量子力学题及答案详解

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10?3m?C。

0证明：由普朗克黑体辐射公式：??d??8?h?c331h?d?，及??cekT?1?、d???c?x2d?得

???8?hc1hc?5，令x?hce?kT?1hc?kT，再由

d??d??0，得?.所满足的超越方程为5?xex用图解

e?1法求得x?4.97，即得

?mkT?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?C

01.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 解：??hp?h2mE32?7.09?10?100m?7.09A

1.3. 氦原子的动能为E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。

解：

??hp?h2mE?h3mkT?23?12.63?10?100m?12.63A其中

m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J?K?1

1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场B?10T，玻尔磁子?B?0.923?10?23J?T?1，求动能的量子化间隔?E，并与

T?4K及T?100K的热运动能

量子力学习题答案

1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知：

E h =ν； p h /=λ

由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)

c (0.5110)-μ?）

，故： 2e E P /(2)=μ

69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm

--λ====?=?=

1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。

解：对于氦原子而言，当K 1=T

时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12

32323123---?=????==

kT E 于是有

一维谐振子处于22/2()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求：

1.归一化系数；

2.动能平均值。

（22x e dx /∞

-α-∞=α?

）

解：1.由归一化条件可知：

22

*2x

(x)(x)dx A e dx1

A/1

∞∞

-α

-∞-∞

ψψ==

=α=

??

取相因子为零，则归一化系数1/21/4

A/

=απ

2.

2222

2222

2222

2222

22

2

*2x/2x/2

22

2x/2x/2

2

2x/22x/2

22

22x2x/2

量子力学习题

(一) 单项选择题

1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A. B. 1.5A. C. 2.1A. D. 2.5A.

2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A. B. 0.9A. C. 0.5A. D. 1.8A.

3. 能量为0.1ev，质量为1g的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A. B.1.9?10C.1.17?10?12000000000?12A.

0A. D. 2.0A.

3kBT(kB 为Boltzeman常数)的氦原子的De 20004.温度T=1k时，具有动能E?Broglie 波长是

000 A.8A. B. 5.6A. C. 10A. D. 12.6A.

5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n?0,1,2,?）

1 A.En?n??. B.En?(n?)??.

2 C.En?(n?1)??. D.En?2n??.

6.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其De Broglie波长是 A.5.2A. B

? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射

第七章 自旋和全同粒子

?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1

d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1

hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE

# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J

第一章

⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。

⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说：

表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。

表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点：

①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。

②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说：

光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理：

当光射到金属表面上时，能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

??(

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

???'8?hc?6?e1hc?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e11?ehc?hc?kT???0 ???? ?5?hc

宝鸡文理学院试题

课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

注意事项:

1. 所有题目的答卷必须写在答题纸上

2. 证明题和计算题必须写出主要过程

一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)

１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。 ２、波函数的标准条件为（ ）。 ３、正交归一方程umund???mn的狄拉克表示为（ ）。 4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。

?*?2和L?的共同本征函数为（ ）5、L。 z二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）

１、?与?对易，则两算符：

(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。

２、自由粒子能级的简并度为：

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

???'8?hc?6?e1hc?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e11?ehc?hc?kT???0 ???? ?5?hc

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

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