2019-2020年高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义导数的运算讲义

2019-2020年高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义导数的

运算讲义

(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8. 因为A1B1=AB=6,

所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积

23

V锥=·A1·PO1=×6×2=24(m); 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 223

V柱=AB·O1O=6×8=288(m). 3

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m).

(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0

因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,

2

所以+h=36,

22

即a=2(36-h). 于是仓库的容积

2223

V=V柱+V锥=a·4h+a·h=ah=(36h-h),0

22

从而V'=(36-3h)=26(12-h). 令V'=0,得h=2或h=-2(舍).

当00,V是单调增函数; 当2

考纲解读

考点 1.导数的概念及几何意义 2.导数的运算 内容解读 1.切线方程的有关问题 2.导数几何意义的应用 导数的运算 要求 xx 五年高考统计 xx xx xx 11题 5分 xx 常考题型 预测热度 填空题 ★★★ 解答题 填空题 ★★★ 解答题 B B

分析解读 导数的几何意义和导数的四则运算是学习导数的基础,江苏高考偶有单独考查,但更多的是与导数解答题放在一起进行综合考查.

五年高考

考点一 导数的概念及几何意义

1.(xx课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x+在点(1,2)处的切线方程为 . 答案 x-y+1=0

2.(xx天津文改编,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 . 答案 1

-x-1

3.(xx课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 答案 y=2x

x

4.(xx陕西,15,5分)设曲线y=e在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 . 答案 (1,1)

2

5.(xx江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 . 答案 -3

教师用书专用(6—9)

2

6.(xx广东理,10,5分)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= . 答案 -1

2

7.(xx重庆理,17,13分)设f(x)=a(x-5)+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).

(1)确定a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间与极值.

2

解析 (1)因f(x)=a(x-5)+6ln x,故f '(x)=2a(x-5)+.

令x=1,得f(1)=16a, f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.

2

(2)由(1)知, f(x)=(x-5)+6ln x(x>0), f '(x)=x-5+=. 令f '(x)=0,解得x1=2,x2=3.

当03时, f '(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2

由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3. 8.(xx北京,18,13分)已知函数f(x)=ln.

(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程; (2)求证:当x∈(0,1)时, f(x)>2;

(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值. 解析 (1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 所以f '(x)=+, f '(0)=2.

又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x. (2)证明:令g(x)=f(x)-2,

2

则g'(x)=f '(x)-2(1+x)=.

因为g'(x)>0(0g(0)=0,x∈(0,1), 即当x∈(0,1)时, f(x)>2.

(3)由(2)知,当k≤2时, f(x)>k对x∈(0,1)恒成立. 当k>2时,令h(x)=f(x)-k,

2

则h'(x)=f '(x)-k(1+x)=.

所以当0

所以当k>2时, f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立. 综上可知,k的最大值为2.

9.(xx北京理,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线. (1)求L的方程;

(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 解析 (1)设f(x)=,则f '(x)=.

所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.

(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且

g'(x)=1-f '(x)=.

2

当0

2

当x>1时,x-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1).

所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.

考点二 导数的运算

x

1.(xx天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为 . 答案 3

x

2.(xx福建,20,14分)已知函数f(x)=e-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值;

2x

(2)证明:当x>0时,x

2x

(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x

xx

解析 (1)由f(x)=e-ax,得f '(x)=e-a. 又f '(0)=1-a=-1,得a=2.

xx

所以f(x)=e-2x,f '(x)=e-2. 令f '(x)=0,得x=ln 2.

当xln 2时, f '(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,

ln 2

且极小值为f(ln 2)=e-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值.

x2x

(2)证明:令g(x)=e-x,则g'(x)=e-2x. 由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)>0, 故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,

2x

因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x

xx2x

(3)证法一:①若c≥1,则e≤ce.又由(2)知,当x>0时,x

2x

所以当x>0时,x

2x

取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

2xx2

②若01,要使不等式xkx成立.

x22

而要使e>kx成立,则只要x>ln(kx),只要x>2ln x+ln k成立. 令h(x)=x-2ln x-ln k,则h'(x)=1-=,

所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增. 取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,

又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k, 易知k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以h(x0)>0.

2x

即存在x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

2x

综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

x2x

由(2)知,当x>0时,e>x,所以e=·>,

x2

当x>x0时,e>>=x,

2x

因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

3x

证法三:首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x

3x2x

令h(x)=x-e,则h'(x)=x-e.

2x

由(2)知,当x>0时,x

从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内单调递减,

3x

所以h(x)

23x

取x0=,当x>x0时,有x

2x

因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

教师用书专用(3)

3.(xx福建理,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值.

解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-. (1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f '(x)=1-(x>0), 因而f(1)=1, f '(1)=-1,

所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)由f '(x)=1-=,x>0知:

①当a≤0时, f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;

②当a>0时,由f '(x)=0,解得x=a.

又当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,

从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;

当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.

三年模拟

A组 xx模拟·基础题组

考点一 导数的概念及几何意义

3

1.(xx江苏常熟期中调研)已知曲线f(x)=ax+ln x在(1,f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是 . 答案

22

2.(xx江苏东台安丰高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中,直线l与函数f(x)=2x+a(x>0)和

32

g(x)=2x+a(x>0)的图象均相切(其中a为常数),切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则x1+x2的值为 . 答案

3.(xx江苏扬州中学月考)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= . 答案 -1

3

4.(xx江苏淮安宿迁高三第一学期期中)已知函数f(x)=x.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导数,则的值为 . 答案

5.(xx江苏常熟高三期中)已知函数f(x)=若直线y=ax与y=f(x)的图象交于三个不同的点A(m,f(m)),B(n,f(n)),C(t,f(t))(其中m

6.(苏教选2—2,一,1,5,变式)经过点(2,0)且与曲线y=相切的直线方程为 . 答案 x+y-2=0

x

7.(xx江苏苏州暑期调研,5)曲线y=e在x=0处的切线方程是 . 答案 y=x+1

8.(xx江苏海头高级中学质检,10)已知点P(1,m)是函数y=ax+图象上的点,直线x+y=b是该函数图象在点P处的切线,则a+b-m= . 答案 2

9.(xx江苏南京高淳质检,10)设P是函数y=(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是 . 答案

10.(xx江苏苏州期中,4)曲线y=x-cos x在点处的切线方程为 . 答案 2x-y-=0

11.(xx江苏扬州中学期中,11)若x轴是曲线f(x)=ln x-kx+3的一条切线,则k= .

2

答案 e

x

12.(苏教选2—2,一,2,4,变式)点P是曲线y=e上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.

xx

解析 根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e相切于点(x0,y0),该切点即为曲线y=e上与直线y=x距离

x

最近的点,如图.则曲线y=e在点(x0,y0)处的切线斜率为1.

∵y'=(e)'=e, ∴=1,得x0=0, ∴y0=1,即P(0,1).

利用点到直线的距离公式得点P(0,1)到直线y=x的距离为.

xx

考点二 导数的运算

x

13.(苏教选2—2,一,2,8,变式)设y=-2esin x,则y'= .

x

答案 -2e(sin x+cos x)

14.(苏教选2—2,一,2,5,变式)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= . 答案 -2

32

15.(xx江苏阶段测试,10)若函数f(x)=x-f '(-1)x+x,则[f '(0)+f '(1)]f '(2)= . 答案 91

B组 xx模拟·提升题组 (满分:15分 时间:10分钟)

填空题(每小题5分,共15分)

222

1.(xx江苏南京、盐城一模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点P为函数y=2ln x的图象与圆M:(x-3)+y=r的公共点,且它们在点P处有公切线,若二次函数y=f(x)的图象经过点O,P,M,则y=f(x)的最大值为 . 答案

2.(xx南京、盐城第二次模拟考试,14)已知函数f(x)=ln x+(e-a)x-b,其中e为自然对数的底数.若不等式f(x)≤0恒成立,则的最小值为 . 答案 -

3.(xx江苏无锡期末,12)曲线y=x-(x>0)上一点P(x0,y0)处的切线分别与x轴,y轴交于点A、B,O是坐标原点,若△OAB的面积为,则x0= . 答案

C组 xx模拟·方法题组

方法1 求函数的导数的方法 1.求下列函数的导数:

2

(1)y=xsin x;(2)y=;(3)y=.

222

解析 (1)y'=(x)'sin x+x(sin x)'=2xsin x+xcos x. (2)y'==. (3)y'= = =.

方法2 利用导函数求曲线的切线方程

2.已知函数f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求该切线方程.

解析 f '(x)=,g'(x)=(x>0),

22

设两曲线交点的横坐标为x,则由已知得解得a=,x=e,∴两条曲线交点的坐标为(e,e),

222

切线的斜率k=f '(e)=,∴切线的方程为y-e=(x-e),即x-2ey+e=0.

D组 xx模拟·突破题组

(xx江苏扬州中学质检,19)对于函数f(x),g(x),如果它们的图象有公共点P,且在点P处的切线相同,则称函

2

数f(x)和g(x)在点P处相切,称点P为这两个函数的切点.设函数f(x)=ax-bx(a≠0),g(x)=ln x. (1)当a=-1,b=0时, 判断函数f(x)和g(x)是否相切,并说明理由; (2)已知a=b,a>0,且函数f(x)和g(x)相切,求切点P的坐标. 解析 (1)当a=-1,b=0时,函数f(x)和g(x)不相切.

2

理由如下:由条件知f(x)=-x,由g(x)=ln x,得x>0,因为f '(x)=-2x,g'(x)=,所以当x>0时,f '(x)=-2x<0,g'(x)=>0,所以对于任意的x>0,f '(x)≠g'(x). 故当a=-1,b=0时,函数f(x)和g(x)不相切.

2

(2)若a=b,则f '(x)=2ax-a,由题意得g'(x)=,设切点坐标为(s,t),其中s>0,由题意,得as-as=ln s①,2as-a=②,由②得a=,代入①得=ln s(*).因为a=>0,且s>0,所以s>. 设函数F(x)=-ln x,x∈,

则F'(x)=.

令F'(x)=0,解得x=1或x=(舍).

当x变化时,F'(x)与F(x)的变化情况如下表所示: x F'(x) + F(x) ↗ 1 (1,+∞) 0 - 极大值 ↘ 所以当x=1时,F(x)取到最大值F(1)=0,且 当x∈∪(1,+∞)时,F(x)<0.

因此,当且仅当x=1时,F(x)=0.所以方程(*)有且仅有一解s=1. 于是t=ln s=0,因此切点P的坐标为(1,0).

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zzwf.html