初三数学抛物线试题

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．

2.4.1抛物线及其标准方程

一、选择题

1．【题文】抛物线y?axA．?a,0?

2．【题文】抛物线y?2?a?0?的焦点坐标为（ ）

1?1???1??C．?0,D．,0?0,???

4a2a8a? ??? ??

B．?12x的准线方程是（） 4A．y?1 B．y??1 C．x??1 D．x?1

3．【题文】抛物线y?4x2的焦点坐标为（） A.?0,1? B.?1,0? C.?0,

4．【题文】顶点在原点，经过圆C:x2?y2?2x?22y?0的圆心，且准线与x轴垂直的抛物线方程为（）

A.y2??2x B.y2?2x C.y?2x2 D.y??2x2

5．【题文】已知点F是抛物线y2?4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则PF?（）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．【题文】抛物线y?2px?p?0?上一点M?x0,8?到

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）等腰

（2）∵抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线

篇一：抛物线定义及标准方程

一、 复习预习

复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用

第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

我们对抛物线已有了哪些认识？

二次函数是开口向上或向下的抛物线。y

o

x

问题探究： 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

H

M

·

C

·F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,H

d M

·

C焦 点

·F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离

想一想

如果点F在直线l上，满足条件的点的 轨迹是抛物线吗？

注：若F L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ，直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

辽河油田第三高级中学 杨闯

【本讲主要内容】

抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义：

平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的

焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相

仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双曲线。

2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数式方程的几何性质（如下表）：

的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形

其中为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线

，直线

与

的斜率分别为

的焦点的直线与抛物线交于

，则有

，直线的倾斜角为

，

。

说明：

，，，，，

1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点

坐标的复杂运算。

3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

【解题方法指导】

例1. 已知

高二数学抛物线及其标准方程教案

教学目标：

(一) 教学知识点

1、 掌握抛物线的定义。

2、 3、

抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线 。 能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程。

训练学生化简方程的运算能力

培养学生数形结合，分类讨论的思想

（二）能力训练

1、 2、

（三）德育渗透目标

1、 根据圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。

２、 通过本节课的学习，使同学们再次感受到数学与生活的美妙结合，进一步体会大自然的奥秘。

教学重点

1、 2、

教学难点

1、 2、

抛物线的画法。

抛物线的四种图形下标准方程及焦点和准线的求法。 抛物线的定义、焦点和准线的求法。

抛物线的四种标准方程形式以及p的几何意义。

教学方法：

启发引导式

教学过程： １课题引入：通过抛掷苹果的实验启发学生回忆起对抛物线的了解．板书题目抛物线及其标准方程

回忆：椭圆，双曲线的第二定义 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e

的点的轨迹，当0< e <1时是椭圆，当 e > 1时是双曲线，那么当 e = 1时是什么曲线呢？ 讲授新课 一、 1、抛物线定义

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F叫做抛物

与抛物线有结论

抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

p2结论一：若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，

42y1y2??p2。

证明：因为焦点坐标为F(

22pp,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： y?k(x?)， 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p，x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时，直线AB方程为x?p2x1x2?。

4p，则y1?p，y2??p，∴y1y2??p2，同上也有：2例：已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F，求证：

11?AFBF为定值。

pp，BF?x2?，又22证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF?x1?p2。 AF+BF=AB，所以x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1x2?4则：1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?（常数） ?222ppppp

高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。

2.4.1 抛物线及其标准方程

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．

问题1：画出的曲线是什么形状？ 提示：抛物线

问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

提示：是．AB是直角三角形的一条直角边． 问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？ 提示：|DA|＝|DC|.

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl.

平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.

问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝4x.

问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝－4x.

问题3：到定点C和定直线l3，到定点D

和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？

提示：x2＝4y，x2＝－4y.

高二数学选修2-1,三维设计,三

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

普通高中课程标准实验教材选修( ) 普通高中课程标准实验教材选修(2-1)

抛物线习题课( ) 抛物线习题课(1)

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

复习

一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线 平面内与一个定点 和一条定直线l 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 抛物线. 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点 定点 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线 准线. 定直线 叫做抛物线的准线N lM

· ·F

即:

MF ︳ ︳ , 则点 M 的轨迹是抛物线。 若 =1 MN ︳ ︳

注意：定点不在定直线上。 注意：定点不在定直线上。

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

练习4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 到定点(3,5)与定直线2x+3y 是( A.圆 A.圆 C.线段 C.线段

D)B.抛物线 B