韦达定理在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

金荣生（上海市市北中学 200071）

2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =. 证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .

若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.

若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （

，

p

）

，

Q

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x k x x x x x k x k y CE +-?--=,1321

31111131132)

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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

金荣生（上海市市北中学 200071）

2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =. 证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .

若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.

若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （

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浅谈圆锥曲线在天文学中的应用

广东省中山市大南中学数学科（528447） 潘又保

2007年4月嫦蛾一号顺利发射成功，为我国探索月球开辟了新的篇章。现假设嫦蛾一号沿椭圆轨道绕月球运行，月球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当嫦蛾一号离月球相距n万千米和

6??n万千米时，经过月球和嫦蛾一号的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求嫦蛾523一号与月球的最远距离。

【解析】本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路是：由直线与椭圆的关系，列出方程组，再求解，但运算量相对较大；故我们可以利用圆锥曲线第二定义求解。由椭圆的几何意义可知：只有当嫦蛾一号运行到椭圆的较远顶点时，嫦蛾一号与月球的距离最远。

解：建立如图所示直角坐标系，设月球位于焦点F(?c,0)处，

x2y2椭圆的方程为:2?2?1．

ab如图，由椭圆的几何意义可知

?xFA??3．

作AB?Ox于B，则FB?由椭圆第二定义可知：

13FA?n． 25?ca2n?(?c)??ac?2?6n?c(a?c?3n)?ac5?5②－①得

①

②

1c3n??n， 5a5?a?3c．

将a?3c代入①中得

18n?(9c?c)?c，

333?c?n．

83

韦达定理及其应用

一、知识要点

1、若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中，两根为x1，x2。则x1 x2

x1 x2

ca

ba

，

，；补充公式x1 x2

a

2、以x1，x2为两根的方程为x2 x1 x2 x x1 x2 0 3、用韦达定理分解因式ax bx c a x

2

2

ba

x

c

a x x1 x x2 a

二、例题

1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

2

（1）x 3x 10 0 （2）3x 5x 1 0 （3）2x 43x 22 0

2

2

2、 已知关于x的方程x (5k 1)x k 2 0，是否存在负数k，使方程的两个实

数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程x 5x 2 0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各

根的平方的倒数。

11 1

4、 解方程组 xy12

xy 2

2

22

5、 分解因式：

（1）3x 5x 2 （2）4x 8x 1

2

2

三、练习

1、 在关于x的方程4x2 m 1 x m 7 0中，（1）当两根互为相反数时m的值；

（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值

2、 求出以一

韦达定理及其应用

一、知识要点

1、若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中，两根为x1，x2。则x1 x2

x1 x2

ca

ba

，

，；补充公式x1 x2

a

2、以x1，x2为两根的方程为x2 x1 x2 x x1 x2 0 3、用韦达定理分解因式ax bx c a x

2

2

ba

x

c

a x x1 x x2 a

二、例题

1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

2

（1）x 3x 10 0 （2）3x 5x 1 0 （3）2x 43x 22 0

2

2

2、 已知关于x的方程x (5k 1)x k 2 0，是否存在负数k，使方程的两个实

数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程x 5x 2 0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各

根的平方的倒数。

11 1

4、 解方程组 xy12

xy 2

2

22

5、 分解因式：

（1）3x 5x 2 （2）4x 8x 1

2

2

三、练习

1、 在关于x的方程4x2 m 1 x m 7 0中，（1）当两根互为相反数时m的值；

（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值

2、 求出以一

x2y2+=1的左、右焦点. 1、设F1、F2分别是椭圆54（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？

若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

2、已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l:x?1,P为该平面上一动点，作PQ?l，垂足为Q，且(PC?2PQ)(PC?2PQ)?0.

（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

（2）设直线l:y?kx?1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使

得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

???????????? 1

x2?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而3、已知椭圆C1的方程为4C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C2的方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2

的两个交点A和B满足OA?OB?6（其中O为原点），求k的取值范围.

4、已知圆

§14.4 圆锥曲线的应用

预备知识

直线的相关知识

圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等

重 点

难 点

学习要求

直线与圆锥曲线的相交 圆锥曲线的相交 平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法

发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予以解决

能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来

了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的

简单应用问题

能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题

62

圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常广泛的应用．本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用．

1. 直线和圆锥曲线相交问题

x2y2例1 如图14-15，椭圆??1的焦点分别是F1和F2，过中心O作

4520直线与椭圆相交于A、B两点，若?ABF2的面积是20，求直线AB的

我花了很多时间修改格式和内容，请你在这篇文章的基础上做改动。 文章结构基本合理，第二部分的内容显得十分单薄，看能否再加上一些内容，使其更加丰富；

我已经修改了中文摘要和关键词，请你将其翻译成英文的； 参考文献的格式不对，一一对照修改。

参考文献在文中的引用没有体现出来：参考文献在文中出现的地方用上标

予以标明，序号用加方括号的阿拉伯数字表示（如[1][2][3]），列于正文文末。如，定理1??完毕[3].参考文献的每个标号在文中至少（只需）出现1次，出现顺序必须是[1][2][3]?，如需帮助请呼组长

我对格式做了很大的调整，还有一些需要你自己完成：

文中的以字母表示的点，数据等等数学表达式，全部在数学公式编辑器中完成，但是文字不能在数学公式编辑器中编辑；

在公式编辑器中的字母的格式F是错的，应该改为F，将其选中后在样式中再点击一次“数字”，格式就对了！ 小括号不用公式编辑器中的模版??，直接在键盘上输()；中括号即闭区间符号

也不用公式编辑器中模版??，也直接在键盘上输[]；否则打印出来的效果很怪异，一眼就被检查人员看出来了；区间括号中的逗号,,改为，改不来就把这个，复制过去；

我已经修改了一部分，实在是太多，没有时间帮你了，你自己再一一对照

圆锥曲线参数方程的应用

课题 ：圆锥曲线参数方程的应用 圆锥曲线参数方程的应用授课人：马鞍山二中 陈昌富

提 出 宝 贵 意 见

欢 迎 光 临 指 导

圆锥曲线参数方程的应用

复习提问： 回答下列曲线的参数方程(1)圆：(x-x0)2+(y-y0)2= r2 x = x 0 + r cos θ y = y 0 + r sin θ

(θ为参数)

x = a cos θ y = b sin θ

x2 y2 (2)椭圆： 2 + 2 = 1, (a > b > 0) a b x2 y2 (3)双曲线：2 b2 = 1, (a > 0, b > 0) a

x = a sec θ y = btgθ x = 2 pt 2 y = 2 pt

(4)抛物线：y2= 2px (p>0)

圆锥曲线参数方程的应用

例1、已知P(x,y)在椭圆 2 2 x y + = 1 上。求u=2x-y的最大值 4 9 解 设P(2cos θ ,3sinθ)(0≤θ<2 π ) 是椭圆上的点。 则 u=4cos θ -3sin θ= 5sin( - θ )。 4 π 其中 = arctg 显然 - θ=2kπ+ k∈

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第三讲 韦达定理及其应用

【趣题引路】

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？

ab2?b2?12004

已知：①a+2a-1=0,②b-2b-1=0且1-ab≠0,求()的值。

a2

4

2

2

解析 由①知1+2 即(

11-=0, aa2121)-2·-1 =0,③ aa 由②知(