高等数学第三章导数与微分

第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

二、要点解析

问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.

解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s与时间变量t之间的函数关系为

s?s(t)，当t从t变化到t??t时，在间隔?t内的平均速度为

s(t??t)?s(t)，此式只反

?t映了在t点附近速度变化的快慢程度，即为t时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使?t?0，即t时刻瞬时速度为v(t)?lims(t??t)?s(t)，也即瞬时速度反映函数

?t?0?ts?s(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程

度．

常见的变化率：

⑴ 曲线y?f(x)的切线斜率意义；

dy是纵坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几何 dxd

高等数学教案 第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：

1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念 一、引例

P61 习题3-1

1、根据定义求导数：

(1)y?cosx

y??limcos(x??x)?cosx?x?0?x?2sinx??x?xx??x?x?2sin2?limx?0?xsin(x??x?x???lim2)sin2x?0?x2?x???limx?0sin(x??xsin22)??limx?0?x2??sinx1(2)y?x2

11y??lim(x??x)2?x2?x?0?x?(x??x)?x?limx?0?x[x??x?x]

?1?limx?0x??x?x11?1?x?2x22(3)y?xx y??lim(x??x)x??x?xx?x?0?x(x??x)3??x3?limx?0?x[(x??x)x??x?xx]3x2?x?3x?x2??x3??limx?0?x[(x??x)x??x?xx]2?lim3x?3x?x??x2 ?x?0(x??x)x??x?xx3x2?2xx?32x(4)y?ax

??ax??x?axa?xyx?1?limx?0?x?a?limx?0?x设t??x，则

y??axlimat?1t?0t

再设s?at，则t?logas，于是

y??axlims?1s?1logas?axlim1s?11logass?1?ax

高等数学检测题2-5

专业 班级 姓名 编组

一、填空题

1．设函数y?f(x)在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件，则曲线y?f(x)至少有一条 切线.

2．设函数y?f(x)在[a,b]上可导，则在(a,b)内至少有一?使 .

3．设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)，则方程f'(x)?0有 个实根.

二．选择题

1．使f(x)?3x2(1?x2)适合罗尔定理的区间是 . (A)(C)[0,1];[0,??);(B)(D)[?1,1];[?2，2];

2．在区间[a,b]上，f'(x)?g'(x)，则 .

3．对函数f(x)?x2?x?1，在区间[a,b]上应用拉格朗日中值定理时，所求得的

(A)(C)f(x)?g(x);f(x)?g(x)?0;(B)(D)f(x)?g(x)?C,(C为常数）;

f(x)?g(x)?C,(C为常数）;?为 .

(A

2 导数与微分

【目的要求】

1、了解导数的概念，了解可导与连续的关系，了解导数的几何意义及物理意义，记忆基本初等函数的导数公式；

2、熟练运用导数的四则运算法则及复合函数法则计算导数，会使用隐函数求导法及取对数求导法计算导数，会计算二阶导数；

3、了解微分的概念，掌握微分与导数的关系，会计算函数的微分，知道微分的应用； 4、能在计算机上进行导数及微分的计算。

【练习题】 一 单项选择题

⒈设f(x)在x=a处可导,则limf(a?nh)?f(a?mh)h?0h=( D )

A.f?(a) B. mf?(a) C. nf?(a) D.(m+n)f?(a) ⒉设f(x)=(x+1)(x+2)…(x+50),则f?(?1)=( C )

A.50!

B.-50!

C.49!

D.-49!

⒊设f(x)在x0的某邻域内二阶可导,且f?(x0)?0,则f??(x0)?0是f(x0)为极小值的( B A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

⒋设y=(sinx)x,则f?(x)=( C )

A.(cosx)x B.(sinx)x C. (sinx)x

(lnsinx+xcotx)

D. (s

2 导数与微分

【目的要求】

1、了解导数的概念，了解可导与连续的关系，了解导数的几何意义及物理意义，记忆基本初等函数的导数公式；

2、熟练运用导数的四则运算法则及复合函数法则计算导数，会使用隐函数求导法及取对数求导法计算导数，会计算二阶导数；

3、了解微分的概念，掌握微分与导数的关系，会计算函数的微分，知道微分的应用； 4、能在计算机上进行导数及微分的计算。

【练习题】 一 单项选择题

⒈设f(x)在x=a处可导,则limf(a?nh)?f(a?mh)h?0h=( D )

A.f?(a) B. mf?(a) C. nf?(a) D.(m+n)f?(a) ⒉设f(x)=(x+1)(x+2)…(x+50),则f?(?1)=( C )

A.50!

B.-50!

C.49!

D.-49!

⒊设f(x)在x0的某邻域内二阶可导,且f?(x0)?0,则f??(x0)?0是f(x0)为极小值的( B A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

⒋设y=(sinx)x,则f?(x)=( C )

A.(cosx)x B.(sinx)x C. (sinx)x

(lnsinx+xcotx)

D. (s

第三章 微分中值定理与导数的应用

习题A

一、选择题

1、在区间[?1,1]上满足罗尔定理条件的函数是（ ）；

?A?f(x)?1x2?B?f?x??x?C?f(x)?1?x2?D?f(x)?x?2x?1

22、函数f(x)?x2?2x在[0,4]上满足拉格朗日定理条件的??（ ）；

?A?1?B?2?C?3?D?52

3、设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则（ ）；

?A?至少存在一点???a,b?，使得?B?当???a,b?时，必有

f?(?)?0

f?(?)?0

f?????f(b)?f(a)b?a?C?至少存在一点???a,b?，使得

?D?当???a,b?时，必有f?????f(b)?f(a)b?a

4、在区间[?1,1]上，下列函数中不满足罗尔定理的是（ ）；

?A?f(x)?ex2?1(B)f(x)?ln(1?x)2(C)f(x)?x?1(D)f(x)?11?x2

5、对任意x下列不等式正确的是（ ）；

?A?e?x?1?x(B)e?x?1?x(C)e?x?1?x?D?e?x?1?x

6、设limf?x??f?a?x?a?x?a?2??2，则在x

讨论习题：

1、 求f(x) 1 x在x 0点处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式。 1 x

2、 设函数y y(x)由方程2y3 2y2 2xy x2 1所确定。试求y y(x)

的驻点，并判断它是否为极值点。

3、 讨论函数f(x) x 的单调性与极值，凹凸性与拐点及渐近线。 讨论习题参考答案：

1、解：f(x)

f(k)1x1 x2 1， 1 x1 x( 1)k 2 k!(x) (k 1,2, ,n 1)， k 1(1 x)

2nnn 1故f(x) 1 2x 2x ( 1)2x ( 1)2xn 1

，(0 1) n 2(1 x)

2、解：对2y3 2y2 2xy x2 1两边对隐函数y求导，

3y2y 2yy xy y x 0, ( )

令y 0，得y x，代入原方程得2x3 x2 1 0；

故解出唯一驻点x 1，

对( )式再次求导(3y2 2y x)y 2(3y 1)y 2 2y 1 0 故y (1,1) 0，

即驻点x 1是y y(x)的极小值点。

3、解：函数的定义域为( ,0) (0, ),

1 f(x),即f(x)是奇函数。 x

12又f (x) 1 2,f (x) 3,令f (x) 0，得驻点x 1,不存在二阶导数为xx

第二章 导数与微分

【考试要求】

1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．

2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．

3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．

4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．

5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．

6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．

【考试内容】

一、导数

（一）导数的相关概念

1．函数在一点处的导数的定义

设函数y当自变量x在x0处取得增量?x（点?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，

x0??x仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)；如果

?y与?x之比当?x?0时的极限存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并称这

个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数，记为f?(x0)，即

f(x0??x)?f(x0)?y， f?(x0)?lim?lim?x?0?x?x?0?x也可记作y?x?x0，

dydxx?x0或

df(x)dxx?x0．

说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有

f(x0?

第三章总练习题

1.为什么用Newton-Leibniz公式于下列积分会得到不正确结果?(1)?1?1??1d?x?d?x?x?e?dx.?e????e?2[?1,1]无界,从而不可积.dx?dx?????xdtanx2?tanx2111(2)?2?0dx.u?tanx在(0,2?)的一些点不可导.2.证明奇连续函数的原函数为偶函数,而偶连续函数的原函数之一为奇函数.证设奇连续函数f的原函数为F, 现在证明F是偶函数.F?(x)?f(x).(F(?x)?F(x))???F?(?x)?F?(x)??f(?x)?f(x)?0,F(?x)?F(x)?C,C?F(?0)?F(0)?0.F(?x)?F(x)?0.设偶连续函数f的原函数为F,现在证明F是奇函数.F?(x)?f(x).(F(?x)?F(x))???F?(?x)?F?(x)??f(?x)?f(x)?0,F(?x)?F(x)?C.设F(0)?0,则C?F(?0)?F(0)?0.F(?x)?F(x)?0.?sinx,x?0,3.f(x)f(x)??3求定积分?x, x?0,解?baf(x)dx??其中a?0,b?0.0a3b0?xba4f(x)dx?a?b0af(x)dx?a4?b0f(x)