高中数学函数与导数思维导图

§1.1.3

【知识要点】

导数的几何意义导学案

1．导数的几何意义

（1）割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) Δy

的一条割线，此割线的斜率是＝__________________.

Δx

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f?(x)是x的一个函数，称f?(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f?(x)也记作y′，即f?(x)＝y′＝_______________

【问题探究】

探究点一 导数

《高中数学解题思维与思想》

导 读

数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：

一、数学思维的变通性

根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性

提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性

考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性

对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。

什么”转变，从而培养他们的思维能力。

《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。

一、高中数学解题思维策略

第一讲 数学思维的变通性

一、概念

数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察

心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持

高中数学知识点《函数与导数》《函数》《函数及其表示》

精选强化试题【89】(含答案考点及解析)

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

1.函数

【答案】

的定义域为 .

【考点】高中数学人教A版》必修1》第一章 集合与函数概念》1.2 函数及其表示 【解析】解：要是原式有意义，则

是函数

的极值点，其中

2.已知函数

是自然对数的底数． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）直线同时满足： ① 是函数② 与函数

的图象在点的图象相切于点

处的切线，

．

求实数b的取值范围.

【答案】（Ⅰ）a =1（Ⅱ）①

②

【考点】高中数学知识点》函数与导数》函数》函数及其表示 【解析】(1)根据

建立关于a的方程，解出a值；

（2）根据条件（1）可确定l:根据条件(2) 直线与函数

的图象相切于点

，

,切线的方程为

即的方程为：

然后根据两个方程为同解方程可得到方程组

然后转化为解：（Ⅰ）

,利用导数确定其值域即可.

……………2分

由已知，

得a =\分

（Ⅱ）

时，

函数的图象在点处的切线的方程为：

，

……6分

直线与函数的图象相切于点

又

，所以切线的斜率为

……………………8分

赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦

1．已知函数f(x)是定义在 2,2 上的奇函数，当x [ 2,0)时，f(x) tx （1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t [2,6]时，求f(x)在 2,0 上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在 0,2 上

的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t 9时，证明：函数y f(x)的图象上至少有一个点落在直线y 14

13

x（t 2

解x 0,2 时， x 2,0 ， 则 f( x) t( x)

11( x)3 tx x3 22

∵函数f(x)是定义在 2,2 上的奇函数，即f x f x

131

x，即 f(x) tx x3，又可知 f 0 0 22

13

∴函数f(x)的解析式为 f(x) tx x ，x 2,2

2

∴ f x tx （2）f x x t

112

x ，∵t [2,6]，x 2,0 ，∴t x2 0

22

∵ f x

2

1212 2

2x t x t x 1 x2 t x2

3 2

3

8t 27

3

∴x t

2

122t6t6t26x，即 x2 ,x ( 2,0 )时，fmin tt 23339

猜想f(

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数学复习易做易错题选

函数、导数部分

一、选择题：

1、已知函数y?f?x?，x??a,b?，那么集合?x,y?y?f?x?,x??a,b???x,y?x?2中元素的个数为（ ）

A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2

2、已知函数f?x?的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f?x?2?的定义域和值域分别是（ ）

A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4] 3、已知0＜a＜1，b＜-1，则函数y?ax?b的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4、将函数f?x??2x的图象向左平移一个单位得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得图象C2，作出C2关于直线y?x对称的图象C3，则C3对应的函数的解析式为（ ） A

各位老师大家好！

今天我要为大家说课的课题是：函数的极值与导数 首先我对本节教材进行一些分析：

一、教材分析:教材的背景、地位及作用

《函数极值>>是高中数学人教A版选修2-2第一章第三节导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），在此之前我们已经学习了导数，学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。其后还有利用导数求函数的最值问题、曲线的切线问题，利用导数研究不等式恒成立、方程根的讨论、函数图像交点等问题，因此本节课还要起到承上启下的作用。从高考角度分析，以中高档题为主，所以导数是非常重要的知识点。这为我们学习这一节起着铺垫作用。

二、学情分析

在前面的学习中，学生已经有了一定的知识准备。不过鉴于我校学生的水平普遍偏低，理解和应用知识的能力稍显不足，所以在教学中，有必要从基础入手，指导学生先做到对解题方法和步骤的机械模仿，在此基础上，努力提升认识水平，力争让尽可能多的学生达到知识的融会贯通。

新课程理念的显著特征和核心任务就是从根本上转变教学方式和学习方式。因此要让学生在自主学习和合作探究

欢迎阅读

高中数学导数及其应用

一、知识网络 二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可

负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比

，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

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时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处

的导数（或变化率），记作，即。

（Ⅱ）如果函数导，此时，对于开区间（在开区间（在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可，这样）内的导）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做函数（简称导数），记作或，即。 认知： （Ⅰ）函数是一个数值； 的导数在点是以x为自变量的函数，而函数是的导函数当在点处的导数时的函数值。 处的导数 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平

考点一：求导公式。 例1. f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3

1

x 2，则2

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。

， 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y x3 3x2 2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值；

3]，都有f(x) c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x [0，

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x 4 x a 。求导数f' x ；（2）若f' 1 0，求f x

2

2

在区间 2,2 上的最大值和最小值。

考点七：导数的综合性问题。

3

例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

专题8：导数（文）

经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 。 32 解析：f'?x??x?2，所以f'??1??1?2?3 答案：3

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1处的切线方程是y?，f(1))1x?2，则2f(1)?f?(1)? 。

解析：因为k?11，所以f'?1??，由切线过点M(1，f(1))，可得点M的纵坐标为2255，所以f?1??，所以f?1??f'?1??3 22答案：3

例3.曲线y?x?2x?4x?2在点(1，?3)处的切线方程是 。

解析：y'?3x?4x?4，?点(1，?3)处切线的斜率为k?3?4?4??5，所以设切

232，?3)带入切线方程可得b?2，，?3)线方程为y??5x?b，将点(1所以，过曲线上点(1处的切线方程为：5x?y?2?0 答案：5x?y?2?0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y?x?3x?2x，直线l:y?kx，且直线l与曲线C相切于

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高考数学备考资料：高中数学最全的思维导图

很多同学一轮复习已经过半，但还不知道该怎么总结，小编给大家提个建议，要想总结，主要还是首先梳理出脉络来，提到某个知识点，那么关于这个知识点相关的所有知识你都要弄明白，这样你就成功了一半！下面是8张思维导图，先研究下看看吧！

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