工程数学概率论同济大学课后答案

2015-2016学年第一学期《概率论与数理统计》期终考试试卷(A卷)--1

一、填空题(16分)

1、(4分）设A,B为两个随机事件，0?P(A)?1,0?P(B)?1.若事件A,B相互独立，则

P(AB)?PAB? ； 若事件A是事件B的对立事件，则P(AB)?PAB? .

2、（4分）设A,B为两个随机事件，若P(A)?0.3,P(B)?0.4,P?A?B??0.5，则

????P(AB)= ， PBA?B= . 3、（8分）设X1,X2是取自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，Y1?X1?X2，Y2???X1?X2，则协方差

c(Y1?2?)Y2Cov(Y1,Y2)= ，已知(Y1,Y2)服从二维正态分布，如果c为非零常数，则当c= 时，

服从自由度为 的 分布.

二、（10分） 乒乓球在未使用前称为新球，使用后就称为旧球.在袋中有10个乒乓球,其中8个新球.第一次比赛时从袋中任取二球作为比赛用球,比赛后把球仍放回袋中,第二次比赛时再从袋中任取二球作为比赛用球.(1)求第二次比赛取出的球都是新球的概率;(2)如果已知第

2015-2016学年第一学期《概率论与数理统计》期终考试试卷(A卷)--1

一、填空题(16分)

1、(4分）设A,B为两个随机事件，0?P(A)?1,0?P(B)?1.若事件A,B相互独立，则

P(AB)?PAB? ； 若事件A是事件B的对立事件，则P(AB)?PAB? .

2、（4分）设A,B为两个随机事件，若P(A)?0.3,P(B)?0.4,P?A?B??0.5，则

????P(AB)= ， PBA?B= . 3、（8分）设X1,X2是取自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，Y1?X1?X2，Y2???X1?X2，则协方差

c(Y1?2?)Y2Cov(Y1,Y2)= ，已知(Y1,Y2)服从二维正态分布，如果c为非零常数，则当c= 时，

服从自由度为 的 分布.

二、（10分） 乒乓球在未使用前称为新球，使用后就称为旧球.在袋中有10个乒乓球,其中8个新球.第一次比赛时从袋中任取二球作为比赛用球,比赛后把球仍放回袋中,第二次比赛时再从袋中任取二球作为比赛用球.(1)求第二次比赛取出的球都是新球的概率;(2)如果已知第

第 一 章 习 题 一

1（4）解：设B1=“两件都是不合格品”，B2=“一件是合格品，另一件是不合格品”，A=“已知所取两件中有一件是不合格品”，则A?B1?B2，由题意知，

12C6C4282P(B1)?2?,P(B1)?2?,P(A)?P(B1)?P(B2)?

C1015C10153C42故P{B1 |A}=

P(AB1)P(A)?P(B1)P(A)?2/151? 2/353. 解：A:表示两个一级队被分在不同组，则A:表示两个一级队被分在同一组

P(A)?C2C18C201019?0.526,P(A)?1?P(A)?0.474

5．解：设一段长为x，另一段长为y，样本空间?:0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，

a?0?x??2?a? 0?y??2??x?y?(a?x?y)??所求事件满足：

从而所求概率＝S?CDES?OAB?14.

X,Y,样本空间占

6．解：设所取两数为

4S(?)?S(D)1?S(D)P??S(?)11有区域?,

两数之积小于1:XY?1,故所求概率

4,

,故所求概

4)而

S(

概率论课后习题答案

1 习题1解答

1、 写出下列随机试验的样本空间Ω:

(1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分);

(2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数;

(3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果;

(4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、

解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为

{|0,1,2,,100}i i n n Ω==、

(2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为

{10|0,1,2,}k k Ω=+=,

或写成{10,11,12,}.Ω=

(3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为

{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、

(3)取直角坐标系,则有22

{(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、

2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运

11．从（0，1）中随机取两个数，求下列事件的概率；（1）两数之和小于数之积小于

6；（2）两51。 461的事件为A，两数之积小于的事件为B。 54如下图，样本空间为单位正方形区域?，事件A为区域C，事件B为区域D，于是

11217 P(A)?C的面积/?的面积/=1?(1?)?

2525解 （此系几何概型问题）设两数之和小于

P(B)?D的面积/?的面积?

y

1 y?x?6 5

C

1O 1 x 5

11111??1dx??lnx444x441141?(1?ln4) 4y 1 O xy 1 ? D 1414x

14．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区，从该地区报名表中抽取1份，求抽到的1份是女生报名表的概率。

解 此系条件概率问题。

设Ai表示“抽到第i个地区”(i?1,2,3)，B表示“抽到的是女生报名表”。则据全概率公式，所求概率为

13171529P(B)??P(Ai)P(BAi)???????

31031532590i?115．三个箱子，第一个

i

习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：

(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？

解；将这五双靴子分别编号分组

A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则

“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能C表示：选法有C5.

不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能

i4?i选法为C5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54P(C)?1?P(C)?1? 4C1045?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110

i

习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：

(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？

解；将这五双靴子分别编号分组

A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则

“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能C表示：选法有C5.

不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能

i4?i选法为C5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54P(C)?1?P(C)?1? 4C1045?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110

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习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：

(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？

解；将这五双靴子分别编号分组

A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则

“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能C表示：选法有C5.

不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能

i4?i选法为C5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54P(C)?1?P(C)?1? 4C1045?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110

大学概率论课后习题答案

（A）

1、写出下列随机现象的基本事件空间

（1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反

面；

（2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数； （3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数； 解（1）若?i?“有i枚正面朝上”i?0,1,2，则??{?0,?1,?2)

（2）用(x,y)表示“第一次投出x点，第二次投出y点”，则

??{(x,y)x,y?1,2,?,6}

?（3）若

?i???{?ii?N“射击i次才命中目标”i?1,2,?，则

，N为自然数集}。

?2、在分别标有0,1,?,9数字的10张卡片中任取一张，令A表示事件“抽得一张标号不大于3的卡片”；B表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片”；C表示事件

“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本事件表示下列事件：

A?B，AB，B，A?B，B?A，BC，B?C，(A?B)?C

解 令i表示“抽得一张标号为i的卡片”i?0,1,?,9，则

A?{0,1,2,3}，B?{0,2,4,6,8}，C?{1,3,5,7,9}。

A?B因此，

?{0,1,2,3,4,6,8}AB，

?{0,2}B，

?C?{1,3,5,7,9}A?B?{1,3}B?，

习 题 一

1．下列随机试验各包含几个基本事件？

（1）将有记号a,b的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个

1一个地放入盒中；a球可放入的任一个，其放法有 C3?3 种，b球也可放入三个盒子的111任一个，其放法有C3?C3?9种。 ?3 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为C3（2）观察三粒不同种子的发芽情况。

解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子

111发芽共有C2?C2?C2?8种不同情况。

（3）从五人中任选两名参加某项活动。

解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，

2所以此试验的基本事件个数 n?C5?10。

（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。

解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，?n?101。 （5）将a,b,c三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。

解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一

1个一个放入盒子内（按要求）。a球可放入三个盒子中的任一个有C3?3种方法。b球因

为试