高中数学多面体的表面积

体积与面积公式

多 面 体 的 体 积 和 表 面 积

体积与面积公式

f 一个组合三角形的面积

V=

棱

锥

n 组合三角形的个数 O 锥底各对角线交点

1 F h 3 S= n f+ F S1= n f

Go=h/4

F1, F2 两平行底面的面积 h 底面间距离棱台

V=

a 一个组合梯形的面积 n 组合梯形数

1 h( F1+ F2+ F1F2 ) 3 S= an+ F1+ F2 S1= an

G0=

h F1+ 2 F1 F2+ 3 F2 4 F1+ F1 F2+ F2

圆柱：

R 外半径 r 内半径圆柱和空心圆柱∧管∨

V=πR 2 h S= 2πR h+ 2πR 2 S1= 2πR h空心直圆柱： V=πh( R 2 r 2 )= 2πRpth S= 2π ( R+ r )h+ 2π ( R 2 r 2 ) S1= 2πh( R+ r )

t 柱壁厚度 p 平均半径 S1=内外侧面积

Go=h/2

h1 最小高度斜线直圆柱

V=πr 2

h1+ h2 2 1 ) cosα

h2 最大高度 r 底面半径

G0= GK=

S=πr (h1+ h2 )+πr 2 (1+ S1=πr (h1+ h2 )

h1+ h2 r 2tg 2α+ 4 4(h1+

空间几何体的三视图、表面积和体积

1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

热点一 三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．由三视图还原几何体的步骤

一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．

例1 (1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )

答案 D

解析 所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧(左)视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧(左)视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，故选D.

(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________． 答案 2＋2 2

解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥

课 题 1.3.1空间几何体的表面积和体积 主备人 学习目标 知识与技能：通过学习掌握柱、锥、台表面积、体积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的表面积和体积。 过程与方法：通过对柱、锥、台表面积和体积的公式的探究学习,体会观察、类比、归纳的推理方法。 情感态度与价值观：培养学生从量的角度认识几何体，培养学生的空间想象能力和思维能力。 学习重点：柱、锥、台表面积、体积的计算公式。 学习难点：利用相应公式求柱、锥、台表面积、体积。 掌握并理解公式，熟练运用公式，培养空间想象能力。 学习过程 备注 学 习 重点难点 学法与 教 具 A问题1：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 例1：已知棱长为a，各面都是等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积？ A问题2：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？ hL 一

例2：如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（?取3.14，结果精确到1 ）？ 20cm

疱丁巧解牛

知识·巧学

一、柱体的表面积 1.棱柱的表面积.

当棱柱的侧棱与底面垂直时，去掉底面，展开图是矩形，如长方体、直棱柱等，如图1-3-1.

图1-3-1

所以侧面积为S直棱柱侧面积=Ch，即直棱柱的侧面积是底面周长乘高. 其中C是底面的周长，h是侧棱长，也是高. 全面积S全=S侧+S底.

底面积的求法，如果是规则多边形，用公式；当是不规则多边形时,先用分割法分割成几个三角形，再求之.

方法点拨 求棱柱的全面积，一般有两种方法，一是逐个面求面积，这是解决问题的常用方法;再一种就是割补法.例如，在一般棱柱中,作DE、EF、FD与侧棱垂直,被截面DEF截成两节，按图1-3-2的方式拼接，则变成了一个直棱柱，侧面积不变.

图1-3-2

2.圆柱的表面积.

圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图1-3-3.

图1-3-3

所以圆柱的侧面积是S=Ch=2πrl. 二、锥体的表面积

1.棱锥的表面积一般用逐面加的方法，在正棱锥的情况下，可以用公式S侧=

1Ch',其中，C2侧

是底面的周长，h′是侧面的高.

对棱锥表面积的求解可以这样理解 .如图1-3-4,每个侧面都是全等三角形,所以S=

11

多面体和棱柱的结构特征

一、教学方法

结合本节课的知识特点，和学情分析，让课堂能突出重点，突破难点，顺利实现教学目标，本节课我采用自主探究，合作交流，问题引领的教学方法，在课前学生通过已有的知识基础，结合自学指导提出的问题首先自主学习，课堂上以问题的提出、问题的解决为主线，充分体现以学生为主体的教学理念.同时利用多媒体辅助教学，增大课堂容量，提高教学效率，优化学习效果.

二、学法指导

让学生学会学习是教学的追求，因而在教学中要特别重视学法指导.我让学生通过观察数学模型，动手制作数学模型以及多媒体动画展示等方式，自主的进行归纳总结、抽象概括、构建新知，同时让学生通过自主探究，合作交流，养成良好的学习习惯. 三、教学过程

为了更好的完成本节课的教学目标，结合自己对新课程理念中“用教材教而不是教教材”的理解，在尊重教材的基础上，我对课本内容进行了整合、提炼，将教学过程设计为以下三个环节：

（一）自主学习

【多面体】

1．通过自学了解多面体的定义，试举出一些现实生活中多面体与非多面体的实例.

2．借助数学模型解释多面体的相关概念

①多面体的面②多面体的棱③多面体的顶点

④多面体的对角线⑤几何体的截面.

3．如何按不同的标准对多面体进行分类，试叙述你的认识。

【棱柱】

1. 通过

多面体和棱柱的结构特征

一、教学方法

结合本节课的知识特点，和学情分析，让课堂能突出重点，突破难点，顺利实现教学目标，本节课我采用自主探究，合作交流，问题引领的教学方法，在课前学生通过已有的知识基础，结合自学指导提出的问题首先自主学习，课堂上以问题的提出、问题的解决为主线，充分体现以学生为主体的教学理念.同时利用多媒体辅助教学，增大课堂容量，提高教学效率，优化学习效果.

二、学法指导

让学生学会学习是教学的追求，因而在教学中要特别重视学法指导.我让学生通过观察数学模型，动手制作数学模型以及多媒体动画展示等方式，自主的进行归纳总结、抽象概括、构建新知，同时让学生通过自主探究，合作交流，养成良好的学习习惯. 三、教学过程

为了更好的完成本节课的教学目标，结合自己对新课程理念中“用教材教而不是教教材”的理解，在尊重教材的基础上，我对课本内容进行了整合、提炼，将教学过程设计为以下三个环节：

（一）自主学习

【多面体】

1．通过自学了解多面体的定义，试举出一些现实生活中多面体与非多面体的实例.

2．借助数学模型解释多面体的相关概念

①多面体的面②多面体的棱③多面体的顶点

④多面体的对角线⑤几何体的截面.

3．如何按不同的标准对多面体进行分类，试叙述你的认识。

【棱柱】

1. 通过

课 题 1.3.1空间几何体的表面积和体积 主备人 学习目标 知识与技能：通过学习掌握柱、锥、台表面积、体积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的表面积和体积。 过程与方法：通过对柱、锥、台表面积和体积的公式的探究学习,体会观察、类比、归纳的推理方法。 情感态度与价值观：培养学生从量的角度认识几何体，培养学生的空间想象能力和思维能力。 学习重点：柱、锥、台表面积、体积的计算公式。 学习难点：利用相应公式求柱、锥、台表面积、体积。 掌握并理解公式，熟练运用公式，培养空间想象能力。 学习过程 备注 学 习 重点难点 学法与 教 具 A问题1：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 例1：已知棱长为a，各面都是等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积？ A问题2：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？ hL 一

例2：如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（?取3.14，结果精确到1 ）？ 20cm

《长方体的表面积》教学设计

知识与技能目标：

（1）理解长方体和正方体表面积的意义，掌握长方体和正方体表面积的计算方法。

（2）在理解和推导长方体表面积的计算方法的过程中，培养抽象概括能力、推理能力和思维的灵活性，同时发展空间观念。 过程与方法目标：

学会解决实际生活中有关长方体和正方体表面积计算的问题。 情感态度价值观目标：

培养学生良好的解题习惯，发展学生的空间观念。

重点：建立表面积的概念，理解并掌握长方体表面积的计算方法。

难点：根据给出的长方体的长、宽、高，想象出每个面的长和宽各是 多少。

教具学具 : 多媒体课件、剪刀、长方体盒子 一、复习旧知，引出课题

同学们打开记忆的宝库，集体去知识的海洋里遨游。接下来，我们探究新的内容。（板书课题） 二、长方体表面积的意义

引导学生观察,认真思考，得到哪些信息？ 这是生活中常见的实际问题，如何转化为数学问题呢？引出长方体表面积概念。 【预设：从实际问题转化为数学问题，让学生明白，求需要多少纸板也就是求长方体的表面积，从而引出“长方体表面积”概念】

三、长方体表面积的计算方法

活动一：展开图与长方体的长、宽

不错的

不错的

一、多面体问：下列模型都是多面体吗？

不错的

一、多面体定义: 由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。

定义:

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个 面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做 多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线 段叫做多面体的对角线。面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸 多面体。

定义: 把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的

定义:

一个多面体至少有四个面。多面体按照它的面数分 别叫做四面体、五面体、六面体等。

不错的

二、棱柱问：下列几何体哪些是棱柱？

(1) (2) (3) (4)

(5)

(6)

(7)

不错的

1、棱柱的概念定义: 如果一个多面体有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做 棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称 底；其余各面叫做棱柱的侧面；两侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段， 叫做棱柱的高。 动画E1

2、棱柱的表示 棱柱用底面各顶点的字母表 示，如图中的棱柱，记做棱柱 ABCDE—A1B1C1D1E1 ,或用表 示一条对角线的端点的字母来 表示，例如棱柱BD1

A1 B1

D1

C1

E A B C

D

不错的

3、棱柱的分类侧棱不垂直底面的

我的同学王小明平时戴着一副眼镜儿，长得又矮又瘦，其貌不扬。但了解他的人都知道，他是个多面体”！

小动作

上课了，同学们都坐在自己的位置上，等着老师来讲课，只能听见风声和写字声。此时，只有一个同学没在写作业，一直在做小动作，他就是王小明。只见他用校服遮住课桌，低着头，双手放在课桌下，眼睛盯着桌子一动不动，仿佛很投入的样子。坐在后面的我定睛一看，原来他在底下看课外书呢！

站着睡觉

那是星期三的一个下午，王小明匆匆来到教室，只见他头发凌乱，戴着眼镜，炯炯有神的大眼睛一眨一眨，使人不知道他在想什么。顿时，同学们哈哈大笑。

老师把他叫起来站着听课，然后继续上课作文。我看了他一眼，只见他开始打盹，老师还在讲课，我发现他一动不动的，哦，原来他睡着了。从来不知道他还有这么大的神功”啊！

无人不知”的学者

他，是一个学者”。在班里，他常常数学能打高分，各科目也学得很好。渐渐地，才发现，他知识丰富，可谓是班级里无人不知的学者”。

那次考试，我密切观察他的举动，教室里静悄悄的，只能听见匆匆的写字声，只见他的笔正快速的摆动，到了收卷时间，他满怀信心的交卷了。考卷发下来后，果然，他又考了高分。我不禁暗暗佩服他。

这就是我的同学