多因素方差分析和多元线性回归

1 线性回归

1.1 原理分析

要研究最大积雪深度x与灌溉面积y之间的关系，测试得到近10年的数据如下表：

使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。 线性回归方程式：

对应的估计方程式为

线性回归完成的任务是，依据观测数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。a,b都为估计结果，原方程中的真实值一般用α和β表示。

为什么要做这种拟合呢？

答案是：为了预测。比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势（当然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了）。 线性回归的拟合过程使用最小二乘法，

最小二乘法的原理是：选择a,b的值，使得残差的平方和最小。

为什么是平方和最小，不是绝对值的和？答案是，绝对值也可以，但是，绝对值进行代数运算没有平方那样的方便，4次方又显得太复杂，数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美！ 残差平方和Q，

求最小，方法有很多。代数方法是求导，还有一些运筹学优化的方法（梯度下降、牛顿法），这里只需要使用求导就OK了，

为表示方便，引入一些符号，

最终估计参数a与b的结果是：

自此，针对前面的例子，只要将观测数据带入上面表达式即可计算得到拟合之后的a和b。不妨试

线性回归分析和方差分析报告

信计12 徐文豪 2110902039

本报告以教材第二章课后习题2.4和第三章课后习题3.6为主体，给出对应的解答、sas代码和结果分析。

2.4 某公司管理人员为了了解某化妆品在一个城市的月销售量Y（单位：箱）与该城市中适合使用该化妆品的人数X1（单位：前人）以及他们人均月收入X2（单位：元）之间的关系，在某个月中对15个城市做了调查，得上述各量的观测值如下表所示：

162 274 2450 120 180 3254 223 375 3802 131 205 2838 67 86 2347 169 265 3782 81 98 3008 192 330 2450 116 195 2137 55 53 2560 252 430 4020 232 372 4427 144 236 2660 103 157 2088 212 370 2605

假设Y与X1，X2之间满足线性回归关系

yi??0??1xi1??2xi2??i，i?1,2,,15 其中?i(i?1,2,15)独立通分布于N(0,?2)。

（1）求回归系数?0,?1,?2的最小二乘估计和误差方差?2的估计，写出回归方程

作业8：多因素方差分析

1， data0806-height是从三个样方中测量的八种草的高度，问高度在三个取样地点，以及八

种草之间有无差异？具体怎么差异的？ 打开spss软件，打开data0806-height数据，点击Analyze->General Linear Model->Univariate打开：

把plot和species送入Fixed Factor(s)，把height送入Dependent Variable，点击Model打开：

选择Full factorial，Type III Sum of squares，Include intercept in model（即全部默认选项），点击Continue回到Univariate主对话框，对其他选项卡不做任何选择，

结果输出：

因无法计算???? ??rror，即无法分开???? intercept 和???? error，无法检测interaction的影响，无法进行方差分析，

重新Analyze->General Linear Model->Univariate打开：

选择好Dependent Variable和Fixed Factor(s)，点击Model打开：

点击Cust

回归分析,方差分析

回归分析与方差分析的异同比较

回归分析与方差分析是统计学中两种常用的统计分析方法，比较分析它们

的不同和相似之处，无论对把握两种方法的基本原理，还是对拓广其应用范围，无疑都是十分重要的。

一、两种方法的联系

回归分析与方差分析之间有许多相似之处，这体现了两者之间的内在联系。我们把这种相似性具体归纳为如下几个方面。

(一)在概念上具有相似性

回归分析是为了分析一个变数如何依赖其它变数而提出的一种统计分析方法。运用回归分析法，可以从变数的总变差中分解出回归因子解释的变差和未被解释的变差。回归分析的目的是要确定引起应变数变异的各个因素。而方差分析是为了分析实验数据而提出的一种统计分析方法。运用方差分析，可以从变数的总变差中分解出 因子的效应和随机因子的效应。方差分析的目的是要确定产生变差的有关各种因素。两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。

(二)在目的实现上具有相似性

回归分析确定因素X是否为Y的影响因素时，从实现程序上先进行变数X与变数y的相关分析，然后建立变数间的回归模型，最后进行对参数的统计显著性检验。方差分析确定因素X是否是Y的影响因素时，从实现程序上，先从实验数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行统计显著性

合肥学院

2015－2016第二学期

《多元统计分析》课程论文

论文题目 方差分析

姓 名 郑宁

学 号 1307021001

专 业 数学与应用数学（1）

成 绩

2016.4

方差分析

——以南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度的相关数据为基础，建立方差分析模型进行分析。

摘要：单因素方差分析（ANOVA）是用来研究一个分类型自变量的不同水平对一个数值型因变量的影响。方差分析不仅可以提高检验的效率，而且可以提高检验的可靠性。本论文为了研究南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度有无显著性变化。根据假设检验的原理，运用SAS软件，以南极的3、6、9、12月各温度作为实验因素，建立方差分析模型，最后在给定的显著性水平下，判断出各实验因素之间有无显著性差异，从而得出实验因素之间的方差分析模型，即确定了南极的1951-1980的3、6、9、12月的温度之间有没有显著性变化。

关键词:方差分析模型 SAS软件

一、问题提出与分析

现有南极的1951-1980的3、6

合肥学院

2015－2016第二学期

《多元统计分析》课程论文

论文题目 方差分析

姓 名 郑宁

学 号 1307021001

专 业 数学与应用数学（1）

成 绩

2016.4

方差分析

——以南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度的相关数据为基础，建立方差分析模型进行分析。

摘要：单因素方差分析（ANOVA）是用来研究一个分类型自变量的不同水平对一个数值型因变量的影响。方差分析不仅可以提高检验的效率，而且可以提高检验的可靠性。本论文为了研究南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度有无显著性变化。根据假设检验的原理，运用SAS软件，以南极的3、6、9、12月各温度作为实验因素，建立方差分析模型，最后在给定的显著性水平下，判断出各实验因素之间有无显著性差异，从而得出实验因素之间的方差分析模型，即确定了南极的1951-1980的3、6、9、12月的温度之间有没有显著性变化。

关键词:方差分析模型 SAS软件

一、问题提出与分析

现有南极的1951-1980的3、6

回归分析,方差分析

回归分析与方差分析的异同比较

回归分析与方差分析是统计学中两种常用的统计分析方法，比较分析它们

的不同和相似之处，无论对把握两种方法的基本原理，还是对拓广其应用范围，无疑都是十分重要的。

一、两种方法的联系

回归分析与方差分析之间有许多相似之处，这体现了两者之间的内在联系。我们把这种相似性具体归纳为如下几个方面。

(一)在概念上具有相似性

回归分析是为了分析一个变数如何依赖其它变数而提出的一种统计分析方法。运用回归分析法，可以从变数的总变差中分解出回归因子解释的变差和未被解释的变差。回归分析的目的是要确定引起应变数变异的各个因素。而方差分析是为了分析实验数据而提出的一种统计分析方法。运用方差分析，可以从变数的总变差中分解出 因子的效应和随机因子的效应。方差分析的目的是要确定产生变差的有关各种因素。两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。

(二)在目的实现上具有相似性

回归分析确定因素X是否为Y的影响因素时，从实现程序上先进行变数X与变数y的相关分析，然后建立变数间的回归模型，最后进行对参数的统计显著性检验。方差分析确定因素X是否是Y的影响因素时，从实现程序上，先从实验数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行统计显著性

spss操作+详细解释

多元方差分析

1992年美国总统选举的三位候选人为布什、佩罗特、克林顿。从支持三位候选人的选民中分别

分析：该题自变量为三位候选人，因变量为年龄段和受教育程度。从自变量来看要进行方差分析，从因变量来看是二元分析，所以最终确定使用多变量分析

具体操作（spss）

1、 打开spss，录入数据，定义变量和相应的值在此不作详述。结果如图1

spss操作+详细解释

图1 被投票人：1、布什 2、佩罗特 3、克林顿

2、 在spss窗口中选择分析——一般线性模型——多变量，调出多变量分析主界面，将年龄段和受

教育程度移入因变量框中，被投票人移入固定因子框中。如图2

图2 多变量分析主界面

3、 点击选项按钮在输出框中选择方差齐性分析（既包括协方差矩阵等同性分析也包括误差方差齐

性分析），其它使用默认即可，点击继续返回主界面。如图

3

spss操作+详细解释

图3 选项子对话框

4、 点击确定，运行多变量分析过程。

结果解释

1、 协方差矩阵等同性的Box检验结果，如图4

图4 协方差矩阵检验

结果说明：此Box检验的协方差矩阵为三位候选人每个人的支持者的年龄段和受教育程度的协方差矩阵。因为sig>0.05，所以差异不显著，即各个因变量的协方差矩阵在所有三个候选人组

SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two

医咖会在之前的推文中，推送过多篇方差分析相关的文章，包括：

单因素方差分析(One-Way ANOVA) 双因素方差分析(Two-way ANOVA) 三因素方差分析(Three-way ANOVA) 单因素重复测量方差分析 两因素重复测量方差分析 三因素重复测量方差分析

单因素多元方差分析(One-way MANOVA)

每种方差分析的应用场景，以及该如何进行SPSS操作和解读结果，各位伙伴请点击相应的文章链接查看~~今天，我们再来介绍一种统计方法：两因素多元方差分析(Two-way Manova)。 一、问题与数据

某研究者想研究三种干预方式（regular—常规干预；rote—死记硬背式干预；reasoning—推理式干预）对学生学习成绩的影响。

研究者记录了学生两门考试的成绩：文科成绩

（humanities_score）和理科成绩（science_score）。另外，基于之前的知识，研究者假设干预方式对男女两种性别学生

的效果可能不同。换言之，研究者想知道不同干预方式对学习成绩的影响在男女学生中是否不同。也就是说，干预方式和性别两个自变量之间是否存在交互作用（interacti

第6单元

多因素方差分析

SPSS应用 应用

多因素方差分析（Univariate） 多因素方差分析（Univariate）是检验两 个或两个以上因素变量（自变量） 个或两个以上因素变量（自变量）的不同水平 是否给一个（或几个相互独立的） 是否给一个（或几个相互独立的）因变量造成 了显著的差异或变化的分析方法。 了显著的差异或变化的分析方法。

SPSS应用 应用

多因素方差分析包含一个因变量， 多因素方差分析包含一个因变量，至少两个 自变量（因素）， ），每个因素把被试区分为至少 自变量（因素），每个因素把被试区分为至少 两个实验水平，因变量必须是连续型变量。 两个实验水平，因变量必须是连续型变量。 多因素设计的方差分析过程通常分两步， 多因素设计的方差分析过程通常分两步，首 先对因素主效应和交互效应进行综合检验， 先对因素主效应和交互效应进行综合检验，如 果效应显著，然后再作进一步检验。 果效应显著，然后再作进一步检验。

SPSS应用 应用

第一因素的主效应： 第一因素的主效应：在平衡第二因素各水平之间效应的前提 因变量在第一因素各水平上的均值是否存在显著差异。 下，因变量在第一因素各水平上的均值是否存在显著差异。 第二因素的主效应： 第二因素的主效应：