直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线的几种常见题型

（1）直线与圆锥曲线位置关系的判定； （2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:

设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)AB?______________________. （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法:

（4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】

1、方向向量为a?(?1,?2)且与抛物线y?x2相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的______________条件。

x2y2??1内一点M(1,1)的直线交椭圆于A,B两点，且满足AM?MB，则该直线的方程3、过椭圆

164_________。

4、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为______________.

5、等轴双曲线C：x2?y2?1的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是________________。

6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________

2012直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1．(2011·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( ) A．所有的直线都有倾斜角和斜率

B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角 [答案] B

[解析] 所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率．

2．已知直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则( )

A．b>0，d<0，a0，a>c [答案] C

11bd

[解析] 由图像可知－>－>0，－<0，－>0，从而c0.

acac

3．若直线2ax＋by＋4＝0(a、b∈R)始终平分圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是( )

A．(－∞，1] C．(0,1) [答案] A

[解析] 由题意知直线过圆心(－1，－2)， ∴－2a－2b＋4＝0，∴a＋b＝2， a＋b?a＋b?－2ab

∴ab≤＝，∴ab≤1.

22

4．已知直线l1∶y＝x，l2∶ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0，内变动时，a的取值范围是( )

A．(

3，1)∪(1，3) 3

B．(

8.9 直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

x2y2

1．AB为过椭圆2＋2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为( )

ab A．b2

B．ab

C．ac

D．bc

1 解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.

2 答案：D

2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( ) A．1 B．1或3 C．0 D．1或0

??y＝kx＋2，

解析：由?2

?y＝8x，?

得ky－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0解得

2

2

k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1. 答案：D

x2y22

3．已知椭圆C的方程为＋2＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是

16m2

椭圆的右焦点F，则m的值为( ) A．2

B．22

2

2C．8

2 D．23

2

解析：根据已知条件c＝16－m，则点(16－m，

216－m216－m2

∴＋＝1可得m＝22.

162m2 答案：B

x2y2

16

第32练 直线与圆锥曲线的综合问题

[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.

常考题型精析

题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

x2y2例1 (1)(2015·福建改编)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为

ab4

M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，5则椭圆E的离心率的取值范围是________________.

x2y22

(2)设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋2＝1 (b>0)，其离心率为.

4b2①求椭圆M的方程；

②若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？

沂水县第三中学高三数学组集体备课 集思广益 群策群力

直线与圆锥曲线的位置关系（文） 主备人：贺可勤 记录人：宋树霞

一、教材分析

本节课是平面解析几何的核心内容之一.在此之前,学生已学习了直线的基本知识,圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质,这为本节复习课起着铺垫作用.本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》第二轮复习的第一节课,着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化学生的解题思维,提高学生解题能力.这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础.这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一. 二、考情分析

本节内容在高考中的地位:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 三、数学思想方法分析

本节复习课在教学中力图让学生动手

直线与圆锥曲线位置关系练习卷（一）

一.选择题（共50分） 1.直线足分别为A．2.若直线

与抛物线，则梯形

交于

两点，过

两点向抛物线的准线作垂线，垂

的面积为（ ） C．

D．

B．

与双曲线

只有一个交点，那么实数的值是（ ）

A． B． C． D．

3.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为

，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 4.设椭圆

和

轴正方向交点为A，和

轴正方向的交点为B，Ｐ为第一象限内

椭圆上的点，使四边形OAPB面积最大（Ｏ为原点），那么四边形OAPB面积最大值为（ ） A．5.直线

B．

C．

D．

过椭圆的左焦点F1和一个短轴顶点B，该椭圆的离心率为（ ）

C．

直线与圆锥曲线的综合问题

一.知识体系小结

1．圆锥曲线的标准方程?x?acos?x2y2(参数方程，其中?为参数)；?1?椭圆：焦点在x轴上时2?2?1(a?b?0)??ab?y?bsin?22yx 焦点在y轴上时2?2?1(a?b?0)．abx2y2y2x2?2?双曲线：焦点在x轴上：2?2?1(a?0，b?0)；焦点在y轴上：2?2?1(a?0，b?0)．abab22?3?抛物线：开口向右时，y?2px(p?0)，开口向左时，y??2px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)．2．常用曲线方程设法技巧x2y2x2y2?1?共焦点的设法：与椭圆2?2?1有公共焦点的椭圆方程为2?2?1；aba??b??2222xyxy与双曲线2?2?1有公共焦点的双曲线方程为2?2?1；a2ba2??2b??2xyxy2与双曲线??1共渐近线的双曲线方程为???(??0)；??2222abab?3?中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1；?4?不清楚开口方向的抛物线设法：焦点在x轴上，y2?mx(m?0)； 焦点在y轴上，x2

沂水县第三中学高三数学组集体备课 集思广益 群策群力

直线与圆锥曲线的位置关系（文） 主备人：贺可勤 记录人：宋树霞

一、教材分析

本节课是平面解析几何的核心内容之一.在此之前,学生已学习了直线的基本知识,圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质,这为本节复习课起着铺垫作用.本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》第二轮复习的第一节课,着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化学生的解题思维,提高学生解题能力.这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础.这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一. 二、考情分析

本节内容在高考中的地位:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 三、数学思想方法分析

本节复习课在教学中力图让学生动手

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直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系: 2 2 x y 设直线与椭圆方程分别为: y=kx+m与 2 2 1 : a b y=kx+m 联立方程组 2 2 2 2 2 2 消去y得: Ax2+Bx+C=0 b x +a y =a b 相离 (1)△>0 相交 (2)△=0 相切 (3)△<0

2.直线与双曲线的位置关系:

x2 y2 设直线与双曲线方程分别为: y=kx+m与 2 2 1: a b

(1)若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点. (2)若直线与渐近线重合, 则相离即没有交点. y=kx+m (3)若直线与渐近线相交, 联立方程组 2 2 2 2 2 2 b x -a y =a b 消去y得: Ax2+Bx+C=0 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0

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3.直线与抛物线的位置关系: 设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:

(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点. y=kx+m (2)若直线与对称轴相交, 由 2 得: Ax2+Bx+C=0 y =2px 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0

直线与抛物线或双曲线

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换

（7）x,y ，k(斜率)的取值范围

（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等

运用的知识：

1、中点坐标公式：12

12

,y 2

2

x x y y x ++==

，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中

点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b