材料力学一点的应力状态

一 一点的应力状态与应力张量

二 主应力与应力不变量

对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P点处应力状态在直角坐标系可表示为

??x?xy?xz???S??ij???yx?y?yz?

??zx?zy?z??? 如图1-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，

新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有?xz=?zx，?xy=?yx，?yz=?zy。 已知物体内某点P的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在P点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)

它的三个面分别与x,y,z三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N，其方向余弦为l,m,n。分别以dF、dFx、dFy、dFz代表abc 、obc 、oac、 oab三角形面积。

dFx?ldF??dFy?mdF? （1.2）

?dFz?ndF? 在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc上有合应力PN,它可分解为正应力

222 ?N及切向剪应力?N，即PN??N??NPN沿坐标轴方向分量为xN,yN，zN

7-1(7-3) 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。由于实用的原因，图中的 限于

正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力

角为许

范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的

用拉应力 的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问 角的值应取多大？ 解：按正应力强度条件求得的荷载以

表示：

按切应力强度条件求得的荷载以

则

表示，

即：

当

时 ， 时， 时，

， ， ，

，

，

时，

由

、

随

，

时，杆件承受的荷载最大，

而变化的曲线图中得出，当 。

若按胶合缝的 达到 的同时， 亦达到 的条件计算

则

即：

，

则

故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载 返回

。

7-2(7-7) 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，

在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：

=

由应力圆得 返回

7-3(7-8) 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指

一点应力状态概念及其表示方法

凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；

图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。

２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内

点不同（方向）截面上

的应力情况（集合）

３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕取的两种微元体。

点截

特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。

§8-２平面应力状态的工程实例

１．薄壁圆筒压力容器

为平均直径，为壁厚

由平衡条件

得轴向应力： （8-1a）

图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为 的横截面，H-H为水平径向面）

由平衡条件或, 得

第 七 章 应力状态 强度理论

一、 判断题

1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√)

2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√)

3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。

4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。

5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上

6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√)

7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×)

8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论

9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形

材料力学（应力应变部分）

→规定载荷作用下，

强度要求，就是指构件应有足够的抵抗破坏的能力。 刚度要求，就是指构件应有足够的抵抗变形的能力。

→变形的基本假设：连续性假设，均匀性假设，各向同性假设。

→沿不同方向力学性能不同的材料，称为各向异性材料，如木材、胶合板和某些人工合成材料。

→ 分布力 表面力

集中力（火车轮对钢轨压力，滚珠轴承对轴的反作用力） 体积力是连续分布于物体内各点的力，例如物体的自重和惯性力等。 →动载荷，静载荷

→应力p应分解为正应力? ，切应力τ 。

26

→应力单位pa，1pa=1N/m；常用Mpa，1Mpa=10pa。 第二章 拉伸、压缩与剪切

2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

→习惯上，把拉伸的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。 →用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 →FN=?A ；?(x)=FN(x)/A(x)

2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力 α

轴向拉伸（压缩）时，在杆件的横截面上，正应力为最大值；在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值。最大切应力在数值上等于最大正应力的二分之一。此外，α=90°时，?α=

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

时，

（f）AB段：

BC段：

（g）AB段内：

BC段内：

（h）AB段内：

返回

4-3(4-3) 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

BC段内：

CD段内：

返回

4-4(4-4) 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

返回

4-5(4-6) 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 返回

4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成 角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。

解：（a）

（b）

返回

4-9(4-19) 图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问： （1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？

（2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？

解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。

，得：

当 时，

当M极大时： ，

则 ，故，

故 为梁内发生最大弯矩的截面

故：

=

返回

4-10(4-21) 长度

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

时，

（f）AB段：

BC段：

（g）AB段内：

BC段内：

（h）AB段内：

返回

4-3(4-3) 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

BC段内：

CD段内：

返回

4-4(4-4) 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

返回

4-5(4-6) 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 返回

4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧

第6章 应力状态分析

一、选择题

1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。

20 a 20 （MPa） c 20 20 d 20 20 b 20 20

（A）a点；（B）b点；（C）c点；（D）d点 。

2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力?????成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。

（A）?x??y,?xy?0；（B）?x??y,?xy?0；（C）?x??y,?xy?0；（D）?x??y??xy。

3、已知单元体AB、BC面上只作用有切应力?，现关于AC面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。

B ? A ? 300 C

（A）?AC??/2,?AC?0； （B）?AC??/2,?AC?3?/2； （C）?AC??/2,?AC??3?/2；（D）?AC???/2,?AC?3?/2。

4、矩形截面简支梁受力如图（a）所示，横截面上各点的应力状态如图（b）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。

a F 2 3 4 (a) 1 F a 1 2 5 (b) 3 5 4

（A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的； （C

1.材料力学中对可变形固体所做的三个基本假设是 连续性假设 、 均匀性假设 、 各向同性假设 。

2.构件正常工作的要求是必须具备有足够的 强度 、 刚度 和 稳定性 。

3.材料力学中将实际材料不再视为刚体，而看作 可变形固体 。 4.材料力学所研究的主要构件为 杆 。

5.杆件变形的基本形式有 轴向拉伸或轴向压缩 、 剪切 、 扭转 、 弯曲 。

6.根据构件的主要几何特征，常将其分成 杆 、 板 、 块 三种类 型。

7.材料力学主要研究对象是 直杆 ，其几何特征是 纵向 尺寸远大于 横向 尺寸。主要几何因素为 横截面 和 轴向 。

8．材料力学中对可变形固体所做的三个基本假设中不包括（ D ）。 （A）连续性假设 （B）均匀性假设 （C）各向同性假设 （D）平面假设 9．材料力学研究的对象是（ A ）。

（A）构件； （B）结构； （C）零件； （D）部件。 10．材料力学研究的对象是（ A ）。 （A）杆 （B）板 （C）壳 （D）块

一、思考题

1.标距长度为100mm的拉伸试件，拉断后再拼接起来，量得其长度为 1