高等数学汤家凤基础版和提高版

新东方在线 [www.koolearn.com ]考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数

考研高等数学（中等题+理论）讲义

主讲：汪诚义

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第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

（甲） 内容要点 一、函数的概念

1. 定义

y?f(x)，x?I

x 为自变量，y 为因变量或称为函数值 f:x?y 为对应关系

自变量在定义域里面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。

口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。 2. 分段函数（考研中用得很多） ,x?1?x2f(x)?例1： ?,x?13x?1?

?x,x?0例2：x??

?x,x?0?

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?x2,x?0?例3：max(x,x2,x3)??x,0?x?1

?3,x?1?x

口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。 3．反函数

例：y?x2 的反函数 x?? 由于不单值，所以要看作 x?y

y 和x??2y，它们的图像与

目 录

一、函数与极限 ······················································································

第一章极限与连续

第一节 数列的极限 一、数列极限的概念

按照某一法则，对于每一个n?N?，对应一个确定的实数xn，将这些实数按下标n从小到大排列，得到一个序列

x1,x2,?,xn,?

称为数列，简记为数列{xn}，xn称为数列的一般项。例如：

1212,231412,341843,?,nn?11265n,?

2,4,8,?,2n,?

,,,?,,?

n?1 1,?1,1,?,(?1) 2,一般项分别为

,,34,n,? n?(?1)nn?1n?1,?,,?

nn?1，2，

12n，(?1)，

n?(?1)nn?1

数列{xn}可看成自变量取正整数n的函数，即xn?f(n)，n?N? 设数列xn?n?(?1)n?111为使|xn?1|?，只需要n?100，即从101项以后各项都满足?1??nn1001， |xn?1|?100n?1n?(?1)11为使|xn?1|?，只需要n?100000，即从100001项以后各项都满足?1??nn1000001， |xn?1|?100000n?1n?(?1)111为使|xn?1|?，只需要n?，即当n?以后，?1??

目 录

一、函数与极限 ······················································································

江苏科技大学—大学高等数学概念（基础版）

目录

第一章函数与极限

第一节函数

第二节数列的极限

第三节函数的极限

第四节无穷小与无穷大

第五节极限四则运算法则

第六节极限存在准则、两个重要极限

第七节无穷小的比较

第八节函数的连续性与间断点

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节闭区间上连续函数的性质

第二章导数与微分

第一节导数的概念

第二节函数的求导法则

第三节初等函数的求导问题

双曲函数与反双曲函数的导数

第四节高阶导数

第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率

第六节函数的微分

第三章中值定理与导数的应用

第一节中值定理

第二节洛必达法则

第三节泰勒公式

第四节函数单调性的判定法

第五节函数的极值与最值

第六节曲线的凹凸与拐点

第七节曲率

第八节方程的近似解

第四章不定积分

第一节不定积分的概念及其性质

第二节不定积分的换元积分

第三节不定积分的分部积分法

第四节几种特殊类型函数的积分

（版权所有，翻印必究）第 1 页共85 页

江苏科技大学—大学高等数学概念（基础版）

第五章定积分

第一节定积分概念与性质

第二节微积分基本定理

第三节定积分换元积分法与分部积分法

第四节广义积分

第六章定积分的应用

第一节定积分的元素法

第七章多元函数微分法及其应用

第一节多元函数的基本概念

第二节偏导数

第三节

高等数学基础第一次作业点评1

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

2 A. f(x)?(x)，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

x2?13 C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?

x?1 ⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（ C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

A. y?ln(1?x) B. y?xcosx

2ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)

2 ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2??1,x?0 D. y??

1,x?0?⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．

x2?1

目 录

一、函数与极限 ································································································ 2

1、集合的概念 ···························································································· 2 2、常量与变量 ···························································································· 3 2、函数 ····································································································· 4 3、函数的简单性态 ······················································································ 4 4

目 录

一、函数与极限 ··········· 2 1、集合的概念 ·········· 2 2、常量与变量 ··········2、函数 ·············3、函数的简单性态 ········4、反函数 ············5、复合函数 ···········6、初等函数 ·&#

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

第1章 函数的极限与连续

lim

例1．求

x 0

xx．

x 0

解：当x 0时，

lim

xx

lim lim1 1

x 0x 0xx，

当x 0时，

x 0

lim

xx

lim lim( 1) 1xx 0 xx 0

，

lim

由极限定义可知，

x 0

x

x不存在（如图）．

sinmx

例2．求x 0x（m是非零常数）．

解：令mx u，显然当x 0时u 0，于是

sinmxsinmxsinulim limm mlim mx 0x 0u 0xmxu．

2

lim(1 )x

x． 例3．求x

xt

2，当x 时，有t ， 解：令

lim

22 211

lim(1 ) lim[(1 )t]2 [lim(1 )t]2 e2

t t xtt原式x

x

x2 x

lim

x例4．求x 0．

解：

21 x 0x 02

x 0ax 1lim

例5．求x 0x．

x

解：令a 1 t，则x loga(1 t)，x 0时t 0，于是

ax 1ttlim lim lim lnax 0t 0log(1 t)t 0xa

lna

第2章 一元函数微分及其应用

解：f(x) 2x为初等函数，在其定义域

3

例1．讨论函数f(x) 2x在x 0处的可导性与连续性．

( ,

教案

任课教师：NO:授课日期班级学生年限 3 课题名称第一节微分方程的基本概念分离变量法授课时数 2

教学目标与要

求1.掌握微分方程的基本概念；

2.掌握可分离变量的微分方程的解法

教学难点与重点1、微分方程的基本概念；

2、可分离变量的微分方程的解法

教学方法和手

段

案例教学法讲练结合

作业

P159.1.（1），（2），（5），（6）

教学内容及过程时间分配

一、课程导入

1、一条曲线过点)3,1(，且在这条曲线上任一点)

,

(y

x

p处切线的斜率等于该点横坐标的两倍，求该曲线的方程。

2、一物体以等加速度2

/

4s

m做直线运动，已知s

m

v/

5

)0(=，

)0(=

s，求物体的运动方程)(t s

s=。

二、微分方程的定义

1、含有未知函数的导数或微分的等式，叫作微分方程。

2、如果微分方程中未知函数只含有一个自变量，则此微分方程称为

常微分方程。

3、如果微分方程中未知函数只含有两个或两个以上自变量，则此微

分方程称为偏微分方程。

4、微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶。

例1、指出下列微分方程的阶数。

第 页 （1）y y y x ln =' （2）043=+'+''y y y

三、 微分方程的解

微分方程的主要问题