高二数学抛物线的简单几何性质

抛物线的几何性质习题

一、选择题

1.若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线

2

2.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是( )

A.2.5 B.5 C.7.5 D.10

3.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )

2222A.y=11x B.y=-11x C.y=22x D.y=-22x

2

4.过抛物线y=2px(p＞0)的焦点且垂直于x轴的弦AB，O为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不能确定

2

5.以抛物线y=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定

二、填空题

2

6.圆心在抛物线y=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .

x2y2

7.若以曲线+=1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于

2516

A、B两点，则｜

抛物线的简单几何性质学案

§2.3.2抛物线的简单集合性质学案

第 1 页

2013/3/24

【复习巩固】

1. ____________________________________________________________________叫做抛物线；_______________叫做抛物线的焦点，________________叫做抛物线的准线；焦点在x 轴上抛物线的标准方程为_________________，其焦点坐标为__________，准线方程为________________，其中p 的几何意义为________________.

2. 以02p ??

???

，为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________； 以02p ??

-

???，为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________； 以02p ?? ??

?

，为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________；

以02p ??

???

，-

为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为_______________.

4.

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

普通高中课程标准实验教材选修( ) 普通高中课程标准实验教材选修(2-1)

抛物线习题课( ) 抛物线习题课(1)

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

复习

一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线 平面内与一个定点 和一条定直线l 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 抛物线. 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点 定点 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线 准线. 定直线 叫做抛物线的准线N lM

· ·F

即:

MF ︳ ︳ , 则点 M 的轨迹是抛物线。 若 =1 MN ︳ ︳

注意：定点不在定直线上。 注意：定点不在定直线上。

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

练习4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 到定点(3,5)与定直线2x+3y 是( A.圆 A.圆 C.线段 C.线段

D)B.抛物线 B

高二数学抛物线及其标准方程教案

教学目标：

(一) 教学知识点

1、 掌握抛物线的定义。

2、 3、

抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线 。 能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程。

训练学生化简方程的运算能力

培养学生数形结合，分类讨论的思想

（二）能力训练

1、 2、

（三）德育渗透目标

1、 根据圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。

２、 通过本节课的学习，使同学们再次感受到数学与生活的美妙结合，进一步体会大自然的奥秘。

教学重点

1、 2、

教学难点

1、 2、

抛物线的画法。

抛物线的四种图形下标准方程及焦点和准线的求法。 抛物线的定义、焦点和准线的求法。

抛物线的四种标准方程形式以及p的几何意义。

教学方法：

启发引导式

教学过程： １课题引入：通过抛掷苹果的实验启发学生回忆起对抛物线的了解．板书题目抛物线及其标准方程

回忆：椭圆，双曲线的第二定义 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e

的点的轨迹，当0< e <1时是椭圆，当 e > 1时是双曲线，那么当 e = 1时是什么曲线呢？ 讲授新课 一、 1、抛物线定义

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F叫做抛物

目标 重点 难点

从具体情境中抽象出抛物线 的模型，掌握抛物线的定义、 的模型，掌握抛物线的定义、 标准方程、几何图形， 标准方程、几何图形，能够 求出抛物线的方程， 求出抛物线的方程，能够解 决简单的实际问题. 决简单的实际问题..抛物线的定义和标准方程

抛物线标准方程的推导过程

探 究

观察动画

,总结抛物线定义

把平面内与一个定点F和一条定直线l 把平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 焦点， 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线H

yMO

思 考

求抛物线方程如何建 立直角坐标系呢？ 立直角坐标系呢？

K l

F

x

线段FK FK的 解：如图，以过点F且垂直于l的直线FK为x轴，线段FK的 如图，以过点F且垂直于l的直线FK为 FK 中垂线为y 建立直角坐标系。 |KF|=p,则F(P/2,0), 中垂线为y轴，建立直角坐标系。设|KF|=p,则F(P/2,0), M(x,y)是双曲线上任意一点 是双曲线上任意一点， 设M(x,y)是双曲线上任意一点，则： y |MF|=|MH| H Mp2 2

关于抛物线焦点弦的一个性质及其证明

江苏省盱眙县马坝高级中学（211751） 赵建宏

p性质：设线段AB是过抛物线 y2?2px(p?0)的焦点F(,0) 的弦，记

2112AF?m,BF?n, 则??。

mnp本文给出下列九种证法：

p 的垂线AM、BN，再作2AP?x轴，BQ?x轴，垂足分别为M、N、P、Q。

证法一：如图一,过A、B分别作准线x??由抛物线定义得：AM?AF?m,BN?BF?n,FK?p 于是

y ?BN?FP?PK?FK?AN?KF?m?p,FQ?FK?KQ?FKp?n, A易知：△APF∽△FQB

FPAFy m?pm112?,即?，整理得：??. ∴A FQBFp?nnmnpM

K O N B Q F P C K O M ，

2 E ）（ 1 x F N B x 图一

D 图二 1

证法二：接图一,分别取MN、AB中点C、E,连结CE、CF、AC、FN及FM,延长AB交MN于D(如图二）.

∵AM?AF?m，BN?BF?n.

11m?n∴∠1＝（180o－∠NBA），∠2＝（180o－∠MAB），CE?

222AM∥BN 又∵

∴∠NBA＋∠MAB＝180o ，∴∠1＋∠2＝90o ∴∠M

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．

与抛物线有结论

抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

p2结论一：若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，

42y1y2??p2。

证明：因为焦点坐标为F(

22pp,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： y?k(x?)， 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p，x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时，直线AB方程为x?p2x1x2?。

4p，则y1?p，y2??p，∴y1y2??p2，同上也有：2例：已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F，求证：

11?AFBF为定值。

pp，BF?x2?，又22证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF?x1?p2。 AF+BF=AB，所以x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1x2?4则：1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?（常数） ?222ppppp

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点

和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点

不在定直

线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。 2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数

的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：

其中

为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线

4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线

上的点的坐标可设为

的焦点

，以简化运算。 的直线与抛物线交于

，直线

与

的斜率分

别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，

。

说明：

1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意

篇一：抛物线定义及标准方程

一、 复习预习

复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用