导数微积分公式大全

四、基本求导法则与导数公式

１. 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1)

(C)??0 (3) (sinx)??cosx (5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

xx (9)

(a)??alna (log1ax)?? (11)

xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

函数的和、差、积、商的求导法则 设

u?u(x)，

v?v(x)都可导，则

（1） (u?v)??u??v? （2）（3）

（4）(uv)??u?v?uv? 反函数求导法则

(x?)???x??1 (cosx)???sinx

(cotx)???csc2x

(cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2

(arccotx)???11?x2(Cu)??Cu?（C是常数）

???u??u?v?uv??v

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

所有微积分公式《全》

·两角和与差的三角函数

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ

考研数学：微积分公式汇总

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！

第 2 页 共 2 页

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！

第 3 页 共 3 页

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！

第 4 页 共 4 页

一分耕耘一分收获。加油！

①?C'=0(C为常数函数)；???

②?(x^n)'=?nx^(n-1)?(n∈Q*)；熟记1/X的导数???

③?(sinx)'?=?cosx；???(cosx)'?=?-?sinx；???

(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2???

-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2???

(secx)'=tanx·secx???(cscx)'=-cotx·cscx???

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2???(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2???

(arctanx)'=1/(1+x^2)???(arccotx)'=-1/(1+x^2)???

(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)???(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)???

④?(sinhx)'=hcoshx???(coshx)'=-hsinhx???

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2???(co

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

特殊角的三角函数值

例1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。

（1）已知tanx=3求其他的三角函数值 斜边

^2=a^2+b^2

Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx

①倒数关系：

②商的关系

③平方关系

两角和的正弦、余弦、正切公式

两角差的正弦、余弦、正切公式

倍角公式

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

降幂公式

积化和差公式

对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（α≠1，c≠1），α为任意实数

①

②； ；

③

④

⑤。 ； ；

：如果q≠1时，

例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

解：

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

由

一、极限运算法则

定理

设

（1）

（2） ，则 得级数收敛，其和为。

（3）

3.无穷小的运算性质：

（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。 小结：当，m和n为非负整数时有

无穷小分出法

深大 高数 课件

第二节 微积分基本公式(下)三、牛顿 – 莱布尼兹公式

第五章

深大 高数 课件

牛顿—莱布尼茨公式设F ( x ) 是f ( x )的一个原函数, f ( t )dt 也是f ( x )的一个原函数.x a xa

f (t )dt F ( x ) C .

令 x a, 得 C F (a ),x a

0

a

a

f (t )dt F (a ) C .

f (t )dt F ( x ) F (a ).

令x b

a f ( x )dx F (b) F (a ).b

深大 高数 课件

定理 ：设函数 f ( x )在[a , b]上连续，F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则

b a

f ( x ) dx F (b) F (a ) (牛顿-莱布尼兹公式)

上式说明：连续函数在一个区间上的积分等于 它的一个原函数在积分区间端点的改变量。意义：牛顿-莱布尼兹公式沟通了积分和(反) 导数这两个微积分学中最基本的概念，因此也 称为微积分基本公式。 另一种形式： F (b) F (a )

b a

F ( x ) dx .

深大 高数 课件

a f ( x )dx F (b)

(tgx)′=secx(ctgx)′= csc2x(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=

1xlna

2

(arcsinx)′=

1

x2

1

(arccosx)′=

x21

(arctgx)′=

1+x2

1

(arcctgx)′=

1+x2

∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C

dxx1

arctg=+C∫a2+x2aa

dxx a1

ln=∫x2 a22ax+a+C

dx1a+x

=∫a2 x22alna x+Cdxx

=+Carcsin∫a2 x2

a

π

2

n

dx2

sec=∫cos2x∫xdx=tgx+C

dx2

csc=∫sin2x∫xdx= ctgx+C

∫secx tgxdx=secx+C

∫cscx ctgxdx= cscx+C

ax

∫adx=lna+C

x

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx2±a2

=ln(x+x2±a2)+C

π

2

In=∫sinxdx=∫cosnxdx=

n 1

In 2n

∫∫∫

x2a22

x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C

22x2a2

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

篇一：微积分入门

校 本 课 程

论文题目：微积分初步

作 者：高红桃

日 期：2011-09-11

序

中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认