幂函数综合应用典型例题

1

例、已知幂函数f(x)＝(t－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.

PS: 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

3

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

PS:在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例、已知x>x3，求

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f

教学过程： 一、幂函数

1．幂函数的定义

⑴一般地，形如y x （x R）的函数称为幂函数，其中x是自变量， 是常数； ⑵y x,y x,y x等都是幂函数，在中学里我们只研究 为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像

2

13

14

x

12

x 1

⑵归纳幂函数的性质： ① 当 0时：

ⅰ）图象都过 0,0 , 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且 越大，上升速度越快。 ⅲ）当 1时，图象下凸；当0 1时，图象上凸。

② 当 0时： ⅰ）图象都过 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且 越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：

[键入文字] [键入文字]

14

[键入文字]

例1 写出下列函数的定义域和奇偶性

（1）y x （2）y x （3）y x 3 （4）y x 2

例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）2,3 ；（2）3.14与

1

6

164

34

34

；（3）( 0.88)与( 0.89)．

34

34

23

34

32

38

5353

幂函数 分数指数幂

正分数指数幂的意义是：（，、，且） 负分数指数幂的意义是：（，、，且） 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：

它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

时，幂函数图像过原点且在上是增函数． 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数． 任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数 偶函数

非奇非偶函数

幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象

的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函

1

幂函数及函数应用（讲义）

? 知识点睛

一、幂函数

1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．

2. 函数图象及图象性质

（1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3

，12

y x =，1y x -=的图象：

（2）图象性质

（3）幂函数图象的画法

第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势．

①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如

1

2

y x =；

③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．

2

① 当m n

α=（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

② 当m n

α=-（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

3. 幂函数

创新方法应用典型案例

案例名称 案例来源 所属领域 关键词 （请填写企业名称） 创新级别 □一级 □二级 □三级 □四级 □五级 需包含问题描述、解题原理与工具、最终方案、创新点、应用情况与范围、产生的经济效益与社会效益等 案例摘要 （200字内） 解决时间

一、问题描述（200字以内）

需包括问题背景、领域或行业现状、实际需求及存在问题等

二、解题过程（500字以内）

运用TRIZ等方法中具体的原理或工具，解决问题的过程

三、最终方案（500字以内）

年 月 已应用时间 年 月 简述运用创新方法并经验证后得到的最终方案，及新方案特点与优势等请配必要的细节图与对比图

四、创新点（200字以内）

五、形成的知识产权情况

序号 专利名称 专利类型 专利号 发明人 申请时间 专利状态 注：专利类型包括国内实用新型、国内发明、国外专利等

六、应用情况及范围

样机或实际产品情况，如测试情况、技术参数、市场表现等。请配应用产品的前后对比实物图

七、产生的经济效益或社会效益（请附相关证明材料）

让更多的孩子得到更好的教育

指数函数、对数函数、幂函数综合 A

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。 3．理解对数的概念及其运算性质。

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数y?ax与对数函数y?logax互为反函数(a＞0，a≠1).

学习策略：

?

深刻理解指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化．在这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上

三人行数理化特训数学教研中心 数学■高中 内部使用 外传必究教学地点：园南村居委会二楼 主讲：陈文飞 电话：13875223389

函数的应用（含幂函数）

[基础训练A组]

一、选择题

1 若y?x,y?(),y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)

212x252x上述函数是幂函数的个数是（ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

2 已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）

A 函数f(x)在(1,2)或?2,3?内有零点 B 函数f(x)在(3,5)内无零点

C 函数f(x)在(2,5)内有零点 D 函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

3 若a?0,b?0,ab?1，log1a?ln2，则logab与log1a的关系是（ ）

22A logab?log B loglog 1aab?1a22C logab?log D loglog 1aab?1a224 求函数f(x)?2x3?3x?1零点的个数为 （ ） A

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函数的应用（含幂函数）

[基础训练A组]

一、选择题

1 若y?x,y?(),y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)

212x252x上述函数是幂函数的个数是（ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

2 已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）

A 函数f(x)在(1,2)或?2,3?内有零点 B 函数f(x)在(3,5)内无零点

C 函数f(x)在(2,5)内有零点 D 函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

3 若a?0,b?0,ab?1，log1a?ln2，则logab与log1a的关系是（ ）

22A logab?log B loglog 1aab?1a22C logab?log D loglog 1aab?1a224 求函数f(x)?2x3?3x?1零点的个数为 （ ） A

【例1-1】分析图所示电路得工作情况,图中I为电流源,I=2mA。设20℃时二极管得正向电压降U D=660mV,求在50℃时二极管得正向电压降。该电路有何用途？电路中为什么要使用电流源？

【相关知识】

二极管得伏安特性、温度特性,恒流源。

【解题思路】

推导二极管得正向电压降,说明影响正压降得因素及该电路得用途。

【解题过程】

该电路利用二极管得负温度系数,可以用于温度得测量。其温度系数–2mV/℃。

20℃时二极管得正向电压降

U D=660mV

50℃时二极管得正向电压降

U D=660 –(2′30)=600 mV

因为二极管得正向电压降U D就是温度与正向电流得函数,所以应使用电流源以稳定电流,使二极管得正向电压降U D仅仅就是温度一个变量得函数。

【例1-2】电路如图(a)所示,已知,二极管导通电压。试画出u I与u O得波形,并标出幅值。

图(a)

【相关知识】

二极管得伏安特性及其工作状态得判定。

【解题思路】

首先根据电路中直流电源与交流信号得幅值关系判断二极管工作状态;当二极管得截止时,u O=u I;当二极管得导通时,。

【解题过程】

由已知条件可知二极管得伏安特性如图所示,即开启电压U on与导通电压均为0、7V。

由于二极管D1得阴极电位为＋3V,而输入动