五点差分格式求Laplace方程

中南林业科技大学

本科课程设计说明书

学 院： 理学院

专业年级： 2008级信息与计算科学二班

课 程： 科学计算课程设计

论文题目： Laplace方程九点差分格式

指导教师： 陈宏斌

2011年6月

二维椭圆边值问题的九点差分格式

1问题：Laplace方程

uxx uyy 0, x,y G,

G是xy平面上一有界区域，其边界 为分段光滑曲线. 在 上u满足下列边值条件：

u (x,y)(Drichlet边值条件).

在此考虑G为正方形区域，G={(x,y) | a<x<b, a<y<b}.

背景：拉普拉斯方程（Laplace'sequation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。

2区域剖分

区域G是一个正方形区域，边界a

中心差分格式

1、考虑问题

考虑二阶常微分方程边值问题：

d2uLu??2?qu?f （1） dxu(a)??,u(b)??

其中q，f为[a,b]上的连续函数，?,?为常数。

2、网格剖分与差分格式

将区间[a,b]分成N等分,分点为

xi?a?ih,i?0,1,???,N,

h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，xi为网格节点，h为步长。

差分格式为：

ui?1?2ui?ui?1?qiui?fi2hi?1,2,???,N?1, u0??,uN??.Lhui??

3、截断误差

将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得

u(xi?1)?2u(xi)?u(xi?1)?d2u(x)?h2?d4u(x)?3????(h) ??22?4?h?dx?i12?dx?i所以截断误差为

h2?d4u(x)?Ri(u)?????(h3) 4?12?dx?i4、数值例子

u(x)?exq(x)?1?sinx

其中x??0,1?

5、求解

d2uLu??2?qu?f由，且已知 dxu(x)?exq(x)?1?sinx 可得

f(x)?exsinx

将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为

?2?q1h2???1??

中心差分格式

1、考虑问题

考虑二阶常微分方程边值问题：

d2uLu??2?qu?f （1） dxu(a)??,u(b)??

其中q，f为[a,b]上的连续函数，?,?为常数。

2、网格剖分与差分格式

将区间[a,b]分成N等分,分点为

xi?a?ih,i?0,1,???,N,

h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，xi为网格节点，h为步长。

差分格式为：

ui?1?2ui?ui?1?qiui?fi2hi?1,2,???,N?1, u0??,uN??.Lhui??

3、截断误差

将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得

u(xi?1)?2u(xi)?u(xi?1)?d2u(x)?h2?d4u(x)?3????(h) ??22?4?h?dx?i12?dx?i所以截断误差为

h2?d4u(x)?Ri(u)?????(h3) 4?12?dx?i4、数值例子

u(x)?exq(x)?1?sinx

其中x??0,1?

5、求解

d2uLu??2?qu?f由，且已知 dxu(x)?exq(x)?1?sinx 可得

f(x)?exsinx

将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为

?2?q1h2???1??

2015 年 秋 季学期研究生课程考核

（读书报告、研究报告）

考

核

科

目 : 偏微分方程数值解法

学生所在院（系）: 理学院数学系 学生所在学科 :学 生 姓 名 :学 号 :学 生 类 别 :考

核结果

数学 Hiter

1XS012000 卷人

阅研究有限差分格式稳定性的其他方法

摘要

偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。

关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性

Abstract

The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite di

-

投标文件技术标部分格式

目录

一、技术标部分封面

二、施工组织

1、工程概况及控制目标。

2、施工总体布置

3、针对本工程招标人特殊要求的技术措施

三、项目管理班子配备情况

四、项目拟分包情况

可编辑

-

投标文件技术标格式说明

1、投标人应按招标文件规定格式编写。

2、工程概况及控制目标、施工总体布置和针对招标人特殊要求的技术措施应按所附下列图表进行填报，图表及格式要求附后。

表1 工程概况表

表2 工程控制目标表

表3 拟投入的主要施工机械设备表；

表4 劳动力计划表

表5 计划开、竣工日期和施工进度网络图；

表6 施工总平面布置图及临时用地表。

表7 针对招标人特殊要求的技术措施表；

3、项目管理班子配备情况应按所附下列图表进行填报，图表及格式要求附后。

表8 项目管理班子配备情况表；

表9 主要人员简历表

4、项目拟分包情况应填写按所附下列图表进行填报，图表及格式要求附后。

表10 项目拟分包情况应填写项目拟分包情况表。

5、投标人中标后应编制递交完整的施工组织设计，施工组织设计编制具体要求是：编制时应采用文字并结合图表阐述说明各分部分项工程的施工方法；施工机械设备、劳动力、计划安排；结合招标工程特点提出切实可行的工程质量、安全生产、文明施工、工程进度技术组织措施，同时应对关键工序、

2.1.2求曲线的方程 (求动点的轨迹方程)

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

点M

按某中规律运动几何意义

曲线C

坐标(x, y )

x, y的制约条件

“数形结合” 数学思想的 基础

代数意义

方程f ( x, y) 0

数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何。解析几何主要研究的 问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质。

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1

部分格式范例

格式范例1：毕业设计（论文）封面 格式范例2：摘要的书写格式 格式范例3：目录的书写格式 格式范例4：图的格式 格式范例5：表的书写格式 格式范例6：参考文献的书写格式

封面的书写格式

石家庄邮电职业技术学院

(小二宋体加粗，居中)

毕业设计（论文）

（小初宋体加粗，居中）

题目

（二号宋体加粗，居中）

届 系

专业 班级 学号 姓名 指导教师 完成日期

(

以上七行均为小三楷体，居中对齐，横线右部对齐。系部名称和专业名称要求写全称，届、学号、完成

日期要求用阿拉伯数字填写，学号填写大学号。指导教师一栏，第一指导教师在前，第二指导教师在后，两名指导教师之间空两个中文字符空间，如果指导教师姓名为两个字，两字中间空一个中文字符。)

摘要的书写格式

摘 要

计算流体力学,AUSM格式,Roe格式,Godunov格式的计算性能对比分析

几种分格插式的能对性分比析

计算流体力学,AUSM格式,Roe格式,Godunov格式的计算性能对比分析

击单处此加添标题

UAS格M 式OR格式EGdunoov格式 USAM式格Go与duno格v式的比较Page 2 A

计算流体力学,AUSM格式,Roe格式,Godunov格式的计算性能对比分析

SUM式格 ASU格M将式量向通量分在非线性波捕裂捉的上鲁性和棒通量差分分裂 线在波性分辨上的高率精度合结起。这来格式个因其有数值具耗 较小散、定性好稳等异性能，优渐逐得到好评。认了对为波流与(征 特速度有u,关线性)声波与(与特速征度u+和ucc-有，非关线)是性物上理的同不过，程因此无粘将通分量为对流裂通项及压力量通量项进分行处别理。Page

计算流体力学,AUSM格式,Roe格式,Godunov格式的计算性能对比分析

A3SMU格式算计压力曲的线pressure10000080000pesruser60000

0400

000200

0-1 0- 5 051 P0gae 4

计算流体力学,AUSM格式,Roe格式,Godunov格式的计算性能对比分析

AxSUM格式算计速

幻灯片1

第七章 差分方程模型

7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长

幻灯片2

7.1 市场经济中的蛛网模型

供大于求

价格下降

减少产量

现 象

数量与价格在振荡

供不应求

增加产量

价格上涨

描述商品数量与价格的变化规律 问 题

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

幻灯片3

蛛 网 模 型

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格

消费者的需求关系

yk?f(xk) 减函数

需求函数

供应函数

生产者的供应关系

增函数

xk?1?h(yk)

yk?g(xk?1)

y

f 0

x

g

f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点

y0

P0

x0

一旦xk=x0，则yk=y0,

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

幻灯片4

yk?g(xk?1)

yk?f(xk)

蛛 网 模 型

设x1偏离x0

xk?1?h(yk)

x1?y1?x2?y2?x3??

xk?x0,yk?y0

xk?x0,yk?y0

模型1 蛛网模型

经济背景与问题：在自 由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周

期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。 模型假设与模型建立

将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示； 设第n个时段商品的数量为

，价格为

，n=1,2….;

由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有

（3. 3）

这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系; 又假设下一期的产量

是决策者根据这期的价格决定的，即：设

，

h是单调增加的对应关系， 从而，有关系：

（3.4）

g 也是单调增加的对应关系. 因此可以建立差分方程：

（3.5） （3.6）

这就是两个差分方程。属