应用数理统计难不难

考试方式：

《应用数理统计》包括（1）在《实用统计方法》教材或这里所列的部分习题中完成5题（题目要至少分散在3章以上）写出计算程序计算结果，用doc或pdf文档发送到 zhang-hh@zju.edu.cn，占30％；（2）结合自己的专业，写一篇统计方法的应用，或介绍一些新的统计方法等小论文，篇幅不限，论文要标注参考文献，占70％。 《数据统计分析》包括（1）在《实用统计方法》教材或这里所列的部分习题中完成5题（题目要至少分散在3章以上）写出计算程序计算结果，用doc或pdf文档发送到zhang-hh@zju.edu.cn，占30％；（2）闭卷或开卷考试，占70％。

参考教材：《实用统计方法》 西安交通大学 梅长林等 科学出版社 2002。 部分习题

第一章 多元回归分析

1.4某种化工产品的得率Y与反应温度X1,反应时间X2 及某反应温度X3 有关。设对于给

定的X1,X2,X3，得率Y服从正态分布且方差为常数。近得实验结果如下，其中X1,X2,X3 均为两水平变量且编码形式表达。 i 1 -1 -1 -1 7.6 2 -1 -1 1 10.3 3 -1 1 -1 9.2 4 -1 1 1 10.2 5 1 -1 -1 8.4 6

数理统计题

第一章

例1：将n只球随机地放入N(N?n)个盒子中去,试求下列事件的概率：

（1）每个盒子至多有一只球；

（2）某指定的n个盒子各有一个质点； （3）任意n个盒子中各有一个质点； （4）某指定盒中恰有m个质点。

例2：袋中有a只白球, b只红球, k个人依次在袋中取一只球,

(1)作放回抽样； (2)作不放回抽样,

求第i(i=1,2,...,k)个人取到白球(记为事件B)的概率(k?a+b).

例3：8只乒乓球队中，有两个强队，将8个球队任意分为两组（每组4个队）进行比赛，

求这两个强队被分在一个组内的概率是多少？

??例4：已知P(A)?0.5,P(AB)?0.2,P(B)?0.3.求：（1）P(AB)(2)P(A?B)(3)P(A?B)??

(4)P(AB)例5：将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的情况.

设事件A为“至少有一次为H”,

事件B为“两次掷出同一面“.

现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.

例6：已知某批产品的合格率为0.9，检验员检验时，将合格品误认为次品的概率为0.02,而

一个次品被误认为合格的概率为0.05.求：

(1)检查任一产品被认为是合格品的概率 (2)被认为是合格品的产品

数理统计

一、填空题

1．设X1,X2,?Xn为母体X的一个子样，如果g(X1,X2,?Xn) ， 则称g(X1,X2,?Xn)为统计量。

2．设母体X~N(?,?2),?已知，则在求均值?的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生

5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。

6．某地区的年降雨量X~N(?,?2)，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则?的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样X1,X2,?,X21与Y1,?,Y5分别取自正态母体N(1,22)与

222N(2,1)， S12,S

习题1

???1.1 解：由题意p?x?u?1??0.95可得：

?????n??x?u?p????0.95

???????n????n?x?u???而

?~N?0,1?

????n?1?x?u?这可通过查N(0,1)分布表，p???0.95?(1?0.95)?0.975 ????2????n?n那么

??1.96

?n?1.96?

22

1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。

p0?x?800?????8000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015x|??800?e?1.2

那么有6个元件，则所求的概率p??e?1.2??e?7.2

6 (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时

p0?x?3000???030000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015|03000?1?e?4.5

那么有6个元件，则所求的概率p??1?e?4.5?

6 1.3

解: (1) ??{(x1,x2,x3)|xk?0,1,2,?,k?1,2,3}

因为Xi~P(?),所以 P{X1?x1,X2?x2,X3?x3}

?P{X1?x}P{X?12x}P{X?23?x}3

习题1

???1.1 解：由题意p?x?u?1??0.95可得：

?????n??x?u?p????0.95

???????n????n?x?u???而

?~N?0,1?

????n?1?x?u?这可通过查N(0,1)分布表，p???0.95?(1?0.95)?0.975 ????2????n?n那么

??1.96

?n?1.96?

22

1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。

p0?x?800?????8000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015x|??800?e?1.2

那么有6个元件，则所求的概率p??e?1.2??e?7.2

6 (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时

p0?x?3000???030000.0015e?0.0015xdx??e?0.0015|03000?1?e?4.5

那么有6个元件，则所求的概率p??1?e?4.5?

6 1.3

解: (1) ??{(x1,x2,x3)|xk?0,1,2,?,k?1,2,3}

因为Xi~P(?),所以 P{X1?x1,X2?x2,X3?x3}

?P{X1?x}P{X?12x}P{X?23?x}3

应用数理统计复习题

1.设总体X~N(20,3)，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率.

解：设两样本均值分别为X,Y，则X?Y~N(0,)

21 P(|X?Y?|0.3?)?2. 设总体X具有分布律 X p (0.4?24?)?(0.?42 4)0.328 1 2 3 ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，求?的矩估计和最大似然估计.

解：（1）矩估计：EX??2?2?2?(1??)?3(1??)2??2??3

X?13(1?2?1)?43

56令EX?X，得???（2）最大似然估计：

.

L(?)??2??2?2?(1??)?2?5?2?6

dln(?)d?56?10??12?45?0

得???

2

3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望?和方差?均未知，抽查10件，测得重量为Xi斤i?1,2,?,10。 算出

X?1101010?i?1Xi?5.4

?i?1(Xi?X)?3.6

2给定检验水平??0.05 ，若该厂产品的平均

思考题

1． 设X1,X2, ,X36是来自正态总体N(40,5)的样本,求样本均值在38与43之间的概率。

2

2．设X~N( , ), 其中 , 0是未知参数, 设X1,X2, ,Xn 是X的样本, 求 , 2

2

的最大似然估计量.

3．设某种元件的使用寿命X的概率密度为

e (x ),x ,

f(x; )

x . 0,

。 其中 0, 0为未知参数。求参数 , 的最大似然估计量 ,

解 似然函数L( ) ne i 1

(xi ),x (i 1,2, ,n)

i

n

当xi 0(i 1,2, ,n)时,L( ) 0取对数,得

n

lnL( ) nln (xi )，

i 1

因为

lnL( )

2n 0,故L( )单调增加。由于 满足 xi(i 1,2, ,n)，因此当 取

min(x,x, x)，x1,x2, ,xn中的最小值时，L( )取最大值，所以 的最大似然估计值为 12n

的最大似然估计量为 min(X1,X2, ,Xn)。

由

lnL( )n

n n 0,

得

1

，所以 的最大似然估计量为

1

min(X1,X2, ,Xn)

4．设X的分布律为

Xpk

1

23

1 2

，其中参数 0未

数理统计考试试卷

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、总体X~N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差X?Y~________；

22、设X1,X2,...,X16为取自总体X~N(0,0.52)的一个样本，若已知?0.01(16)?32.0,则

P{?Xi2?8}=________；

i?1163、设总体X~N(?,?)，若?和?2均未知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为

21??的置信区间为(X??,X??)，则?的值为________；

4、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(?,?2)的一个样本，对于给定的显著性水平?，已知关于?2检验的拒绝域为?2≤?12??(n?1)，则相应的备择假设H1为________；

5、设总体X~N(?,?2)，在显著性水平0.05下，检验假设H0:???0,H1:???0，?2已知，拒绝域是________。

1、N(0，)； 2、0.01； 3、t?(n?1)212Sn2； 4、?2??0； 5、z??z0.05。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，?是未知参数，以下函数是统计量的为（

）。

13（A）?(X1?X2?X

数理统计试题

一、在母体N（48，49）中，随机抽取子样容量为49的一组子样，求子样均值落在46.7到50.3之间的概率。

二、已知X服从N（7.8，9）分布，试找出一个c值，使得P(x?u?c?u)?0.812 三、已知x变量服从x22(13)分布，试求P(6.46?x2?17.898)的概率值。

?1.964)及P(t?2.2)的值。

2pp四、已知t变量服从t(16)分布，试求P(t五、已知t变量服从t(20)分布，试求P(?t?x?t)?0.928中tp的值。

12)分布，试求P(F六、已知F服从F(22，?2.52)的值。

七、设有某一等锁三角形闭合差32个，它们的母体服从正态分布，子样均值和

2x??0.0766,m?0.9319。试求母体均值u的95%的子样方差分别为：

置信区间。①若已知?

?1.2；②若?未知：③求?的95%的置信区间。

数理统计试题答案

一、在母体N（48，49）中，随机抽取子样容量为49的一组子样，求子样均值落在46.7到50.3之间的概率。 解：

P(46.7?x?50.3)?P(?P(?1.3??P(46.7?ux?u50.3?u??)?n?n?n

x?u?2.3)749x?48x

[0348]《数理统计》

第一次作业

1 [论述题] 从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量（单位：kg）为：230，

243，185，240，228，196，246，200。 （1）写出总体，样本，样本值，样本容量； （2）求样本的均值，方差及二阶原点距。

22

2 设总体X服从正态分布N?,?，其中?已知，?未知，X1,X2,X3是来自总体的简

??单随机样本。

（1）写出样本X1,X2,X3的联合密度函数；

X1?X2?X3X12?X22?X32,max?Xi,1?i?3?,X1?2?,（2）指出之中哪些是统计量，

3?2哪些不是统计量。

3 设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，X1,L,X5是来自总体的简单随机样本。指出X1?X2,max?Xi,1?i?5?,X5?2p,?X5?X1?之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？

2??e??x,x?04 设总体服从参数为?的指数分布，分布密度为p(x;?)??

?0,　　x?0求EX,DX和ES.

25 设总体X服从N?0,1?，样本X1,L,X6来自总体X, 令

Y??X1?X2?X3???X4?X5?X6?, 求常数C，使CY服从?2-分布。

26 设总体X服从N?,