导数提高训练题

一、函数与极限 导数 导数的应用

一、填空题

x a

(1) 设a为非零常数，则lim . x x a x 2a (2) 设lim 8，则a . x x a

1,|x| 1,

(3) 设函数f(x) ，则f[f(x)] .

0,|x| 1,

(4) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a (5) 若f(t) limt(1 )

x

x

x

1

23

1x

2tx

，则f (t)

123

(6) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a . (7) 已知f (3) 2，则lim

h 0

f(3 h) f(3)

2h

x 1 t2,d2y(8) 设 则2

y cost,dx

(9) x 0

．

2sinx

(10) lim 1 3x

x

.

1 1

sinxx 3sinx x2cos ． (12) lim

x 0(13) lim( ) 2x 0x(11) limcotx

x 0

(14) 当x y x 2x取得极小值。

(15) 对数螺线 e在点( , ) (e,)处的切线的直角坐标方程为．

2y2

(16) 已知函数y y(x)由

高考文科数学专题复习导数训练题（文）

一、考点回顾

1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.

2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 二、经典例题剖析 考点一：求导公式 例1f/(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f/(?1)? . 31x?2，则f(1)?f/(1)? . 2考点二：导数的几何意义

例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y?考点三：导数的几何意义的应用

例3.已知曲线C:y?x3?3x2?2x,直线l:y?kx,且直线l与曲线C相切于点?x0,y0??x0?0?,求直线

导数:

1.已知函数f?x??xlnx. （1）求函数f?x?的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y?f?x?相切，求直线l的方程；

（3）设函数g?x??f?x??a?x?1?，其中a?R，求函数g?x?在?1,e?上的最小值.（其中e为自然对数的底数）

【答案】 解：（1）f??x??lnx?1,x＞0.……………………1分

1,f??1

而f??x?x?x,＞0?lnx+1＞0?x＞e＜0?lnx?1＜0?0＜＜e

?f?x??0,1????1,????

所以在?e?上单调递减，在?e?上单调递增.………………3分 x?1 所以e是函数f?x?的极小值点，极大值点不存在.…………………4分

（2）设切点坐标为

?x0,y0?，则y0?x0lnx0,切线的斜率为lnx0?1,

所以切线l的方程为

y?x0lnx0??lnx0?1??x?x0?.……………………5分

又切线l过点?0,?1?，所以有?1?x0lnx0??lnx0?1??0?x0?.

解得

x0?1,y0?0.

所以直线l的方程为y?x?1.………………………………………………7分

导数:

1.已知函数f?x??xlnx. （1）求函数f?x?的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y?f?x?相切，求直线l的方程；

（3）设函数g?x??f?x??a?x?1?，其中a?R，求函数g?x?在?1,e?上的最小值.（其中e为自然对数的底数）

【答案】 解：（1）f??x??lnx?1,x＞0.……………………1分

1,f??1

而f??x?x?x,＞0?lnx+1＞0?x＞e＜0?lnx?1＜0?0＜＜e

?f?x??0,1????1,????

所以在?e?上单调递减，在?e?上单调递增.………………3分 x?1 所以e是函数f?x?的极小值点，极大值点不存在.…………………4分

（2）设切点坐标为

?x0,y0?，则y0?x0lnx0,切线的斜率为lnx0?1,

所以切线l的方程为

y?x0lnx0??lnx0?1??x?x0?.……………………5分

又切线l过点?0,?1?，所以有?1?x0lnx0??lnx0?1??0?x0?.

解得

x0?1,y0?0.

所以直线l的方程为y?x?1.………………………………………………7分

北京四中呼市分校

高中数学备课组

《3.3.2利用导数研究函数的极值训练题2》

一．选择题 1. 下列命题中真命题是( ) A．函数的最大值一定不是该函数的极大值 B．函数的极大值可以小于该函数的极小值 改错及反思 装C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D．函数在开区间内不存在最大值和最小值 2. 函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( ) A．0≤a<1 B．0

北京四中呼市分校

高中数学备课组

《3.3.2利用导数研究函数的极值训练题2》

解答题（要求写出具体解题过程）. 1. 已知函数f(x)＝x－ax－3x(a∈R)． (1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围； 32改错及反思 装1(2)若x＝－是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在区间[1，a]上的最大值． 3 2. 设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处 的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3

第八章多元函数微分

同步训练8-1题解(提高题)

一、填空题

1.

??2x?x2?y?2x??0?x?2?; 2.

1x3-

4xy+12; 3. 3yt1212

y(2x-y+2)3; 32

二、1. 令t=x2+y2, 原式=limt?0?tt?1?1=limt?0?t=2;

2. 解:0?

x3?y3x2?y2?

x2x2?y2?x?+

y2x2?y2?y???x?+?y?,(x,ylim(?x?+?y?)=0,原式=0; )?(0,0)=limx?0x(x3?x)312x3. 令y=x3-x, 原极限=limx?0三、证: 0?有?

xyx?y22x(x3?x)1?x?13=lim2x?0x?1x=?。

12x2?y2xyx2?y2?

12x2?y2,??>0, 要使?

xyx2?y2-0?

x2?y2<2?,取?=2?, 则当0<

x2?y2

-0?

同步训练8-2, 8-3题解(提高题）

一、选择题: 1. C； 2. B; 3. C; 4. C. 二、填空题: 1.

11?x2,

11?y2; 2. g?u(u,v)=f1+2uf2, 当u=v=1时, u-v=0, u2-1=0, 3v-3=0, 所以

g?u(1,1)=f1(0,0

导数应用题

1. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．

(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；

(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

40解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10 e.则日销售量为，

.∴y＝，其中35≤x≤41. ∴日利润y＝(x－30－t)·

(2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t.

①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35.∴当35≤x≤41时，y′≤0.

5∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e.

35<t＋31≤36 ，t＋31]上单调递增，②当4<t≤5时，函数y在[35，在[t＋31,41]上单调递减．

9t∴当x＝t＋31时，y取最大值10e－.

∴当2≤t≤4时，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e5元．

9t当4<t≤5时，x＝31＋t时，日利润最大值为10e－元．

2. 如图，ABCD是正方形空

82题突破高中数学导数

已知函数f(x)?x?alnx,其中a为常数，且a??1.（Ⅰ）当a??1时，求f(x)在[e,e]（e=2.718 28…）上的值域；（Ⅱ）若f(x)?e?1对任意x?[e,e]恒成立,求实数a的取值范围.2. 已知函数

22x?2y?0垂直，求a的值； （II）求函数

．（Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；（Ⅱ）当a?0时，若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，求f(x)?x3?6ax2?9a2x（a?R）

实数a的取值范围．4．已知函数f(x)?1x3?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R). （I）若x=1为

31f(x)?alnx?,a?R. （I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线

xf(x)的单调区间； （III）当a=1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5.3. 已知

f(x)的极值点，求a的值； （II）若y?f(x)的

图象在点（1，f（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；（ii）求函数G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e?x(m?R)(1)）处的切线方程为x?y?3?0，

f(x)?lnx?a .x的单调区间5．已知函数 （I）当a<0时，求函数

f(x)的单调

导数专项训练

【1】导数的几何意义及切线方程

1．已知函数f(x)?a在x?1处的导数为?2,则实数a的值是________.

x2. 曲线y=3x-x3上过点A（2,-2）的切线方程为___________________. 3. 曲线y?积是 ．

4．若直线y=kx-3与曲线y=2lnx相切,则实数k=_______. 5．已知直线y?x?2与曲线y?ln?x?a?相切,则a的值为 _______. 6. 等比数列{an}中,a1?1,a2012?9,函数f(x)?x(x?a1)(x?a2)(x?a2012)?2,则曲线

y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为_____________.

1和y?x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面x7．若点P是曲线y=x2-lnx上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为________.

8. 若点P、Q分别在函数y=ex和函数 y=lnx的图象上,则P、Q两点间的距离的最小值是_____.

9. 已知存在实数a,满足对任意的实数b,直线y??x?b都不是曲线y?x3?3ax的切线,则实数a的取值范围是_________.

10. 若关于x的方

高二（文科）导数应用题

例题：

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量??（单位：千套）与销售价格??（单位：元/套）满足的关系式??=

?????2

+4(???6)2，其中2

可售出套题21千套.

（1）求??的值； （2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格??的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点） 试题分析：（1）直接代入点（4，21）即可求出??=10；（2）先建立利润函数模型

??(??)=(???2)[???2+4(???6)2]=10+4(???6)2(???2)=4??3?56??2+240???278(2

代入关系式??=???2+4(???6)2，得2+16=21， 2分 解得??=10. 4分

（2）由（1）可知，套题每日的销售量??=???2+4(???6)2， 6分 所以每日销售套题所获得的利润

10

10

??????(??)=(???2)[???2+4(???6)2]=10+4(???6)2(???2)=4??3?56??2+240???278(2

令??′(??)=0，得??=

，函数

所以