蝴蝶定理面积法证明

校选课《数学文化》课程论文

一 蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何

方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于

?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF??MVC

??MV又?MAD??MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA，

?AUM??MVC

则 ?EOM??MOF，于是ME=MF。[1]

证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则

?FMD'??EMD，MD=MD' ○1

联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PC'?CQ。又

111?CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=BC'=?BD'C'

222故M、F、B、D'四点共圆，即?MBF??MD'F

而

第三讲 蝴蝶定理和风筝定理

一、引入

1、蝴蝶定理

在梯形ABCD中，由对角线AC与BD分成的左右两个三角形（△ADO和△BCO）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。

B A

O D 即S△ADO=S△BCO

C 2、风筝定理

在任意四边形ABCD中，对角线AC、BD分成了四个三角形（如图）， A S1 这四个三角形的面积分别记为：S1 、S2 、S3 、S4。

则它们的关系是：

S3 O S1×S4 =S2×S3

S4

即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

D

B S2

C 二、新授课

【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD的面积是3平方厘

米，△DOC的面积是9平方厘米，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

A O D C B

练习

1、如图，2BO=DO，且阴影部分的面积是4cm2，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

B A

O D 2

2、如图，阴影部分面积是4cm，OC=2AO，求梯形的面积。 B A O

C D 1 C

【例2】如图，BD，CF将长方形ABCD分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄

色三

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

FBDCAS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?． 等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

2ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

FBDCAS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?． 等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

2ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或

蝴蝶定理与燕尾定理

蝴蝶定理与燕尾定理

办学理念:把您的孩子当成我们的孩子文远教育中小学生个性化教育公司 1 ABCDEFABCDEF文远教育__数学__学科教师辅导教案第_1_讲 教师姓名__沈军__学生_汪铮_时间_2011_年_10_月 11_ 日 __19-_21 时段 课 题 蝴蝶定理与燕尾定理 教学目标 1、理解模型1的基本原理2、理解3个模型的内容和意义3、应用模型解决问题4、真题演练 个性化重点、难点 重点模型2和3 难点模型1的基本原理的应用 考点及考试要求 求面积的比例求面积的大小 教学内容 模型一同一三角形中相应面积与底的正比关系 即两个三角形高相等面积之比等于对应底边之比。 模型一的拓展 等分点结论“鸟头定理” 如图三角形AED占三角形ABC面积的23×1416 1. 北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题 如右图BE31BCCD41AC那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 模型二任意四边形中的比例关系 “蝴蝶定理” ①S1S2S4S3 或者S1×S3S2×S4 ②

AOOCS1S2S4S3 B A E C D S4S3s2s1ODCBADECBA 办学理念:把您的孩

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

FBDCAS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

2ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或

蝴蝶定理与燕尾定理

蝴蝶定理与燕尾定理

办学理念:把您的孩子当成我们的孩子文远教育中小学生个性化教育公司 1 ABCDEFABCDEF文远教育__数学__学科教师辅导教案第_1_讲 教师姓名__沈军__学生_汪铮_时间_2011_年_10_月 11_ 日 __19-_21 时段 课 题 蝴蝶定理与燕尾定理 教学目标 1、理解模型1的基本原理2、理解3个模型的内容和意义3、应用模型解决问题4、真题演练 个性化重点、难点 重点模型2和3 难点模型1的基本原理的应用 考点及考试要求 求面积的比例求面积的大小 教学内容 模型一同一三角形中相应面积与底的正比关系 即两个三角形高相等面积之比等于对应底边之比。 模型一的拓展 等分点结论“鸟头定理” 如图三角形AED占三角形ABC面积的23×1416 1. 北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题 如右图BE31BCCD41AC那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 模型二任意四边形中的比例关系 “蝴蝶定理” ①S1S2S4S3 或者S1×S3S2×S4 ②

AOOCS1S2S4S3 B A E C D S4S3s2s1ODCBADECBA 办学理念:把您的孩

蝴蝶定理的证明

定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于 ?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF??MVC

又?MAD??MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA??MVC，?AUM??MVC 则 ?EOM??MOF，于是ME=MF。

证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则 ?FMD'??EMD，MD=MD' 1 ○

联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PUEMVDOACFQPC'?CQ。又

111?CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=BC'=?BD'C'

222故M、F、B、D'四点共圆，即?MBF??MD'F

而 ?MBF??EDM ○2 由○1、○2知，?DME?

几何中的蝴蝶定理

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：

即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

b

S1︰S2 =a︰b ； 模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED占三角形ABC面积的

211

×= 346

模型二：任意四边形中的比例关系 （我们把它称作蝴蝶定理）

As2

B

D

s1S3

C

S4

①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）

模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

几何中的蝴蝶定理

as1s2

S3b

S4

①S1︰S3=a︰b

22

②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b︰ab︰ab ;

2

③S的对应份数为（a+b）模型四：相似三角形性质

22

bB

ha

cCH

ah

c

BHA

A

①

abch

; ABCH

2

2

②S1︰S2=a︰A

二、 例题分析

例1、如图，AD DB，AE EF FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？

例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD 三角形DEF的面积.

A

111

AB，BE BC，CF CA，求234

D

例3、如图，在三角形ABC中，

1

无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

? 不考虑税收；

? 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ? 无关联交易存在；

? 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

? 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；

不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

? 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ? 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

? 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且

对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能