直线和圆综合问题题型分类全面

第九讲 直线和圆问题 一、直线与圆

（一）直线和圆的位置关系及其特点

1.直线和圆相交：直线和圆有两个公共点. 2.直线和圆相切：直线和圆有一个公共点. 3.直线和圆相离：直线和圆没有公共点. （二）直线和圆的位置关系的判断

几何法：利用圆心O(a,b)到直线Ax?By?C?0的距离d?Aa?Bb?CA?B22与半径r的大

小来判断.

代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过根的判别式??b?4ac来判断.

直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2图形 圆心到直线的距离d ??b?4ac 2（三）相交弦长 1.定义：当直线和圆相交时，我们把两个交点的距离叫做相交弦长. 2.求相交弦长的两种方法 几何法：如图，半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，满足勾股定理：__________.

代数法：若直线y?kx?b与圆有两个交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则弦长公式AB=_______________________________________________．

或______________________________________________________． 3.相交弦中点求法

几何法：求出经过圆心与相交弦l垂直的直线方程l，则l、l的交点即为相交弦中点． 代数法：联立直线l和圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，其两根分别为

''x1,x2则相交弦的中点横坐标为x0?为中点弦坐标． （四）圆的切线 １.圆的切线条数

x1?x2，再把x0代入直线l的方程求得y0，(x0,y0)即21

点在圆内时：___________；点在圆上时：___________；点在圆外时：____________. 2.圆的切线方程求法

（1）求过圆上一点(x0,y0)的切线方程求法

先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系可知切线斜率为k，由点斜式方程求得切线方程.若k?0或k不存在，则由图形可以直接求得切线方程． （2）求过圆外一点(x0,y0)的切线方程求法

几何法：设切线方程为点斜式，由圆心到直线距离等于半径求出斜率k，从而求出切线方程． 代数法：设切线方程为点斜式，将切线方程代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用??0求出k，从而求出切线方程． 3.过圆上一点(x0,y0)的切线方程

（1）经过圆x?y?r上一点P（x0,y0）的切线方程为x0x?y0y?r2. （2）经过圆(x?a)?(y?b)?r上一点P（x0,y0）的切线方程为

222222'(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2.

（3）经过圆x?y?Dx?Ey?F?0上一点P(x0,y0)的切线方程为

22x0x?y0y?Dx0?xy?y?E0?F?0. 222224.切线长：若圆C:(x?a)?(y?b)?r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长

d?(x0?a)2?(y0?b)2?r2.

5.切点弦：过圆C:(x?a)?(y?b)?r外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线方程，切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为：(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2. （五）圆系方程

1.以(a,b)为圆心的圆系方程是_____________________________________.

2.与圆x?y?Dx?Ey?F?0同心的圆系方程是___________________________. 3.过同一定点(a,b)的圆系方程是_________________________________________.

224.过直线Ax?By?C?0与圆x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是

22222____________________________________________________________.

5.过两圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0,C2:x?y?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系

2222 2

方程是_________________________________________________________.

二、圆和圆

（一）圆和圆的位置关系 圆与圆之间有几种位置关系？ （二）圆和圆的位置关系判断

几何法：设两圆的半径分别为r1,r2，圆心距为d，比较d和r1,r2的大小关系. 代数法：由两个圆的方程组成一个方程组消元化为一元二次方程．根据?来判断. 圆和圆的位置关系 图形 两圆圆心的距离d 内含 内切 相交 外切 外离 ??b2?4ac （三）圆与圆的公共弦 1.两圆的相交弦所在直线方程的求法

设两圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0?和C2:x?y?D2x?E2y?F2?0?相交时，?-?得?D1?D2???E1?E2??F1?F2?0?

若两圆相交，方程?表示过两圆交点的直线，即?为经过两圆交点的直线方程. 提示：当两圆相切时?为两圆的公切线方程. 2.公共弦长的求法

代数法：将两圆方程联立，解出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长.

几何法：求出公共弦所在直线方程，求出弦心距，半径，利用勾股定理求出弦长.

三、直线与圆的方程的应用

坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题．

考点一、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系

例1：已知动直线l:y?kx?5和圆C:(x?1)?y?1，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

3

222222

例2：若直线ax?by?1?0与圆x2?y2?1相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是__________.

例3：圆C1:x2?y2?2mx?4y?m2?5?0与圆C2：x2?y2?2x?2my?m2?3?0. 试问m为何值时，两圆（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含；

10(??R,??2??k?,k?z)的位置关系是？ 变式1：圆2x2＋2y2＝1与直线xsinq＋y－＝

变式2：已知点M(a,b)在圆O:x2?y2?1外，则直线ax?by?1与圆O的位置关系是____________.

变式3：已知圆C1:x2?y2?2x?8y?8?0，圆C2:x2?y2?4x?4y?2?0，试判断两圆的位置关系.

练习：

12＝0与?C：－1.直线3x＋4y＋(x1)＋(y－1)＝9的位置关系是__________.

222.直线x?y?1与圆x?y?2ay?0(a?0)有公共点，则a的取值范围是多少？

22

3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( ) A．0或2 C．2

2222B．0或4 D．4

4.圆x?y?2x＝0和x?y+4y?0的位置关系是___________.

5.圆C1：(x?m)2?(y?2)2?9与圆C2：(x?1)2?(y?m)2?4外切，则m的值为多少？

6.判断直线L:(1?m)x?(1?m)y?2m?1?0与圆O：x?y?9的位置关系.

4

22

考点二、直线和圆相交 （一）相交弦长

例1：求直线l:3x?y?6?0被圆C:x2?y2?2y?4?0截得的弦长.

例2：已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y?x?1被圆C所截得的弦长为22，求圆的方程.

例3：直线y?kx?3与圆(x?3)2?(y?2)2?4相交于M,N两点,若MN?23,则k的取值范围是___________________.

变式1：在平面直角坐标系xOy中，直线x?2y?3?0与圆C:(x?2)2?(y?1)2?4交于A,B两点，求AB及?AOB的面积.

变式2：设直线ax?y?3?0与圆(x?1)2?(y?2)2?4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a?____________．

22变式3：已知圆M:(x?1)?(y?1)?4，直线l过点P(2,3),且与圆M相交于A,B两

点,AB?23，求.直线l的方程.

练习：

1.直线y?2x?3被圆x?y?6x?8y?0所截得的弦长等于多少？

222.已知圆x?y?2x?2y?a?0截直线x?y?2?0所得弦的长度为4，则

22a?________.

3.直线l过点Q(0,5),被圆C:(x?2)?(y?6)?16截得的弦长为43，求直线l的方程.

22 5

4.直线x?2y?3?0与圆C:(x?2)2?(y?3)2?9交于E、F两点，则?ECF的面积为_______________.

5.求与x轴相切，圆心在直线3x?y?0上，且截直线x?y?0的所得弦长为27的圆的方程.

6.直线3x?y?23?0截圆x2+y2=4的劣弧所对的圆心角是______________.

（二）中点弦和弦的中点轨迹问题

例1：已知圆x2?y2?4x?6y?12?0内一点A(4,?2)，求以为A中点的弦所在直线的方程.

例2：过点P(3,1),作圆M:(x?2)2?(y?2)2?4的弦，其中最短的弦长为_________.

例3：直线y?kx与圆x?y?6x?4y?10?0相交于两个不同点，求中点轨迹方程.

变式1：设圆C:x?y?4x?5?0的一条弦的中点为P(3,1),则该弦所在直线的方程为___________________________________.

变式2：过点（1，2）的直线l将圆(x?2)?y?4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的的方程为 .

变式3：已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

6

222222

练习：

1.（1）设直线2x?3y?1?0和圆x2?y2?2x?3?0相交于点A，B，弦AB的垂直平分线的方程为?

（2）若点P2，-1为圆x-1

2.过点(2,1)的直线被圆x2?y2?2x?4y?0截得的弦长最短的直线方程是？

3.经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

4.若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹.

22

5.已知圆的方程为x＋y－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和

()()2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程.

BD，则四边形ABCD的面积为( ) A．106 C．306

（三）直线和圆相交最值问题

例1：在圆x2?y2?4上，与直线4x?3y-12?0的距离最小距离是_________.该点的坐标是 ．最大距离是___________.该点的坐标是_________________.

例2：若圆x?y?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的距离为

22B．206 D．406

22,则直线l的倾斜角的取值范围是 ．

例3：若过定点M(?1,0)且斜率为k的直线与圆x2?4x?y2?5?0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是 ．

7

变式1：已知点P(x,y)是圆(x?3)2?(y?3)2?4上任意一点，求到直线2x?y?6?0的最大距离和最小距离.

变式2：在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2?y2?4上有且仅有四个点到直线12x?5y?c?0的距离为1，则实数c的取值范围是___________________.

变式3:直线l过点A0，?x?1??y2?1(y?0)有两个不同的交点，则直线l2且与半圆C：()2的斜率的范围是__________.

练习：

1.圆x2?y2?1上的点到直线3x?4y?25?0的距离的最小值是（ ）

A．6 B．4 C．5 D．1

2.设A为圆(x?2)2?(y?2)2?1上一动点，则A到直线x?y?5?0的最大距离为______.

10的距离为2 的点有（ ） 3.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋＝ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

4.若圆(x?3)2?(y?5)2?r2上有且只有两个点到直线4x?3y?2的距离等于1，则半径r的取值范围是_________.

5.若圆(x?3)2?(y?5)2?r2上有且只有两个点到直线4x?3y?2的距离等于1，则半径r的取值范围是_________.

6.曲线y?1?4?x2(|x|?2)与直线y?k(x?2)?4有两个交点时，实数k的取值范围是_____.

考点三、直线和圆相切 （一）与圆相切的直线方程

（3，1）（点在圆外）例1：自点M向圆x?y?1引切线，则切线方程是多少？

22 8

（点在圆上）例2：经过圆上一点P(?4,?8)作圆(x?7)2?(y?8)2?9的切线方程为_____________________.

例3：与圆C：x2?(y?5)2?3相切、且纵截距和横截距相等的直线共有 条.

例4：把直线y?3x绕原点逆时针方向旋转，使它与圆x2?y2?23x?2y?3?0相切，则3直线转动的最小正角是_______________.

变式1：求过A(3,5)且与圆C:x2?y2?4x?4y?7?0相切的直线方程.

变式2：圆x2?y2?4x?0在点P(1,3)处的切线方程为__________________.

练习：

1.求过点A(2，22?2)的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程.

2.已知圆O：x2+y2=16，求过点P4,6的圆的切线PT的方程.

3.已知过点P(2,2) 的直线与圆(x?1)2?y2?5相切, 且与直线ax?y?1?0垂直, 则a?（ ） 1A.?

2()B．1 C．2

2D．

1 223)射出，经x轴反射后，与圆C:(x?3)?(y?2)?1相切，求反4.一条光线从点A(?2，射后光线所在直线的方程____________________.

225.垂直于直线y?x?1且与圆x?y?1相切于第一象限的直线方程是（ ）

A．x?y?2?0 C．x?y?1?0

B．x?y?1?0 D．x?y?2?0

6.若经过点P(?1,0)的直线与圆x2?y2?4x?2y?3?0相切，则此直线在y轴上的截距是 ．

9

（二）与直线相切的圆方程

（4,-1)圆例：求圆心在直线l1:5x?3y?0上，并且与直线l2：x?6y?10?0 相切于点P的方程.

变式：若圆C经过坐标原点和点4,0,且与直线y=1相切,则圆C的方程是_________.

练习：

1.圆心为（1，2）且与直线5x?12y?7?0相切的圆的方程为 .

2.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x?4y?4?0与圆C相切，则圆

()C的方程为_______________.

3.已知圆C的圆心是直线x?y?1?0与x轴的交点，且圆C与直线x?y?3?0相切，则圆C的方程为____________________．

（三）切点弦、切线长

例1：过点P2,3向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为______________________.

例2：自点 A(?1,4)作圆(x?2)2?(y?3)2?1的切线，则切线长为_______________.

例3：已知P是直线3x?4y?8?0上的动点，PA,PB是圆C:x?y?2x?2y?1?0的两条切线，A、B是切点，C是圆心， （1）那么四边形PACB面积的最小值为多少？

（2）直线上是否存在点P使?BPA?60？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由.

?()22 10

例4.自动点P引圆x2?y2?10的两条切线PA,PB，直线PA,PB的斜率分别为k1,k2. （1）若k1?k2?k1k2??1，求动点P的轨迹方程；

（2）若点P在直线x?y?m上，且PA?PB，求实数m的取值范围.

变式1：过点?3,1?作圆(x?1)2?y2?1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为___________________________.

变式2：自直线y=x上的点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 .

?APB?60，变式3：由动点P向圆x2?y2?1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则动点P的轨迹方程为 ．

练习

1.过圆x?y?4外一点M(4,?1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A．4x?y?4?0 B．4x?y?4?0 C．4x?y?4?0 D．4x?y?4?0

2.过点C6，－8作圆x＋y＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为( ) A．15

15

B．1 C.

2

D．5

22?()221上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) 3.由直线y＝x＋A．1

C.7

B．22 D．3

2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边 4.从直线l：形PAOB面积的最小值.

11

5.已知?O:x2+y2=1和定点A2,1,由?O外一点P(a,b)向?O引切线PQ,切点为

()Q,且满足PQ=PA.

(1)求实数a,b间满足的等量关系; (2)求线段PQ的最小值.

（四）利用直线和圆的位置关系解决最值问题

例1：已知实数x、y满足方程x2?y2?4x?1?0，

y的最大值和最小值； x（2）求x?y的最大值和最小值；

（1）求

（3）求x2?y2的最大值和最小值.

变式：若实数x,y满足x2?y2?2x?4y?0，则x?2y的最大值为 ． 练习

1.已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0, 求(1)

2.已知实数x,y满足x2+y2=1，则

考点四、圆与圆 （一）圆与圆相切

例1：求与圆x?y?25内切于点（5，0），且与直线3x-4y?5?0也相切的圆方程．

22y的最值；(2)x2+y2的最值；(3)x+y的最值；(4)x?y的最值. xy?2的取值范围为________________. x?1 12

变式：已知半径为1的动圆与圆（x?5)2?(y?7)2?16相切,则动圆圆心的轨迹方程是______________________.

练习：

1.圆M：(x?1)2?(y?1)2?8，圆N的圆心为N(2,2)且与圆M相切，求圆N的方程．

2.求过点A(0,6)且与圆C：x2?y2?10x?10y?0切于原点的圆的方程．

（二）圆与圆相交

例1：求两圆：x2?y2?6x?4y?0及x2?y2?4x?2y?4?0的公共弦所在直线方程和公共弦长.

例2：已知圆C1:x2?y2?6x?7?0与圆C2：x2?y2?6y?27?0相交于A,B两点，则线段AB的中垂线方程为________．

例3：求过两圆x2?y2?6x?4?0和 x2?y2?6y?28?0的交点，且圆心在直线

x?y?4?0上的圆的方程．

变式1：圆x2?y2?2x?0和x2?y2?4y?0的公共弦所在直线方程为（ ） A.x?2y?0 B. x?2y?0 C. 2x?y?0 D. 2x?y?0

变式2：已知两圆x?y?10x?10y?0和x?y?6x?2y?40?0，则它们的公共弦长为______________.

练习：

1.圆x?y?x?y?2?0和圆x?y?5的公共弦直线方程为________；公共弦长为 . 22222222

13

2.已知圆M：x2?y2?10和圆N：x2?y2?2x?2y?14?0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.

考点六、综合拓展（设而不求、对称问题）

例1：已知直线x?2y?3?0交圆x2?y2?x?6y?F?0于点P,Q，O为坐标原点，且

OP?OQ，则F的值为 ．

?3)为?OAB的直角顶点，例2：在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，已知AB?2OA，

且点B的纵坐标大于0.

→

(1)求AB的坐标；

(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．

例3：已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M、N分别是圆

C1、C2上的动点，P为x轴上的动点,PM?PN的最小值.

变式1：若圆C:(x?3)2?(y?1)2?9与直线x?y?a?0交于A、B两点，且OA?OB，求a的值.

变式2：若圆x2?y2?8和圆x2?y2?4x?4y?4?0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）

A. x?y?0 B. x?y?0 C. x?y?2?0 D.x?y?2?0 练习

1.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( ) A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1

[来[来源: 2.若两圆x?y?16及(x?4)2?(y?3)2?r2在交点处的切线互相垂直，求实数r的值．

22 14

3.已知圆(3-x)2?y2?4和直线y?mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则

OP?OQ的值为____________.

考点七、实际运用

例：有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

变式：如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被我海监船监测到？若能，持续时间多长？

练习：航行前方的河道上有一圆拱桥，在正常水位时，拱圆最高点距水面9米，拱圆内水面宽为22米，船只在水面上部高为6.5米,船顶宽4米,故船行无阻.近日水位暴涨了2.7米,船只已不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身.问:船身必须降低多少,才能通过桥洞?

巩固训练

1.直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( ) A．相交并且过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离

2.已知圆x?y?x?2y?2261122，圆(x?sin?)?(y?1)?，其中0????90?，则两1616圆的位置关系为（ ）

A.相交 B．外切 C．内切 D．相交或外切

3.若曲线y?1?x2与直线y?x?b始终有两个交点，则b的取值范围是__________.

4.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于( )

52

A．6 B． C．1 D．5

2

15

5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________.

6.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为_________.

7.直线x?y?1与圆x2?y2?2ay?0(a?0)没有公共点，则a的取值范围是_____.

8.设P是圆(x?3)2?(y?1)2?4上的动点,Q是直线x??3上的动点,则PQ的最小值为

__________________.

9.过点P－1,6且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是____________________．

10.求与圆x2?y2?2x?4y?1?0同心，且与直线2x?y?1?0相切的圆的方程.

11.过点(2,1)的直线中被圆x2?y2?2x?4y?0截得的弦长最大的直线方程是( ) A.3x?y?5?0 B. 3x?y?7?0 C. x?3y?5?0 D. x?3y?5?0

12．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( ) A．5 B．1 C．35－5 D．35＋5

13.动点在圆x?y?1 上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( A．(x?3)?y?4 C．(2x?3)2?4y2?1

14.设P(x,y)是圆x2?y2?8x?6y?16?0上一点，则

2222())

B．(x?3)?y?1 D．(x?22321)?y2? 22y的最大值是 ． x

15.辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( ) A．1.4米 B．3.0米 C．3.6米 D．4.5米

16.已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x?3y?0上，且被直线y?x截得的弦长为27，求圆C的方程．

16

17.已知直线l过点P(5,5),且和圆C:x2?y2?25相交于A,B两点，截得的弦长为45，求直线l的方程.

18.求经过圆C1:x2?y2?4x?2y?1?0与圆C2:x2?y2?6x?0的交点，且过点

的圆的方程. （2，?2）

19.已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．

42

(1)若|AB|＝，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；

3

(2)求证：直线AB恒过定点．

20.已知过点M??3,?3?的直线l与圆x2?y2?4y?21?0相交于A,B两点， (1)若弦AB的长为215，求直线l的方程；

(2)设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程．

21．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点； (2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝17，求l的倾斜角； (3)求弦AB的中点M的轨迹方程．

22.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．

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