概率论题库及详细答案

概率论

1、设钻头的寿命(即钻头直到磨损报废为止所钻透的地层厚度，以米为单位)服从参数为 0.001 的指数分布， 现要打一口深度为2000米的井，求: （1）只需一根钻头的概率； （2）恰好用两根钻头的概率.

?0.001e?0.001x , x?0解 (1) 设钻头的寿命为X，其密度函数 f(x)??，

0 , x?0?只需一根钻头的概率为：

P(X?2000)????20000.001e?0.001xdx?e?2；

（2） 设两根钻头的寿命分别为X和Y，它们是相互独立的，其联合密度函数为：

?0.0012e?0.001(x?y) , x?0,y?0， g(x,y)?? 0 , 其它?恰好用两根钻头的概率为：

20000P(X?2000,X?Y?2000)??dx???2000?x0.0012e?0.001(x?y)dy

2、一工厂生产的某种设备的寿命 X ( 以年计 ) 服从指数分布，概率密度为

x?1?4?f(x)??4e , x?0，

?? 0 , y?0工厂规定，出售的设备若在一年之内损

概率论

1、设钻头的寿命(即钻头直到磨损报废为止所钻透的地层厚度，以米为单位)服从参数为 0.001 的指数分布， 现要打一口深度为2000米的井，求: （1）只需一根钻头的概率； （2）恰好用两根钻头的概率.

?0.001e?0.001x , x?0解 (1) 设钻头的寿命为X，其密度函数 f(x)??，

0 , x?0?只需一根钻头的概率为：

P(X?2000)????20000.001e?0.001xdx?e?2；

（2） 设两根钻头的寿命分别为X和Y，它们是相互独立的，其联合密度函数为：

?0.0012e?0.001(x?y) , x?0,y?0， g(x,y)?? 0 , 其它?恰好用两根钻头的概率为：

20000P(X?2000,X?Y?2000)??dx???2000?x0.0012e?0.001(x?y)dy

2、一工厂生产的某种设备的寿命 X ( 以年计 ) 服从指数分布，概率密度为

x?1?4?f(x)??4e , x?0，

?? 0 , y?0工厂规定，出售的设备若在一年之内损

概率与统计试卷（1）

1、(9分) 从0，1，2，3，4，5这六个数中任取三个数进行排列，问取得的三个数字能排成三位数且是偶数的概率有多大.

2、（9分）用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94、0.90、0.95，求全部产品的合格率.

3、 （11分）某机械零件的指标值?在［90，110］内服从均匀分布，试求：

（1）?的分布密度、分布函数；（2）?取值于区间（92.5，107.5）内的概率.

4、（9分）某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次击中为止.求“射击次数” 的期望.

5、（17分）对于下列三组参数，写出二维正态随机向量的联合分布密度与边缘分布密度.

（1） （2） （3） ?1 ?2 ?1 ?2 ? 3 1 1 0 1 2 1 0.5 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0 6、（15分）求下列各题中有关分布的临界值.

1

1）?02.05(6)，?02.01(9)； 2）t0.01(12)，t0.05(8)； 3）F0.025(5,10)，F0.95(10,5). 7、（11分）某水域由于工业排水而受

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律

一、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f?x,y??A?x2?y?12?2 .

求：（1）系数A；（2）数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)． 解: (1) 由??????????f(x,y)dxdy?1. 有

A2???x?????????y?12?2dxdy?A?2?0d???r0??r2?1?2dr??A?1

解得, A?1?.

(2) E(X)???????????xf(x,y)dxdy???1????dy???x???x2?y?12?2dx?0.

由对称性, 知 E(Y)?0. D(X)?E[(X?EX)]?EX22???????0??????xf(x,y)dxdy?221??????dy???x222???x12?y?1???dx

?1??2?0d????r320?r2?1?dr?2?r(1?r)?r?r??2?1?2dr?[ln(1?r)

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

概率论与数理统计

<概率论>试题

一、填空题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(B?A)＝ 3．若事件A和事件B相互独立, P(A)=?,P(B)=0.3，P(A?B)=0.7,则?? 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1/2)kA=______________

7. 已知随机变量X的密度为f(x)??(k?1,2,???)则

?ax?b,0?x?1,且P{x?1/2}?5/8,则

0,其它?a?_

概率论作业（1） 班级 学号 姓名

1. 写出下列随机试验的样本空间： (1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）； (2) 在单位圆内任取一点，记录它的坐标； (3) 一射手射击，直到击中目标为止，观察射击情况。 (4) 把A，B两个球随机地放到3个盒子中去，观察球的分布情况（假设每个盒子可容纳球的个数不限）。 2．一工人生产了四件产品，以A表示他生产的第i件产品是正品(i?1,2,3,4)，试用A表示(i?1,2,3,4)下列事件：

（1） 没有一件产品是次品； （2） 至少有一件产品是次品； （3） 恰有一件产品是次品； （4） 至少有两件产品不是次品。

3.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A={第一次击中飞机}，B={第二次击中飞机} C={恰有一弹击中飞机}，D={至少有一弹击中飞机}，E={两弹都击中飞机}。 （1） 试用事件A，B，表示事件C，D，E。 （2） C与E是互逆事件吗？为什么？

4．从一批产品中任意抽取5件样品进行质量检查。记事件A表示“发现i件次品”

(i?0,1,2,?,5)，试用A来表示下列事件：

（1）发现2件或3件次品；（