方程的根与函数的零点知识点总结

函数及函数的零点有关概念

函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数y?tanx中x?k???2(k?Z).

(8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合

函数及函数的零点有关概念

函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数y?tanx中x?k???2(k?Z).

(8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合

函数及函数的零点有关概念

函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：

(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数y?tanx中x?k???2(k?Z).

(8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合

“方程的根与函数的零点”评课稿

（屯溪一中 陈志斌）

又是一次省级优质课大赛，我作为一名参赛选手亲身经历了参赛的全过程，通过学习、交流、听课以及专家的点评，让我获益颇多，它激励并指导我在今后的教学中扬长避短，争取更大的进步。这次活动中有这么一位参赛选手，先是在备课之前自告奋勇提出上这次教学活动的第一节课，再是面对全场爆满（甚至还有十多位老师站在后面）场面的从容和淡定，给我留下了深刻的印象，他就是亳州一中的陈飞老师，课题是“方程的根与函数的零点”。

本节内容是人教版高中新课程数学必修1第三章“函数与方程”的第一节，体现函数与方程及数形结合的重要思想，揭示方程与函数之间的本质联系，同时为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的“算法”等学习内容打下基础，起着承上启下的作用。本节课我认真听课和学习，并详细地记录了他的组织教学过程，现就这堂课发表一些本人的看法：

一、好的方面

1．“问题一”开门见山地提出用函数思想解决方程根的问题，点明本节课的教学目标。从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，通过简单的引导，推动问题进一步的探究。“问题二”和“问题三”以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，观察方程与函数形式上的联系，从而顺利推广至一般方程f(

§3.1.1方程的根与函数的零点

一、教学目标

1． 知识与技能

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

②培养学生的观察能力． ③培养学生的抽象概括能力． 2． 过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法． ②让学生归纳整理本节所学知识． 3． 情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

二、教学重点、难点

重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定．

三、学法与教学用具

1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本

节课的教学目标。 2． 教学用具：投影仪。 四、教学设想

(一)创设情景，揭示课题

2

1、提出问题：一元二次方程 ax+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数

y=ax+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出）

2①方程x?2x?3?0与函数y?x?2x?3 2②方程x?2x?1?0与函数y?x?2x?1

22

2

幂函数、函数与方程、方程与零点

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幂函数、函数与方程、方程与零点

教学设计方案XueDa PPTS Learning Center

定 义 域 值域 奇偶性 单调性 定点 归纳： 归纳：当 α > 0 是，幂函数 y = x α 图象过点 (1,1), ( 0 , 0 ) ,且在第一象限随 x 的增大而上升,函 数在区间 [0,+∞ ) 上是单调增函数 y = x 1 y = x 2 y = x 3-

y= x

1 2

y= x

-

1 3

图 象 定 义 域 值域 奇偶 性 单 调 性 定点 归纳： 归纳： α < 0 时幂函数 y = x α 的图象过点 (1,1) ,且在第一象限随 x 的增大而下降，函数在

区间 (0,+∞) 上是单调减函数，且向右无限接近 X 轴，向上无限接近 Y 轴。 汇总：幂函数性质归纳. 汇总：幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1) )所有的幂函数在( , ∞ 都有定义，并且图象都过点( , ) ; 幂函数的图象通过原点， 上是增函数. (2) α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 [0,+∞) 上是增函数. ) 特别地， 幂函数的图象下凸；

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1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，

∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.

2

x( )

A.(－1,0) C．(1,2) D．(2,3)

x

解析：选C.设f(x)＝e－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0(1,2)C.

x2＋2x－3，x≤0

3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝ )

－2＋lnx，x＞0

A．0 B．1 C．2 D．3

2

解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1

)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为C.

2________．

x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，

g(x)＝bx2－ax的零点是( )

( ) )

C．(3,4) D．(e,3)

2

解析：选B.∵f(2)＝ln2

《方程的根与函数的零点（第一课时）》教学设计方案

山西省汾阳中学 刘彩凤 一、内容和内容解析

内容：方程解法史话，方程的根与函数的零点

方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。

方程的根是使方程f(x)=0左右两边相等的x的值，函数的零点是使f(x)=0的x,函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标是y=f(x)中纵坐标y=0时x的取值,所以他们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，其中体现了数形结合的思想：方程的根与函数图像的结合；转化与化归的思想：求方程的根转化为研究函数的图像与性质，利用求方程的根研究函数的图像与性质；函数与方程的思想。其中方程的根，函数的零点，函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标的关系是核心，零点是连接函数与方程的结点

《方程的根与函数的零点（第一课时）》教学设计方案

山西省汾阳中学 刘彩凤 一、内容和内容解析

内容：方程解法史话，方程的根与函数的零点

方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。

方程的根是使方程f(x)=0左右两边相等的x的值，函数的零点是使f(x)=0的x,函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标是y=f(x)中纵坐标y=0时x的取值,所以他们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，其中体现了数形结合的思想：方程的根与函数图像的结合；转化与化归的思想：求方程的根转化为研究函数的图像与性质，利用求方程的根研究函数的图像与性质；函数与方程的思想。其中方程的根，函数的零点，函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标的关系是核心，零点是连接函数与方程的结点

3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点

第一课时 方程的根与函数的零点

问题提出

1 5730 p 2

t

判断下列方程是否有实根，有几个实根？

x 2x 3 02

lnx 2x - 6 0

方程的根与函数图像与x轴交点的对 2 比：x 2 x 3 0

方程的根函数以x轴的 交点

3,0 ; 1,0

x1 3, x2 1

一、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点。 我们可不可以这样认为，零点就是 使函数值为0的点？

方程的根与函数的零 点究竟是什么关系？方程的根与函数零点是 等价关系。

如果已知函数y=f(x)有 零点，你怎样理解它？

函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有 公共点.

例1.求下列函数的零点：

2 y log2 x1 y 31 3 y xx

x 4 x 1 , x 4 4 y x 4 x 1 , x 4

那么我们来考虑怎么来求 的根的问题

lnx 2x - 6 0g x 6 2 x

f x