高二数学必修五不等式教学视频

研卷知古今；藏书教子孙。

§3.1 不等关系与不等式（2）

1. 掌握不等式的基本性质；

2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；

.

d ，B 为平面α上任意一点，则点A 与平面α的距离小于或等于A 、B 两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.

2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.

（1）,___a b b c a c >>?

（2）____a b a c b c >?++

（3）,0____a b c ac bc >>?

（

4）,0____

a b c ac bc >

二、新课导学

※ 学习探究

问题1：如何比较两个实数的大小.

问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：

(1),;

(2)0,0;

(3)0,,1n n a b c d a c b d a b c d ac bd a b n N n a b >

>?+>+>

>>>?>>>∈>?>>

※

典型例题 例1 比较大小：

（1

）2+

6+

（2）2- 2

1)；

（3； （4）当0a b >>时，12log a _______12

log b .

变式：比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小.

例2 已

高二数学竞赛辅导不等式（1）

平均不等式

设a1,a2,......,an是n个正数，则

a1?a2?...?ann?a1a2...an.

n1. 设a,b,c均为正数，且a?b?c?1，证明：

（1）ab?bc?ca?1 3a2b2c2???1 （2）bca2.若a?0,b?0，且

11??ab ab（1）求a3?b3的最小值；

（2）是否存在a?0,b?0，使得2a?3b?6？并说明理由 3.若a?b?c，求证：

114?? a?bb?ca?c柯西（Cavchy）不等式：

设a1、a2、a3，…，an是任意实数，则

2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn).

等号当且仅当bi?kai(k为常数，i?1,2,?,n)时成立.

1. 设a,b,m.n?R,且a2?b2?5,ma?nb?5，则m?n的最小值为 2. 已知2x?3y?6，求证x?2y?11 3. 若a?0,b?0,c?0，且

2222111???1，求证：a?2b?3c?9 a2b3cx2y2z2???1，求x?y?z的取值范围. 4. 设x,y,z?R，且

1654a2b2c2???a?b?c 5. 设

高二数学第二学期竞赛辅导资料 【基础练习】

1???1.若曲线y?x在点?a,a2?处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a?_____

?? 函数与导数

?12

4上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?的取值范围是xe?1??3???3?] (D) [,?) （ ） (A)[0,) (B)[,) (C)(,4244242.已知点P在曲线y=

3.函数y?x(x?0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为

2ak?1,其中k?N?，若a1?16，则a1?a3?a5? ________

4.若?a?[1,3]，使不等式ax2?(a?2)x?2?0成立，求实数x的范围.

5.若?a?[1,3]，使不等式ax?(a?2)x?2?0成立，求实数x的范围.

6.若?x?[1,3]，使不等式ax?(a?2)x?2?0成立，求实数a的范围.

7.若?x?[1,3]，使不等式ax?(a?2)x?2?0成立，求实数a的范围.

1

222【巩固提升】

4x2?71.已知函数f?x??，x??01，?. （Ⅰ）求f?x?的单调区间

不等式总结

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a (2)传递性：a b,b c a c (3)加法法则：a b a c b c； a b,c d a c b d (4)乘法法则：a b,c 0 ac bc； a b,c 0 ac bc

a b 0,c d 0 ac bd

(5)倒数法则：a b,ab 0

11 ab

(6)乘方法则：a b 0 an bn(n N*且n 1) (7)开方法则：a b 0 a (n N*且n 1)

二、一元二次不等式ax2 bx c 0和ax2 bx c 0(a 0)及其解法

注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b是正数，那么

a b

ab(当且仅当a b时取" "号). 2

2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

a b2（当

112 ab

a = b时取等）

四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1 x2

不等式复习题

一．选择题

1.已知非零实数a,b满足a?b，则下列不等式成立的是

11ab? C、a2b?ab2 D、2?2 abba1122解析：法1：当b?0时a?b?a?b，淘汰A；当a?0?b时a?b??，淘

abA、a2?b2 B、

汰B；当a?0?b时a?b?ab?ab，淘汰C；故选D； 法2：∵a,b为非零实数且满足a?b ∴a3?b3，即法3：代特殊值进行验证淘汰；

2．已知四个条件，①b＞0＞a ②0＞a＞b ③a＞0＞b ④a＞b＞0能推出( )

A.1个 B.2个

22ab，故选D； ?22ba11?成立的有ab C.3个 D.4个

解析：运用倒数法则，a＞b，ab＞0?

11?，②、④正确.又正数大于负数，故选Ｃ. ab3. 若a、b、c是常数，则“a?0且b2?4ac?0”是“对任意x?R，有ax2?bx?c?0”的 ( )

A．充分不必要条件. B．必要不充分条件.

C．充要条件.

不等式与不等式组

适用年级 所需时间 七年级 课内9课时，课外2课时 主题单元学习概述 “不等式与不等式组”主题单元结构包括“相关概念”、“探究性质”、“简单应用”三部分，这与课本的内容安排大体相同。教材的编写顺序是“一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示，利用一元一次不等式分析、解决实际问题。教材以实际问题为例引出不等式及其解集的概念，然后类比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念。为进一步讨论不等式的解法，接着讨论了不等式的性质，并运用它们解简单的不等式。在此基础上，教材从一个选择购物商店问题入手，对列、解一元一次不等式作了进一步的讨论，并归纳一元一次不等式与一元一次方程的异同及应注意的问题。教材以突出应用为目的。在教学中我打破教材安排，采用一种专题式设计，主要考虑到知识之间的关联，打破教材的原有安排，把不等式、一元一次不等式（组）等有关的概念放在一起作为专题一集中处理，把不等式性质及其应用作为专题二集中处理，这是考虑到类比一元一次方程的学习，学完概念后，学习一元一次方程的解法然后学习一元一次方程与实际问题。运用类比的方法学习不等式与不等式组。学完一元一次不等式后，就要学习如何解一元一次

人教A版数学必修五3.4《基本不等式》教案

福建省长乐第一中学高中数学必修五《3.4基本不等式》教案

教学要求：通知识与技能：





?a?b；会用此不等式证明不等式,
2
会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
教学重点





?a?b，会用此不等式证明不等式，求某些函数的最值。 2
教学难点：利用此不等式求函数的最大、最小值。
教学过程：
一、复习准备：
1. 回顾：基本不等式，什么条件下取等号？
2.





?a?b求最大（小）值的步骤。
2
二、讲授新课：
1. 教学利用基本不等式证明不等式
24?6m?24。 m
分析：审清楚题意?分析条件?应用什么定理？?如何应用？ ①出示例1：已知m>0,求证
?学生讲述解答过程（学生板书，教师修订）
24?6m=144为定值的前提条件。 m
②练习：1.已知a,b,c,d都是正数，求证(ab?cd)(ac?bd)?4abcd. ?小结：注意m>0这一前提条件和
2. 求证:4?a?7.（方法：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.）
a?3
2. 教学利用不等式求最值
①出示例2：(1) 若x>0,求f(x)?4x?9的最小值;(2)若x<0,求f(x)?4x?9的最大值.
xx
?教

高二不等式

一、选择题

1.已知2 7x2y A，且11 2，则A的值是（ ） xy

A.7 B. 72 C. 72 D.98

2.下列各函数中，最小值为2的是 （ ）

A

．y 1 ．y sinx ，x (0,) sinx2 D．y x C

．y 221 x3.下列结论一定正确的是( ) 44的最小值为4 B.的最小值为4 y x sin2xx

12C.x 3 3x恒成立 D.若 1,则x 1 xA.y sinx

4.已知正数x，y，且x 4y 1，则xy的最大值为 ( ) A. 1111 B. C. D. 481632

5.已知x y 6,且x,y都是正数，则xy的最大值为（ ）

A．5 B.8 C.9 D.12

6.周长为2的直角三角形面积的最大值为 （ ）

A

．6

．3

．2

．3 7.若x 0，则函数y 3x 4有（

不等式第二讲：一元二次不等式

一、一元二次不等式的解法

判别式??b?4ac 方程2??0 有两个不等实根 ??0 有两个相等实根 ??0 无实根 f(x)?ax2?bx?c?0 二次函数 y y y y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 不等式O x1 x2 x O x1?x2x O x ax?bx?c?0(a?0) 的解集 不等式ax?bx?c?0 22?x|x?x1或x?x2? ?b?xx???? 2a??R (a?0)的解集 二、总结规律： ?x|x1?x?x2? ? ? 1、方程f(x)?0的实根是函数y?f(x)的图像与x轴的交点，也是函数y?f(x)的零点。 2、方程f(x)?0的根就是不等式解集的端点，不等式解集的端点就是方程f(x)?0的根。 3、不等式大于0的解集就是方程的根之外，小于0就是方程的两根之间；（大于取两根之外，小于取两根之间）（开口向上，即二次系数大于0）

?a?04、①不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?；

??0?2②不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?2?a?0

???05、如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么函数y

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组