立体几何平行垂直转化关系

第1题. 已知 a， m， b，且m// ，求证：a//b．

答案：证明：

答案：证明：连结AF并延长交BC于M．连结PM，

m

m// m//a a//b．

a 同理 m//b

BFMFPEBFPEMF

，又由已知，∴．

FDFAEAFDEAFA

由平面几何知识可得EF//PM，又EF PBC，PM 平面PBC， ∴EF//平面PBC．

∵AD//BC，∴

第4题. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，E1F1是平面A1C1上的线段，求证：E1F1//平面AC．

答案：证明：如图，分别在AB和上截取AE A1E1，DF D1F1，连接EE1，FF1，EF．

第2题. 已知： b，a// ，a// ，则a与b的位置关系是（

Ａ．a//b Ｂ．a b Ｃ．a，b相交但不垂直 Ｄ．a，b异面

答案：Ａ．

第3题. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且

∴A1E1平行且等于AE，D1F1平行且等于DF，

故四边形AEE1A1，DFF1D1为平行四边形．

∴EE1平行且等于AA1，FF1平行且等于DD1． ∵AA1平行且等于DD1，∴EE1平行且等于FF1，

四边形

立体几何解题中的转化策略数学必修2第一、二章专题复习

邢台市一中

刘聚林

立体几何解题中的转化策略

大平行关系的转化

策 略 空 间 平 面

位置关系之间的转化

垂直关系的转化 垂直与平行关系的转化 角 度 线线角、 线线角、线面角和二面角 长 度、表面积与体积 直观图与三视图

数量关系之间的转化

空间图形与平面图形之间的转化

直观图与展开图

立体几何解题中的转化策略

题型一： 题型一：位置关系的相互转化 大策略： 大策略：空间 小策略： 小策略： ① 平行转化：线线平行 平行转化： 垂直转化： ② 垂直转化：线线垂直 ③ 平行关系 垂直关系 线面平行 线面垂直 面面平行 面面垂直 平面

立体几何解题中的转化策略

题型一：位置关系的相互转化

练习1 练习1:如图， 如图，在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 = AD = a ,

AB = 2a , E 、 F 分别为 C1 D1 、 A1 D1 的中点. D 1 的中点.(Ⅰ)求证： DE ⊥ 平面 BCE ; 求证： (Ⅱ)求证： AF // 平面 BDE . 求证：D A F A1

E B1

C1

C B

立体几何解题中的转化策略

题型一：位置关系的相互转化

练习1 练习1:如图， 如图，在长方体 ABCD

高中数学立体几何平行与垂直练习题

立体几何-平行与垂直练习题

1. 空间四边形SABC中，SO 平面ABC，O为 ABC的垂心， 求证：（1）AB 平面SOC（2）平面SOC 平面SAB

A

C

2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证： （1） EM 平面A A1C1C; （2）平面A1EC 平面AA1C1C；

A

C

M

B

E

A1

B1

C1

3. 如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,G为

AC与BD的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD.

4. 设P,Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图, （1）证明PQ∥平面AA1B1B

；（2）求线段PQ的长.

高中数学立体几何平行与垂直练习题

5. 如图,在四棱锥P-ABCD中，AB//DC，AB AD，BC 5，DC 3，PD 面ABCD，

（Ⅰ）当主视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥AD 4， PAD 60．

P ABCD的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM//面PBC．

6. 已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠

v1.0 可编辑可修改

11

立体几何垂直总结

1、线线垂直的判断：

线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

2、线面垂直的判断：

（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

3、面面垂直的判断：

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

证明线线垂直的常用方法：

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?

同理，AD BD DE AB AE BE =??⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE

（2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 例2、（菱形

平行与垂直的综合应用

[基础要点]

指出每个箭头方向表示的定理： ⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼ ⑾ 题型一、平行关系的综合应用

⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽ ⑿

CA1

A

例1、如图示，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，点E、F分别是棱上CC1,BB1的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2

（1）当点M在何位置时，MB∥平面AFE

（2）若MB∥平面AFE，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值。

变式:如图示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？

题型二、垂直关系的综合应用

例2、如图示，已知平行六面体ABCD A1BC11D1的底面ABCD是菱形，且 C1CB C1CD BCD （1）求证：C1C BD

B1

FB

A

E

F

B

G

CH

D

D

（2）当

CD

的值为多少时，能使AC 平面C1BD?请给出证明 1

CC1

变式：平面 内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面 ，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三

专题八：立体几何

----空间位置关系

知识点：

（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。

（2）线线垂直的判断：

⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

（5）面面平行的判断：

⑷一个平面内的两

高二理科数学

班别： _____________

导学案

空间向量与平行关系

学号： _____________

姓名： ___________

§3.2立体几何中的向量方法（2）

一、学习目标

1．掌握运用方向向量和平面法向量证明平行问题的方法．

2．能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系． 二、问题导学

问题1：怎样证明两个向量平行？

?????问题2：若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样证明两条直线平行？

?????问题3：若两个平面?1、?2的法向量向量分别为n1、n2，怎样证明两个平面平行？

????问题4：若直线l1的方向向量分别为a1，平面?1的法向量向量分别为n1，怎样证明直线

和平面平行？ 三、例题探究

例1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD.

例2． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

1

变式：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

例3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．求证

第4讲立体几何（平行与垂直）

【学习目标】

(1)主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等

(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明．

【知识要点】

1．平行关系

(1)判定两直线平行，可供选用的定理有：

①公理4：若a∥b，b∥c，则a∥c.

②线面平行的性质定理：若a∥α，a?β，α∩β＝b，则a∥b.

③线面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

④面面平行的性质定理：若α∥β，r∩α＝a，r∩β＝b，则a∥b.

(2)线面平行的判定，可供选用的定理有：

①若a∥b，a?α，b?α，则a∥α.

②若α∥β，a?α，则a∥β.

(3)判定两平面平行，可供选用的定理有：

若a，b?α，a，b相交，且a∥β，b∥β，则α∥β.

2．垂直关系

(1)判定两直线垂直，可供选用的定理有：

①若a∥b，b⊥c，则a⊥c.

②若a⊥α，b?α，则a⊥b.

(2)线面垂直的判定，可选用的定理有：

①若a⊥b，a⊥c，b，c?α，且b与c相交，则a⊥α.

②若a∥b，b⊥α，则a⊥α.

③若α⊥β，α∩β＝b，a?α，a⊥b，则a⊥β.

(3)判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a⊥α，a?β，则α⊥β.

3.重视容易忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面

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高二立体几何试卷线面，面面关系

1、用m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，给出下列命题： ①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ②若m∥α，α⊥β则m⊥β； ③若m⊥β，α⊥β，则m∥α； ④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β， 其中，正确命题是__________

2、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．

3、如图，在四棱锥A﹣CDEF中，四边形CDFE为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，AF⊥平面CEFD，P为AD中点，EC= FD．

（Ⅰ）求证：CP∥平面AEF；

（Ⅱ）设EF=2，AF=3，FD=4，求点F到平面ACD的距离．

4、如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点． （Ⅰ）求证：平面FGH∥平