面面垂直的判定和性质公式

平面与平面垂直导学案

一．复习

（1） 线面垂直的定义： （2） 线面垂直的判定定理： 二．新授课

1．平面与平面垂直的定义：

2．判定定理： 请用符号改写判定定理：

思考：如何证明该定理？

3．性质定理： 请用符号改写判定定理：

思考如何证明该定理：

针对训练： 4．例题

例1．已知：平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB=4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内

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两平面垂直

教案：1.2.4 平面与平面垂直

布吉高中 庄 素 娟

一、 教学目标

1． 知识目标：使学生理解和掌握面面垂直的定义、判定定理及性质定理，

并能应用定理解决相关问题

2．能力目标：加深学生对化归思想方法的理解及应用．

3． 情感目标：通过实物模型及计算机软件演示来陶冶学生的数学情操．在数学与实际问题密切联系中，激发学生的学习欲望和探究精神，在课堂学习中，学生既有独立思考，又有合作讨论，有意识、有目的地培养学生自主学习的良好习惯以及协作共进的团对精神。

二、教学重点、难点

重点：两个平面垂直的判定定理； 难点：两个平面垂直的性质定理及应用

三、教学方法与教学手段

教学方法：本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．．

教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高效率。

四、教学过程

教学教学内容 环节 课 题 引 入 复习在已学习的二面角和二面角的平面角的定义 1．两平面垂直 利用几何画板演示二面角的变化，让学生观察当二面角的平面角是900时，两平面的特殊位置关系，从而引入两平面垂直的定义，讲解如何用符号表示，并让学生举出

高考数学

第三讲 线面、面面垂直 线面、 的判定与性质

高考数学

确定点的射影位置有以下几种方法： 确定点的射影位置有以下几种方法：① 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线 在平面的射影上； 在平面的射影上； ② 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距 离相等， 离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角 的平分线上； 的平分线上； 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等， 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那 么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分 线上； 线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个 两个平面相互垂直， 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；

高考数学

利用某些特殊三棱锥的有关性质， 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定 顶点在底面上的射影的位置： 顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等， 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等 么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； 么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面 所成的角相等， 所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是

2.3线面垂直、面面垂直的判定

知识点:

1.定义:如果直线l与平面?内任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面?互相

垂直,记l??.直线l叫做平面?的垂线, 平面?叫做直线l的垂面. 2.线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线

与此平面垂直 符合表示:

3.面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个屏幕垂直. 符合表示: 例题解析:

例1. 已知a∥b,a ??,求证: b??.

练习1:设l,m是两条不同的直线A.若l?m,m??,则l??,?是一个平面,则下列命题正确的是B.若l??,l∥m,则m??

()

a b ? C.若l∥?,m??,则l∥m D. 若l∥?,若m∥?,则若l∥m, 例2:如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB?AC

A C V B 练习2: .在正四面体P-ABC中,E是BC的中点,求证:平面PAE?平面ABC

B E A C P 例3.如图,在?ABC中,?ABC?900,D为AC的中点,S是?ABC所在平面外一点,且 SA=SB=SC. (1)求证:SD?平面ABC; (2)若AB=

河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 线面垂直、面面垂直的性质定

理学案

学习目标: 1.进一步理解直线和平面垂直的定义及判定定理;

2.掌握直线和平面垂直的性质定理和平面和平面垂直的性质定理 3.提高空间线面垂直与线线垂直关系的转化能力;

学习重点: 1.掌握直线和平面垂直定义及两个定理;

2.在应用两定理时, 创设定理成立的条件.

活动过程:

活动一、引入新课： 直线和平面垂直的定义及判定定理：

二.建构数学

阅读课本70页思考并回答问题

得出结论：1..线面垂直性质定理:

符号表达：

巩固练习：课本71页练习1，2

活动三、阅读课本71页思考并回答问题

得出结论：2.面面垂直的性质定理：

符号表达：

例2见课本72页例4

探究：课本72页

巩固练习

1..已知正方体ABCD-A1B1C1D1

（1）求证: A1C⊥B1D1 ; （2）求证: A1C⊥平面A B1D1; ★（3）若M、N分别为B1D1与C1D上的点, 且MN⊥B1D1 , MN⊥C1D , 求证: MN//A1C .

D1 11

2.课本73页练习1.2.

活动四、课堂小结

掌握直线和平面以及平面与平面垂直的性质定理

典型例题一

例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1． 求证：平面AB1D1//平面C1BD． 证明：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，

∴D1A//C1B， 又 C1B?平面C1BD， 故 D1A//平面C1BD． 同理 D1B1//平面C1BD． 又 D1A?D1B1?D1， ∴ 平面AB1D1//平面C1BD．

说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接A1C即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．

典型例题二

例2：如图，已知?//?，A?a，A??a//?． 求证：a??．

证明：过直线a作一平面?，设????a1，

????b．

∵?//? ∴a1//b

又a//?

∴a//b

在同一个平面?内过同一点A有两条直线a,a1与直线b平行

∴a与a1重合，即a??．

说明：本题也可以用反证法进行证明．

典型例题三

例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图，?//?，l???A． 求证：l与?相交．

证明：在?上取一点B，过l和B作平面?，由于?与α有公共点A，?

9-5 线面、面面垂直的判定与性质

1.(2011·北京西城模拟)已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面α，β，且a⊥α，

b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 [答案] C

[解析] α⊥β??

??a∥β或a?β?a⊥α?

b⊥β

??

??a⊥b； ??

a⊥α??a⊥b??b∥α或b?α

??

b⊥β

?

??α⊥β. ?

2．(文)(2011·唐山模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b( )

A．平行 C．异面 [答案] D

[解析] 当a与α相交时，平面内不存在直线与a平行；当a∥α时，平面内不存在直线与a相交；当a?平面α时，平面α内不存在直线与a异面；无论a在何位置，a在平面α内总有射影a′，当b?α，b⊥a′时，有b⊥a，故选D.

(理)(2011·青岛模拟)设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )

A．3 C．1 [答案] C [解

线面、面面平行的判定与性质

基础巩固强化

1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是( ) ．．

A．若m∥β，则m∥l C．若m⊥β，则m⊥l [答案] D

[解析] A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．

(理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( )

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β [答案] D

[解析] A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．

2．(文)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( )

A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥l，则m∥β D．若m⊥l，则m⊥β

线面垂直与面面垂直全面复习

1、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC 平面PBD

2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中. 求证：平面ACD1 ⊥ 平面BB1D1D

D A1

D

D

C

C11

C

A

3如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

4.在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.

1

5.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2PD.

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；

(2)求棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

6、如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°， (1)求证：MN⊥平面PCD；

(2)试问矩形ABCD满足什么条件时，PC⊥BD.

7.在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°， E，F分别是AP，AD的中点．

求证： (1)直线EF

篇一：线面、面面垂直的证明

线面、面面垂直的证明

广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 冼虹雁

教材版本：普通高中课程标准实验教科书·数学（选修）人民教育出版社（人教版） 年级、科目：高三数学第1轮复习课 第十章 第9课时

一、【教材分析】

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考查重点．在新课标教材中将立体几何难度要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重．

预测2011年高考将以多面体为载体直接考查线面位置关系：

（1）考题将可能以选择题、填空题或解答题的形式出现；

（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考查线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主；

（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点．

二、【教学目标】

知识与技能目标：（1）理解几种垂直的定义，掌握线面、面面垂直的判定定理；

（2）运用线面、面面垂直的判定定理解决问题．

过程与方法目标：（1）通过直观感知，操作确认的方法归纳