数学建模课后答案

第一章

4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f(a)和g(a)。f和g都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a，f(a)和g(a)中至少有一个不为零。不妨设g(0)?0,f(0)?0。当椅子旋转90°后，对角线互换，

f(π/2)?0,g(π/2)?0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证

明如下的数学命题：

已知f(a)和g(a)是a的连续函数，对任意a,f(a)?g(a)?0,且g(0)?f(π/2)?0，

f(0)?0,g(π/2)?0。证明存在a0，使f(a0)?g(a0)?0

证：令h(a)?f(a)?g(a),则h(0)?0和h(π/2)?0， 由f和g的连续性知h也是连续函数。 根据连续函数的基本性质，

必存在a0（0＜a0＜π/2）使h(a0)?0，即f(a0)?g(a0)?0 因为f(a0)?g(a0)?0，所以f(a0)?g(a0)?0

8

第二章

7.

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章

5.根据最优定

第一部分课后习题

1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生

们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2）节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：

的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。

2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g

装的每支元，120g装的元，二者单位重量的价格比是：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

、

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。

3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放

第一部分 课后习题

1. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生

们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：

A B C 1 235 333 432 2 117.5 166.5 216 3 78.3 111 144 4 58.75 83.25 108 5 … … 86.4 … 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。

2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g

装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现

第一部分课后习题

1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生

们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2）节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：

的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。

2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g

装的每支元，120g装的元，二者单位重量的价格比是：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

、

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。

3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放

第一章 课后习题6.

利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：

x(0)?M(mg)

由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量x(t)成正比，比例系数??0，得到微分方程

dx???x,x(0)?M （1） dt原模型已假设t?0时血液中药量无药物，则y(0)?0，y(t)的增长速度为?x。由于治疗而减少的速度与y(t)本身成正比，比例系数??0，所以得到方程：

dy??x??y,y(0)?0 （2） dt方程（1）可转换为：x(t)?Me??t 带入方程（2）可得：y(t)?

M?(e??t?e??t) ???将??01386和??0.1155带入以上两方程，得：

x(t)?Me?0.1386t y(t)?6M(e?0.1155t?e?0.13866)

针对孩子求解，得：

严重中毒时间及服用最小剂量：t?7.876h，M?494.87mg； 致命中毒时间及服用最小剂量：t?7.876h，M?948.46mg 针对成人求解：

第一部分 练习与思考题

2.9-3.7 3.6-5.14 4.1-7.1 4.4-7.3 5.9-11.1 5.1-9.1 6.5-4.7 6.10-4.14

第1章 建立数学模型

1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）

1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）

1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？

1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？

1.6 某城市的Logistic模型为

dNdt?125N?125?106N2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死

数学建模习题选做 陈文滨

选修课——数学建模部分习题详细解答 【陈文滨】

1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 【模型假设】

（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件． （3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。 【模型建立】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来． 首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．

注意到椅脚连线呈长方形，长

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)

1．模型

模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化，压缩，提炼而构成的原型替代物。如地图，苯分子图。

2．数学模型

由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型，如概率论的功利化定义

3．抽象模型

抽象模型也称为物理模型，主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律，如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能，风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特征。

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等

2．数学建模的基本步骤

1、建模的准备：确立建模课题的过程；

2、根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有

第二章

2.1

> x<-c(1,2,3);y<-c(4,5,6) > e<-c(1,1,1) > z<-2*x+y+e;z [1] 7 10 13

> z1<-crossprod(x,y);z1 [,1] [1,] 32 > z2<-outer(x,y);z2 [,1] [,2] [,3] [1,] 4 5 6 [2,] 8 10 12 [3,] 12 15 18 2.2

(1) > A<-matrix(1:20,nrow=4);B<-matrix(1:20,nrow=4,byrow=T) > C<-A+B;C (2) > D<-A%*%B;D (3) > E<-A*B;E (4) > F<-A[1:3,1:3] (5) > G<-B[,-3]

2.3

> x<-c(rep(1,5),rep(2,3),rep(3,4),rep(4,2));x 2.4

> H<-matrix(nrow=5,ncol=5) > for (i in 1:5) + for(j in 1:5) + H[i,j]<-1/(i+j-1) （1）> det(H) （2）> solve(H) （3）> eigen(H) 2.5

> studentdata<-data.frame(姓名=c('张三','李四','王五','赵六','丁一') + ,性别=c('女','男','女','男','女'),年龄=c('14','15','16','14','15'),

+ 身高=c('156','165','157','162','159'),体重=c('42','49','41.5','52','45.5')) 2.6

> write.table(studentdata,file='student.txt') > write.csv(studentdata,file='s

第二章

2.1

> x<-c(1,2,3);y<-c(4,5,6) > e<-c(1,1,1) > z<-2*x+y+e;z [1] 7 10 13

> z1<-crossprod(x,y);z1 [,1] [1,] 32 > z2<-outer(x,y);z2 [,1] [,2] [,3] [1,] 4 5 6 [2,] 8 10 12 [3,] 12 15 18 2.2

(1) > A<-matrix(1:20,nrow=4);B<-matrix(1:20,nrow=4,byrow=T) > C<-A+B;C (2) > D<-A%*%B;D (3) > E<-A*B;E (4) > F<-A[1:3,1:3] (5) > G<-B[,-3]

2.3

> x<-c(rep(1,5),rep(2,3),rep(3,4),rep(4,2));x 2.4

> H<-matrix(nrow=5,ncol=5) > for (i in 1:5) + for(j in 1:5) + H[i,j]<-1/(i+j-1) （1）> det(H) （2）> solve(H) （3）> eigen(H) 2.5

> studentdata<-data.frame(姓名=c('张三','李四','王五','赵六','丁一') + ,性别=c('女','男','女','男','女'),年龄=c('14','15','16','14','15'),

+ 身高=c('156','165','157','162','159'),体重=c('42','49','41.5','52','45.5')) 2.6

> write.table(studentdata,file='student.txt') > write.csv(studentdata,file='s