高中奥数平面几何定理

篇一：个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲

一、

1. 梅涅劳斯定理

平面几何

证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，

(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1

逆定理证明：

证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

证明一

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，

则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'

有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似， 三式相乘得1

得证。如百科名片中图。

※ 推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是

λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是A

高中数学常用平面几何名定理 定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

定理2 Ceva定理

定理3 Menelaus定理

定理4 蝴蝶定理定理

内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

定理5 张角定理

在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

定理7 Eular line：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半

定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点

已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心

定理1

平面几何的定理

模型1：【内心与外接圆】设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之， 点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆也成立). A

I

BC

A' 模型2【内切圆与旁切圆】 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常 常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. A 性质：（1）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIA＝DI＝DB＝DC； （2）△ABC的∠A的内角平分线交外接圆于点D，以点D为圆心，DC 为半径作圆，与直线AD相交于两点I和IA，则这两点I和IA恰好是△ABC 的内心和旁心。 I BC

D

IA

模型【3垂心性质】△ABC 垂心H关于三边的对称点在△ABC的外接圆上，关于三边中点的对称点在△ABC

的外接圆上；三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(AH＝|2RcosA|)。

A

B'F

E

O H M DBC

H'

1

模型4【圆幂定理】 从一定

①鸡爪定理：设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。

由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径 ∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI

∵IBJC四点共圆 且 KB=KI=KC

∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等） ∴KB=KI=KJ=KC

鸡爪定理逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。 证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。

取△ABC的内心I'和旁心J’，根据定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ

∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分别

金钥匙小学六年级奥数复习资料

小学奥数平面几何五大定律

教学目标：

1． 熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDaS1S2AbB?S△BCD；

CD反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

六年级奥数平面几何部

分

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

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精彩文档

平面几何部分 教学目标：

1．熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图

ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，

则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =?

高中平面几何

(上海教育出版社 叶中豪)

知识要点

三角形的特殊点

重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线

特殊直线、圆

Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆， Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆

特殊三角形

中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形， 第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形

相关直线及相关三角形

Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形

重心坐标和三线坐标 四边形和四点形

质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线

完全四边形

Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，G

竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理

重庆市育才中学 瞿明强

四个重要定理：

梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）

△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、

R共线的充要条件是 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）

。

△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的

充要条件是

托勒密(Ptolemy)定理

。

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题：

1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：

。

【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）

【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。

2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

求证：。

【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。

DEG截△ABM→（梅氏定理）

DGF截△ACM→（梅氏定理）

∴===1

【评注】梅氏定理

3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，

，AD、BE、CF交成△LMN

第二讲 平面几何中的著名定理

一、基础知识

（一）常用定理

1、（梅涅劳斯定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，且奇数个点在边的延长线，则X,Y,Z三点共线的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1.

2、（塞瓦定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB上的点， 则AX,BY,CZ共点的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1.

（角元形式的塞瓦定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB上的点， 则AX,BY,CZ共点的充要条件是：

sin?BAXsin?XAC?sin?CBYsin?YBA?sin?ACZsin?ZCB?1.

?,C?A,?推论：设X,Y,Z分别是?ABC的外接圆三段弧BC则AX,BY,CZ共AB上的点，

点的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1

3、托勒密定理:四边形ABCD内接于圆的充要条件是：

AB?CD?BC?DA?AC?BD.

广义托勒密定理:在凸四边形ABCD中,有AB?CD?BC?DA?AC?BD,等号成立的充要条件是四边形ABCD为圆的内接四边形.

直线上托勒密定理：若A,B,C,D为一直线上依次排列的四点， 则AB?CD?BC?DA?

6平面几何托勒迷定理二

例1:圆O是?ABC的外接圆,I是?ABC的内心,射线AI交圆O于D,求证AB,BC,CA成等差数列的 充要条件是S?IBC?S?DBC

A13证明:由?BID??5??1??2??3??2??4??2??DBI知DI?BD?DC必要性:若AB,BC,CA成等差数列,即AB?AC?2BC而?IBA,?ICA,?IBC有相等的高,则S?IAB?S?IAC?2S?IBC又由托勒迷定理,有AB?DC?AC?BD?AD?BCADAB?AC即(AB?AC)?DI?AD?BC,??2,即I是AD的中点,于是DIBCS?AIB?S?IBD,S?IAC?S?ICD,2S?IBC?S?IAB?S?IAC?SBDCI?S?IBC?S?BDC故S?IBC?S?DBC1111充分性:若S?IBC?S?DBC即IB?BC?sin?B?DB?BC?sin?A有2222?A?BIB:DB?sin:sin比较上述得IA?BD,但DI?DB即知AD?2DI,22AB?ACAD由托勒迷定理知??2即AB?AC?2BC故AB,BC,CA为等差数列BCDI2OB

24I5CDA13O2I5

B24CDIA2IB2IC2例2.如图设I为?ABC的内心,角