平面向量的概念教案

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）

平面向量的概念及运算

一．【课标要求】

（1）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

二．【命题走向】

本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。

预测2010年高考：

（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；

（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】

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平面向量的概念及其线性运算

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

→

1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OC→＝0，那么 ＋OB→＝OD→ A.AO

→＝3OD→ C.AO

( )．

→＝2OD→

B.AO→＝OD→ D．2AO

→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→

解析 由2OA→. ＝OD答案 A

→＝a，→＝b，→＝c，→＝d，

2．已知OAOBOCOD且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )． A．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0

B．a－b－c＋d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0

→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有解析 依题意，得AB

→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0.选A. OA答案 A

→＋2OC→

3．(2013·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→|

|BC→

＝3OB，则的值为

→|AB|1A.2

1

B.3

1D.6

( )．

1

C.4

→||BC→→→→→→

平面向量的数量积

教学目标：

(i)知识目标:

（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标:

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程： 一、追溯

????1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?

?????????aaaa叫与b的数量积，记作?b，即?b = |||b|cos?，(0????)并规定0与任何向量的

数量积为0 ??????aaa2．平面向量的数量积的几何意义：数量积?b等于的长度与b在方向上投影|b|cos?的乘积. ????3．两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ?????????1?e?a = a?e =|a|cos?； 2?a?b ? a?b = 0

???????????????3?当a与b同向时

§5.1 平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=a?b

答案 B

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 若a＋b＝0，则a＝－b. ∴a∥b；

若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案 A

3．设P是△ABC所在平面内的一点，→BC＋→BA＝2→BP，则( )． A.→PA＋→PB＝0 C.→PB＋→PC＝0

B.→PC＋→PA＝0 D.→PA＋→PB＋→PC＝0

解析 如图，根据向量加法的几何意义，→BC＋→BA＝2→BP?P是AC的中点，

∴→PA＋→PC＝0.答案 B

4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，

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向量

1、在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）

???????1??????????????????????????A、AB与AC共线 B、DE与CB共线C、ADsin?与AE相等 D、AD与BD相等

2、下列命题正确的是（ ）

????????A、向量AB与BA是两平行向量

????aaB、若、b都是单位向量,则=b

????????C、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形

D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ）

????????????(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件；????????????(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件；(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条

件A、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4)

4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向

复习引入：

新授： 1. 向量的概念

把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a,b,c,...等，在书写时，则在小写西文字

???符的上方加一个小箭头，例如a,b,c,...等．

如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．

??? 向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a|,|b|,|c|,...或|a|,|b|,|c|,...．

特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．

为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB,CD,B1C1等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB|,|CD|,|B1C1|．

A D 图7-2(2)

B1

B C C1

a b 图7-2(1)

c

由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的

2.1.1 向量的概念

请阅读课文P74—76内容

想一想：位移和距离这两个量有什么不同？

o

B

1500米

2000米

A

位移既有大小又有方向 距离只有大小没有方向

一、向量定义 既有大小又有方向的量叫 向

量

如：位移、力、速度、加速度、电场强度等

只有大小没有方向的量叫

数 量

如：距离、身高、质量、时间、面积等

二:表示方法：

①几何表示：有向线段（起点、方向、长度)．

a

B

A

②字母表示法： 用 、 b 等小写字母表示；或用表示有 、 向线段的起点和终点字母表示，如 AB ③模的概念： 向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模. 记作：|AB|

a

c

零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量 平行向量：方向相同或相反的非零向量 （共线向量） 规定:零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量

下图中的向量是否是相等向量?

Ｂ１ Ｂ3

Ａ１

Ｂ2

Ａ3

A1B1=A2B2=A3B3

Ａ2 说明：任意二个非零相等向量可用同一条有向线 段表示，与有向线段的起点无关。

注意：数学中的向量与物理中的矢量是有区别的．数学研究的向 量仅由大小和方向确定，与起点位置无关的，也称为自由向量．

例1、判断下列命题真假

（1）平行向量的方向一定相同 （

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1．平面向量的数量积

若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；

(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝_

第四节

平面向量及其加减法

22.7 平面向量上海市民办文绮中学 杨卓远

试一试：

在上新课之前，

谈谈你对向量的了解！ 越多越好哟！

课题引入如图，从点A向东走5米到达点B,与从点A向

北走5米到达点C,两者有什么区别？再看从点A向东走5米到达点B,与从点A向西 走5米到达点D,两者又有什么区别？C

5米 5米D

5米AB

向量的定义由以上的讨论可以看出，世界上确实存在着“既有大小、又有方向的量” . 表明我们有必 要对这种量进行学习和研究.

既有大小、又有方向的量叫做向量(vector) .C

5米 5米D

5米AB

向量的表示方法 图中向量可表示为：有向线段 AB ,其中 A为始点，B为终点.B

AB的大小，称为向量的模，记作 AB ;

始点 A和终点 B间的距离表示向量

A

自始点 A指向终点 B的方向表示向量的方向.

比较：线段 AB与线段 BA一样吗？向量 AB 与向量 BA一样吗？

向量的表示方法向量还可以用小写的粗体英文字母表示，如 a、b、c、…;手写时，在字母上方加箭头，

如 a 、b 、c 、…(见下图),它们的模分别 b c 记作 a 、 、 、… .

a

b

c

练习：如图，

平面向量的坐标表示

题组1：基础再现

1.已知O是坐标原点，A(2,1),B(?4,0)，且AB?4BC?0，在向量OC? . 2.已知a＝(2，1），b＝(－3，4)，则3a－5b ＝_____ 3.已知向量a?(4,3),b?(6,x)，且a//b，求实数x= .

4.已知向量a?(?3,1),b?(1,?2)，若(?2a?b)?(ka?b)，则实数k= .

题组2：平面向量基本定理的应用

知识建构：

（1）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a =?1 e1+?2e2．

（2）一个平面向量可用一组基底e1，e2表示成a = ?1 e1+?2 e2的形式，我们称它为向量的一个分解，当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．

例1如图，已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等

分点，DC和OA交于E，设AB＝a，AO＝b． （1）用向量a和b表示向量OC，CD； B

（2）若OE＝?OA，求实数?的值． D A E

O C

例2已知OA＝a，OB＝b，点G是