数列极限的四则运算法则的适用条件

高中数学B版选修2-2

1.2.3 导数的四则运 算法则

高中数学B版选修2-2

一.函数和(或差)的求导法则 函数和(或差) 设f(x),g(x)是可导的，则(f(x)±g(x)) '= 是可导的， = f ' (x)±g' (x). 即两个函数的和(或差)的导数， 即两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差). 个函数的导数的和(或差). 即 (u ± v )' = u '± v '

高中数学B版选修2-2

证明： )+g 证明：令y=f(x)+g(x),则y = f ( x + x) + g ( x + x) [ f ( x ) + g ( x )]= [ f ( x + x ) f ( x )] + [ g ( x + x ) g ( x )] = f + g

y f g = + x x xy f g f g lim = lim + lim + lim = x → 0 x → 0 x x → 0 x x x x →0 x

即 y ' = ( f + g ) ' = f '+ g '

高中数学B版选修2-2

同理可证 y ' = ( f g ) ' = f ' g ' 这个法

导数的四则运算法则

一.函数和(或差)的求导法则 设f(x),g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’=

f ’(x)±g’(x).即两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差). 即 (u v)' u ' v'

证明：令y=f(x)+g(x),则 y f ( x x) g ( x x) [ f ( x) g ( x)] [ f ( x x) f ( x)] [ g ( x x) g ( x)] f g

y f g x x x y f g f g lim lim lim lim x 0 x 0 x x 0 x x x x 0 x

即 y ' ( f g ) ' f ' g '

同理可证 y ' ( f g ) ' f ' g ' 这个法则可以推广到任意有限个函数， 即 ( f1 f 2 f n ) ' f1 ' f 2 ' f n ' 二.函数积的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数，则

篇一：导数公式以及四则运算法则练习

导数的计算

一、选择题

cosx的导数是（ ）C x

sinxxsinx?cosxxcosx?cosx? A?2B?sinx C?D xx2x21、函数y?

2、曲线y?x?ex在以下哪个点处的切线斜率等于0 （）A

A （0，-1） B（1，0）C （0，1）D（-1，0）

3、函数y?sinx(cosx?1)的导数是（）C

2 A cos2x?cosx B cos2x?sinx C cos2x?cosx D cosx?cosx

4、

曲线y?x?3x上切线平行于x轴的点的坐标是（ ）D

A（-1，2）B （1，-2）C（1，2）D （-1，2）或(1,-2)

5、设y??a??x，则y/等于（ ）D

A31

2?a?1

2?x B 1

2?xC 1

2?a?1

2?xD?1

2?x

6、若f(x)?2sin(3x??)，则f/()等于（）B 44?

A 6 B -6 C 2 D -2

37、曲线y?x?x?2在P点处的切线平行于直线y?4x?1，则此切线方程是（ ）D

A y?4x By?4x?4C y?4x?8D y=4x或y=4x-4

2f(x)-8x的值是 （）B x?1x-1

A 5B2 C

7.7数列的极限——极限的运算法则 （第4课时）

【教案】 教学目标：

1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．

2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 教学重点：数列极限的运算性质.

教学难点：数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用.

教学过程：

一、情景引入

复习：

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常．．．．．数a，那么就说数列{an}以a为极限.记作liman?a．

n??2.几个重要极限：

1 （1）lim?0 （2）limC?C（C是常数）

n??n??n （3）无穷等比数列{qn}（q?1）的极限是0，即 limqn?0(q?1) n??3. 数列极限的运算法则：

与函数极限的运算法则类似, 如果liman?A,limbn?B,那么

n??n??lim(an?bn)?A?B li(man?bn)?A?B

n??n??anAlim(an.bn)?A.B lim?(B?0) n??n??bBn

二、概念形成

（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 例1 求lim(1

数列极限四则运算的两个易错占

I

‘ l

20 0 0年弟 l期摘要数列极限的加、减与乘的运算法则能推广到有限个

数列的情况，但不能适用无限个数列的情况注意运用数列极限四则运算的前提条件。蜘 关键词极限有限个个

数列极限四则运算的两个易错占课本中对数列极限运算 绐出T四则运算法则 .这些浊则有两点应引起学生注意比如数列极限的加、溅与乘的运算法则能推广到有限个数列的情况 .但不能通 1无限个数列的情讨况另外，法刚指出：“若两个数列都有极限 .”这足运用数列极限四则运算的前提条件。【题】例

纽厂

,■聂狮 .

l求下列极限：、( l ( 1)i￣ a r…- -

n

南 _ .

)

、

正确的解法：

由 o 于<+n— -

_-<一…一 ' -一 . .÷一

1

—

毳『l

而

n。

一一，1 1十

n=i— 0 n。 )由迫性知： n (一。 .一敛

‘+毒南错误的解法：L (1 i a ro

++ )。…悉一_ I. ._ )=Lm i l i￣ lm.,

+

=…

…

一

一

+

一o o。+。 o+ -…

2求下列极限：、

(l4… ) 1i 4++ ) m( 1 (三++ 2 i三一… ) )解：1南极限四则运算法则知 (), I'、

原一 l【三+ l _『

兰州外语职业学院教案专用纸

专业： 科目：《经济数学基础》 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫

29

1.4 极限的性质与运算法则

教学目标: 1.掌握极限的性质及四则运算法则。

2.会应用极限的性质及运算法则求解极限

教学重点：极限的性质及四则运算法则；

教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳

教学课时：2学时

教学方法：讲授法、归纳法、练习法

教学过程：

1.4.1 极限的性质

性质1.5（唯一性） 若极限)(lim x f 存在，则极限值唯一． 性质1.6（有界性） 若极限)(lim 0

x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个空心邻域内有界．

性质1.7（保号性） 若A x f x x =→)(lim 0

，且0>A （或0<A ），

则在0x 的某空心领域内恒有0)(>x f （或0)(<x f ）．

若A x f x x =→)(lim 0

，且在0x 的某空心邻域内恒有0)(≥x f （或

0)(≤x f ）,则0≥A （或0≤A ）． 1.4.2 极限的四则运算法则

定理1.3 若A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，则

第三节

极限运算法则

一、极限四则运算法则定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则

(1) lim[f (x) g(x)] = limf (x) limg(x) = A B(2) lim[f (x) g(x)] = limf (x) · limg(x) = A · B

f ( x) lim f ( x) A (3) 若B 0, 则 lim . g ( x) lim g ( x) B

推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则

(1) lim[Cf (x)] = C limf (x) (2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n

2x x 4 例1. 求 lim x 2 x 63 2

更一般的, 有结论: 若f (x)为初等函数, 且f (x)在点 x0处有定义. 则 lim f ( x ) f ( x0 )x x0

xn 1 例2. 求 lim m , 其中m, n为自然数. x 1 x 1

解: 注意到公式

x n 1 ( x 1)( x n 1 x n 2 1)有( x 1)( x n 1 1

函数与极限资料二 2011-10-21

分类讨论求极限

例 已知数列?an?、?bn?都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p?q，且p?1，q?1，设cn?an?bn，Sn为数列?Cn?的前n项和，求limSn.

n??S?1na1pn?1b1qn?1解： Sn? ?p?1q?1????Sna1?q?1?pn?1?b1?p?1?qn?1. ?n?1n?1Sn?1a1?q?1?p?1?b1?p?1?q?1????????分两种情况讨论； （1）当p?1时，∵ p?q?0，故0?q?1， p∴limSn n??Sn?1???qn?1?1???n?p?a1?q?1???1?pn???b1?p?1???pn?pn??????????? lim?n?1?????q?1?1??pn?1?a1?q?1????????1??bp?1?n?1n?1???pn?1?1?p???????p????p?a1?q?1??1?0??b1?p?1??0 a1?q?1??1?0??b1?p?1??0a1?q?1??p a1?q?1??p?（2）当p?1时，∵ 0?q?p?1， ∴ limSn

n??Sn?1a1?q?1?pn

北师大版高中数学选修2-2教案

§4 导数的四则运算法则 4．1 导数的加法与减法法则 4．2 导数的乘法与除法法则

(教师用书独具)

●三维目标 1．知识与技能

(1)引导学生发现两函数和、差、积、商的求导法则；

(2)运用两函数和、差、积、商的求导法则计算函数的导数． 2．过程与方法

通过对特殊的两个函数的和、差、积、商的导数与两函数导数的和、差、积、商的关系的探究学习，培养学生发现数学规律的方法与能力；通过法则的应用，提高学生化归转化的意识和能力．

3．情感、态度与价值观

(1)通过两函数和、差、积、商的求导法则的探索及推广，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探究归纳意识和能力；

(2)通过法则的应用实践，体会数学中“化繁为简”这一基本的解题策略，体会数学在认识世界、改变世界中的价值．

●重点难点

重点：和、差、积、商的求导法则的运用． 难点：法则的提出与推导． 教学时从具体实例出发，引导学生分析实例中函数的结构与基本初等函数的关系，并引导学生提出问题，然后利用导数的定义解决问题，从而从具体问题中化解难点，再通过对法则的适用，突出重点．

(教师用书独具)

●教学建议

本节内容安排在学生学习了导数的定义和基本初等

导数的四则运算

拟稿人：刘世利

一、主要知识：

1、几个常用的导数公式

c ；（1）（2）（3） sinx ； xn n Q* ；

（4）（5）（6） cosx ； ax ； ex ；

（7） logax ；（8） lnx 。

2、导数的运算法则

（1）

f(x) g(x) = 推广：

f(x1) f(x2) f(xn) f(x) g(x) ； cf(x) （2）

（c R）；

f(x) （3） = . g(x)

1 f(x) .

(4)当y f(u(x))是x的复合函数时，记号

导数。

二、典例分析： dydydu dxdudxdy明确表示对x求dx

例1 求多项式函数f(x) a0xn a1xn 1 ...... an 1x an的导数。

例2 求y xsinx的导数

例3 求y sin2x的导数

例4 求y tanx的导数

例5 求 5x 3 5 的导数

求 sin5x 的导数

三、课后作业：

1、函数