汤家凤高等数学基础讲义

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.lim

arctanx xln(1 2x)

3

x 0

lim

arctanx x

2x

3

x 0

16

（等价小量与洛必达）

2.已知lim

sin6x xf(x)

x

3

x 0

0，求lim

6 f(x)

x

2

x 0

解：x 0

lim

sin6x xf(x)

x

3

lim

6cos6x f(x) xy'

3x

2

x 0

lim

36sin6x 2y' xy''

6x6

x 0

lim

216cos6x 3y'' xy'''

6

x 0

216 3y'

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考研高等数学（中等题+理论）讲义

主讲：汪诚义

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第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

（甲） 内容要点 一、函数的概念

1. 定义

y?f(x)，x?I

x 为自变量，y 为因变量或称为函数值 f:x?y 为对应关系

自变量在定义域里面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。

口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。 2. 分段函数（考研中用得很多） ,x?1?x2f(x)?例1： ?,x?13x?1?

?x,x?0例2：x??

?x,x?0?

- 1 -

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?x2,x?0?例3：max(x,x2,x3)??x,0?x?1

?3,x?1?x

口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。 3．反函数

例：y?x2 的反函数 x?? 由于不单值，所以要看作 x?y

y 和x??2y，它们的图像与

目 录

第一讲 函数 极限 连续性 (1)

第二讲 导数与微分 (7)

第三讲 微分中值定理及导数的应用 (11)

第四讲 一元函数积分学 (15)

第五讲 微分方程 (20)

第六讲 多元函数微分学 (23)

第七讲 重积分 (28)

第八讲 曲线积分与曲面积分* (23)

第九讲 无穷级数*△ (38)

注：仅对数一要求的部分标有“*”，仅对数二，数三要求的部分相应标有“○”，“△”.

2015考研数学基础班高等数学辅导讲义

1

第一讲 函数、极限、连续性

一、函数

1. 函数

(1)函数的定义

设数集D R ?，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，简记为(),y f x x D =∈，其中x

称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记为f D ，()f D 为值域，记为f R .

(2)函数定义的两要素：定义域，对应法则.

2. 函数的特性

(1)有界性：若?0>M ，对于?I x ∈，都有M x f ≤)(，则称)(x f 在I 上有界.

(2)单调性：设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ?，若对于?I x x ∈21,，当21x x <时，有)()(21x f x f <))()((21x f x f >，则称)(x f 在区间I

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第 3、4 次课 4 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。 重 点：不定积分的性质和基本积分表 难 点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 不定积分的概念 （25） 2. 不定积分的性质 （30） 3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90） 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数F?x?的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F'?x??f(x)或dF(x)=?f(x)dx， 那么函数F?x?就称为f(x)(或f?x?dx)在区间I上的原函数.?

（2）原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数

F?x?, 使对任一x ?I 都有F ?(x)?f(x).

注： 1、

高等数学基础第一次作业点评1

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

2 A. f(x)?(x)，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

x2?13 C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?

x?1 ⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（ C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

A. y?ln(1?x) B. y?xcosx

2ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)

2 ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2??1,x?0 D. y??

1,x?0?⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．

x2?1

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

第1章 函数的极限与连续

lim

例1．求

x 0

xx．

x 0

解：当x 0时，

lim

xx

lim lim1 1

x 0x 0xx，

当x 0时，

x 0

lim

xx

lim lim( 1) 1xx 0 xx 0

，

lim

由极限定义可知，

x 0

x

x不存在（如图）．

sinmx

例2．求x 0x（m是非零常数）．

解：令mx u，显然当x 0时u 0，于是

sinmxsinmxsinulim limm mlim mx 0x 0u 0xmxu．

2

lim(1 )x

x． 例3．求x

xt

2，当x 时，有t ， 解：令

lim

22 211

lim(1 ) lim[(1 )t]2 [lim(1 )t]2 e2

t t xtt原式x

x

x2 x

lim

x例4．求x 0．

解：

21 x 0x 02

x 0ax 1lim

例5．求x 0x．

x

解：令a 1 t，则x loga(1 t)，x 0时t 0，于是

ax 1ttlim lim lim lnax 0t 0log(1 t)t 0xa

lna

第2章 一元函数微分及其应用

解：f(x) 2x为初等函数，在其定义域

3

例1．讨论函数f(x) 2x在x 0处的可导性与连续性．

( ,

AnnalsofMathematics,157(2003),919–938

LargeRiemannianmanifolds

whichare exible

ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*

Abstract

Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK

niteK-homologytotheK-th

第一章 函数 一、预备知识

1.一元二次方程与不等式 关于x的方程

（1）求根公式：

当△＞0时，方程有两个不同的实根：

，称为一元二次方程，

称为此方程的判别式.

当△＝0时，方程有一个二重实根：

当△＜0时，方程有一对共轭复根：

（2）根与系数的关系（韦达定理）：

（3）一元二次函数（抛物线）：

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.

对称轴顶点坐标.

（4）一元二次不等式 考虑不等式

，如果记一元二次方程

的两个不同实根分别为

，且

，根据一元二次函数的图形可知：

当 当

时，这个不等式的解集是时，它的解集是

.

；

用类似的方法可以求解不等式

例1.计算

的解集.

，

或

，

解：令 得

∴ 解集为

2.绝对值不等式 不等式 不等式

等价于等价于

.

或

；

3.二元一次方程组

两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.

当时，方程组有唯一解；

当时，方程组无解；

当时，方程组有无穷多解.

4.数列

（1）等差数列：相邻两项的差为定值， 即 通项公式：

，

称为公差.

前n项和公式： 当

时，

，

特别地：有.

（2）等比数列：相

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程 微分方程简单应用

考试要求

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法．

3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程

4．会用降阶法解下列方程：y（n）＝f（x），y''= f（x，y'）和y''＝f（y，y'）．

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理．

6．掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

70

7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以

及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程． 8．会解欧拉方程．

9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和