高等数学同济第五版上册电子版

习题9?1

1? 设有一平面薄板(不计其厚度)? 占有xOy面上的闭区域D? 薄板上分布有密度为? ??(x, y)的电荷? 且?(x, y)在D上连续? 试用二重积分表达该板上全部电荷Q?

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度?(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分?

Q????(x,y)d??

D 2? 设I1???(x2?y2)3d?? 其中D1?{(x? y)|???x?1? ?2?y?2??

D1 又I2???(x2?y2)3d?? 其中D2?{(x? y)|0?x?1? 0?y?2}?

D2试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系?

解 I1表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x??1? y??2以及z?0围成的立体V的体积? I2表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x?0? x?1? y?0? y?2以及z?0围成的立体V1的体积?

显然立体V关于yOz面、xOz面对称? 因此V 1是V位于第一卦限中的部分? 故 V?4V1? 即I1?4I2? 3? 利用二重积分的定义证明?

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 1

1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x(y′)2 2yy′+x=0; 解 一阶. (2)x2y′ xy′+y=0; 解 一阶.

(3)xy′′′+2y′+x2y=0; 解 三阶.

(4)(7x 6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一阶.

d2QdQQ

(5)L+R+=0;

dtCdt

解 二阶. (6)

dρ

+ρ=sin2θ. dθ

解 一阶.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy′=2y, y=5x2; 解 y′=10x.

因为xy′=10x2=2(5x2)=2y, 所以y=5x2是所给微分方程的解. (2)y′+y=0, y=3sin x 4cos x; 解 y′=3cos x+4sin x.

因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x 4cos x=7sin x cos x≠0, 所以y=3sin x 4cos x不是所给微分方程的解. (3)y′′ 2y′+y=0, y=x2ex;

解 y′=2xex+x2ex, y′′=2ex+2xex+

第一章极限与连续

第一节 数列的极限 一、数列极限的概念

按照某一法则，对于每一个n?N?，对应一个确定的实数xn，将这些实数按下标n从小到大排列，得到一个序列

x1,x2,?,xn,?

称为数列，简记为数列{xn}，xn称为数列的一般项。例如：

1212,231412,341843,?,nn?11265n,?

2,4,8,?,2n,?

,,,?,,?

n?1 1,?1,1,?,(?1) 2,一般项分别为

,,34,n,? n?(?1)nn?1n?1,?,,?

nn?1，2，

12n，(?1)，

n?(?1)nn?1

数列{xn}可看成自变量取正整数n的函数，即xn?f(n)，n?N? 设数列xn?n?(?1)n?111为使|xn?1|?，只需要n?100，即从101项以后各项都满足?1??nn1001， |xn?1|?100n?1n?(?1)11为使|xn?1|?，只需要n?100000，即从100001项以后各项都满足?1??nn1000001， |xn?1|?100000n?1n?(?1)111为使|xn?1|?，只需要n?，即当n?以后，?1??

第三节 高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的运算法则

第二章

二阶导数的定义：如果函数f ( x )的导数在点 处可导, 称f ( x ) x 在点x处的导数为 ( x )在点x处的二阶导数 f . d2y 记作 f ( x ), y , . x 2 dx 函数的二阶导数就是函数的(一阶)导数的导数。ds v 例 速度v是位移s对时间t的导数(变化率), . dt dv 加速度a是速度v对时间t的导数, a .dt

加速度a是位移v对时间t的二阶导数, a s (t ).

二阶导数的符号的几何意义：f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在(a, b)单调递增f 0

f ( x )的图形从左到右向上弯 曲(凹)

f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在(a, b)单调递减f 0

f ( x )的图形从左到右向下弯 曲(凸)

函数的二阶导数的符号反映函数图形的凹凸性.

更高阶导数三阶导数 y ( y x ) x , f ( x ), xd3y . 3 dx

f ( x )的n阶导数就是 ( x )的n 1阶导数的导

第八章 多元函数微分法及其应用

一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法

在求

?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函?x?y数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：

1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则

dzdz?u?zdv???? dxdu?x?vdx?f?v2）z?f?x,v?，v???x,y?，则?x??x??v??x，

?z?f?z?f?v?? ?y?u?y3）z?f?u?，u???x,y?则

?zdz?u?zdz?u????， ?xdu?x?ydu?y3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

设z?z?x,y?是由方程F?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则

F?z??x?xFz?Fz?0?，

Fy?z???yFz?Fz?0?

或者视z?z?x,y?，由方程F?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

?z?z(或). ?x?y2）方程组的情况

由方程组??F?x,y,u,

1

1

1

1

1

1

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1

1

1

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1

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1

1

1

1

1

1

习题9?1

1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ =μ(x, y)的电荷, 且μ(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q.

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设, 其中D 又, 其中D

1

2

={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2};

1

2

={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.

2

试利用二重积分的几何意义说明I与I的关系.

1

解 I表示由曲面z=(x+y)与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I表示由曲面z=(x+y)与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V的体积.

2

1

23

223

显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V是V位于第一卦限中的部分, 故

1

V=4V, 即I=4I.

1

1

2

3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积);

证明 由二重

姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第八章作业 71

第八章 多元函数微分法及其应用

第 一 节 作 业

一、填空题： 1.函数z?ln(1?x)?2.函数f(x,y,z)?arccos2222y?x?3x?y?1的定义域为的定义域为2zx?y2 .3.设f(x,y)?x?y,?(x)?cosx,?(x)?sinx,则f[?(x),?(x)]?4.limsinxyx?.x?0y?a二、选择题（单选）： 1. 函数

1sinxsiny的所有间断点是:

(A) x=y=2nπ（n=1,2,3,…）； (B) x=y=nπ(n=1,2,3,…)；

(C) x=y=mπ(m=0,±1，±2，…)；

(D) x=nπ,y=mπ(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。

答：（ ）

?sin2(x2?y222,x?y?0?222. 函数f(x,y)??x?y在点（0，0）处：

?22x?y?0?2,（A）无定义； （B