极坐标系与参数方程教学视频

极坐标系与参数方程

编稿：侯彬 审稿：安东明 责编：辛文升 一、基础知识回顾 1．极坐标系

（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的 正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。

平面上任意点M的位置可以由线段OM的长度度来刻画，这两个数组 成的有序数对下，我们用弧度制度 量。

称为点M的极坐标。

（

≥0）和从Ox到OM的角

称为极径，称为极角。多数情况

注意：平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系，因为若点M的一组极坐标为

，则

（k∈Z）也是点M的极坐标。若限定

，则除原点

外，点其极坐标一

一对应。

（2）极坐标系与直角坐标系的互化

在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以的射线作y轴的

正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。 设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为

。画图可知：

，或。

（3）曲线的极坐标方程的概念

在给定的平面上的极坐标系下，

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考点54 坐标系与参数方程

一、选择题

1.（2013·安徽高考理科·Ｔ7）在极坐标系中，圆?=2cos?的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）

A.?=0(??R)和?cos=2 B.θ=(?∈R)和?cos=2 C. θ=(ρ∈R)和ρcos=1 D.θ=0(ρ∈R)和ρcos=1 【解题指南】 将极坐标转化为平面直角坐标得出圆的方程。

【解析】选B. 由ρ=2cosθ可得x2+y2=2x?(x-1)2+y2=1,所以圆的圆心为(1,0),半径为1,与x轴垂直的圆的切线方程分别是x=0,x=2,在以原点为极点的极坐标系中,与之对应的方程是θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2. 二、填空题

?x=t2.（2013·江西高考理科·Ｔ15）设曲线C的参数方程为?2（t为参数），若

y=t?π2π2π2以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.

【解题指南】将曲线C的参数方程化为普通方程，通过极坐标的定义建立曲线C

极坐标与参数方程单元练习一

一、选择题（每小题5分，共25分）

1、已知点M的极坐标为??5，???

?3?

，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）。

A. ???5，???3??B. ???5，4??3??C. ???5，?2???5??3??D. ??5，?3??

2、直线：3x-4y-9=0与圆：??x?2cos?，(θ为参数)的位置关系是( ?y?2sin?)

A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

3、在参数方程??x?a?tcos??y?b?tsin?（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参

数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）

4、曲线的参数方程为??x?3t2?2t?1(t是参数)，则曲线是（ ）?y?2

A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线 5、实数x、y满足3x2＋2y2=6x，则x2＋y2的最大值为（ ）

- 1 -

A、

72 B、4 C、92 D、5 二、填空题（每小题5分，共30分）

1、点?2，?2?的极坐标为

- 1 - 高考高频题型整理汇总

——《极坐标与参数方程》

除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及以下部分问题。

（一）有关圆的题型

题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <

用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200B A C

By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200B A C

By Ax d +++=

第二步：判断直线与圆的位置关系

第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min

相切、相交：r d d +=max min 0d =

题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离

延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题

（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解

直角坐标系

教学目的：

知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 过程与方法：体会坐标系的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入：

情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安

全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看

台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？

二、学生活动 学生回顾

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y

4-4坐标系与参数方程（复习）

知识回顾

一、坐标系

1.极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

设M是平面上的任一点， 表示OM的长度， 表示以射线OX为始边，射线OM

为终边所成的角。那么有序数对( , )称为点M的极坐标。其中 约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。 2．直角坐标与极坐标的互化

以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和( , )，则 x

y tan

2

二、曲线的极坐标方程

1．直线的极坐标方程：若直线过点M( 0, 0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为： 几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过M(b,)且平行于极轴

2

图： 方程：

2．圆的极坐标方程： 若圆心为M( 0, 0)，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于M(r,0) （3）当圆心位

4-4坐标系与参数方程（复习）

知识回顾

一、坐标系

1.极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

设M是平面上的任一点， 表示OM的长度， 表示以射线OX为始边，射线OM

为终边所成的角。那么有序数对( , )称为点M的极坐标。其中 约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。 2．直角坐标与极坐标的互化

以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和( , )，则 x

y tan

2

二、曲线的极坐标方程

1．直线的极坐标方程：若直线过点M( 0, 0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为： 几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过M(b,)且平行于极轴

2

图： 方程：

2．圆的极坐标方程： 若圆心为M( 0, 0)，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于M(r,0) （3）当圆心位

参数方程、极坐标 一．直线的参数方程

l(1)标准式 过点P0(x0,y0)，倾斜角为?的直线(如图)的参数方程是

?x?x0?tcos? (t为参数）?y?y?tsin?0?????这里直线l的方向向量可以选定为(cos?,sin?)，由P0P?t(cos?,sin?)引出直线的标准式参数方程，进而引入参数t的几何意义 (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k?tan??b的直线l的参数方程是 a?x?x0?at(t为参数) ② ?y?y?bt0?在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a?b?1,②即为标准式，此时， t表示直线

22a?bt a?b?1，则动点P到定点P上动点P到定点P的距离；若00的距离2222?x?x0?tcos?l直线参数方程的应用：设过点P (t为参数）0(x0,y0)，倾斜角为?的直线的参数方程是?y?y?tsin?0?l若P1,P2是上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则

(1) P1,P2两点的坐标分别是(x0?t1cos?,y0?t1sin?) ，(x0?t2cos?,y0?t2sin?) ； (2) PP12?t1?t2；

P所对应的参数为t，则t?(3)线段PP12的中

2013极坐标、参数方程

5、选修44:-坐标系与参数方程

极坐标系中，已知圆心C (3,)6π

，半径r=1．

（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线为参数）t t y t x (21231???

????=+-=与圆交于B A ,两点，求AB 的中点M 与点P （-1，0）的距离．

（1、1)23(23322=-+???

? ??-y x 2

、1232t t PC +==+

解：（1）由已知得圆心)6sin 3,6cos 3(π

πC ，半径1，圆的方程为1)23(23322=-+???

? ??-y x 2分 即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ 5分

（1）

把直线方程代入圆方程得26)90,30t t -++=?=> 7分 设21,t t 是方程两根

126)t t ∴+=-

所以1232t t PC +=

= 10分

5、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参

数方程为

cos,

sin,

x t

y t

α

α

=

?

?

=

?

（t为参数，α为直线l的倾斜角）。圆C的极坐标方程为

28cos120.

ρρθ

-+=

（1）若直线l与圆C相切，求α的值；

（2）若

2015年极坐标与参数方程专题

1．在极坐标系中，已知直线过点(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为

?，则直线的极坐标方程为________． 3?x?4cos?2．平面直角坐标系中，将曲线? (α为参数)上的每一点纵坐标不变，横坐标

y?sin??变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标变为原来

的2倍得到曲线C1.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的单位长度相同的极坐标系中的曲线C2的方程为ρ＝4sinθ，则C1和C2公共弦的长度为________．

3．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别

?x?4?sin?在曲线C1：? (θ为参数)和曲线C2：ρ＝2上，则|AB|的最小值为________．

y?3?cos??224．如图, 以过原点的直线的倾斜角?为参数, 则圆x?y?x?0的参数方程

为 .

yPθOx

2

5．设曲线C的参数方程为：x=t，y=t （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.

??x?2cost??y?2sint(t为参数),C