小于取两根之间）（开口向上，即二次系数大于0）

?a?04、①不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?；

??0?2②不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?2?a?0

???05、如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么函数y

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含参数的一元二次不等式

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复习引入 一元二次方程、 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式的相互关系及其解法： 式的相互关系及其解法： = b 2 4 ac二次函数

>0y0 x1

=0y

<0yx

y = ax2 +bx+c(a > 0)的图像 一元二次方程

x2 x

0x1 = x 2

0x无实根

ax +bx+c = 0(a > 0)2

b b2 4ac x1 = 2a b + b2 4ac x2 = 2a1 2

有两个相等实根

的根

b x1 = x2 = 2a

ax2 + bx+ c > 0(a > 0)的解集

{x x < x 或x > x } x x ∈ R且 x ≠ 2ba

x∈ Rφ

ax2 +bx+c < 0(a > 0)的解集

{x x < x < x }1 2

φ

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复习引入

解一元二次不等式的一般步骤1:确定二次项系数的符号 ： 2:判别△(能十字相乘法的不需判别) :判别△ 能十字相乘法的不需判别) 3:由1;2两个步骤画出不等式所对应函 ： ; 两个步骤画出不等式所对应函 数的大致图

WORD格式 可编辑

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式

（1）x?5x?0； （2）x?4x?4?0； （3）?x?4x?5?0 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：

（1）方法一：

因为??(?5)2?4?1?0?25?0

所以方程x?5x?0的两个实数根为：x1?0，x2?5 函数y?x2?5x的简图为：

2222

因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.

2?x?0?x?0方法二：x?5x?0?x(x?5)?0?? 或?

x?5?0x?5?0??2解得??x?0?x?0 或 ?，即0?x?5或x??.

?x?5?x?52因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.

（2）方法一：

因为??0，

方程x2?4x?4?0的解为x1?x2?2. 函数y?x?4x?4的简图为：

2

所以，原不等式的解集是{x|x?2}

方法二：x?4x?4?(x?2)?0（当x?2时，(x?2)?0） 所以原不等式的解集是{x|x

第一节 一元二次不等式及其解法

(见学生用书第1页)

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式．对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

考纲传真

1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 2Δ>0 Δ＝b－4ac Δ＝0 二次函数 2 y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象 R ? 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x10 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} ax2＋bx＋c<0 {x|x10)的解集 ? 22.用程序框图表示一元二次不等式ax＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程 Δ

f（x）(1)＞0?f(x)·g(x)＞0； g（x）f（x）(2)≤0?f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0． g（x）

ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？ 【提示】 a>0且b2－4ac<0.

1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )

1

A．(－，1) B．(1，＋∞)

<<含参数的一元二次不等式的解法>>教案

高二年级 数学 何二敏

一． 教学目标：

1. 使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法。 2. 使学生掌握数形结合、分类讨论、等价转换的数学思想方法。

3. 使学生掌握分类讨论的标准有三个：二次项系数、判别式、根的大小。

4. 与学生共同学习社会主义核心价值观的相关内容 （1） 建立有中国特色社会主意 的共同理想； （2） 弘扬民族精神和时代精神； （3） 树立社会主义荣辱观；

（4） 马克思主义指导思想是社会主义核心价值体

系的灵魂。

二． 教学重、难点：

1. 重点：使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法。 2. 难点：数形结分类讨论、等价转换等数学思想的应用和理解，分类讨论的标准。 三． 课型： 习题课。

四．课时安排：两课时。

一、按x2项的系数a的符号分类，即a?0,a?0,a?0; 例1 解不等式：ax2??a?2?x?1?0

教师：解一元二次不等式时解集形式是什么？

学生：大于在两边，小于在中间。

教师：这个结论确定吗？请同学们画出图形进行观察。 学生：前提条件是二次项系数是正数。 教师：本题中二次项系数的正负确定吗？ 学生：不确定，需要进行讨论。

教学：对。然后呢，