2019年贵州省黔东南州中考数学一模试卷

2019年贵州省黔东南州中考数学一模试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（﹣1）的相反数是（ ）

A． 1 B． ﹣1 C． 2009 D． ﹣2009 2．函数

中自变量x的取值范围是（ ）

2009

A． x≤2 B． x=3 C． x＜2且x≠3 D． x≤2且x≠3

3．某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A． 中位数 B． 众数 C． 平均数 D． 极差

4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）

；④AC=AD?AB．其

2

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么满足的方程是（ ）

A． 50（1+x）=196 B． 50+50（1+x）=196

2

C． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196 D． 50+50（1+x）+50（1+x）=196

6．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（ ）

2

2

A． 逐渐增大 B． 不变 C． 逐渐减小 D． 先增大后减小

7．2019年12月15日，嫦娥三号着陆器、巡视器顺利完成互拍，把成像从远在地球38万km之外的月球传到地面，标志着我国探月工程二期取得圆满成功，将38万用科学记数法表示应为（ ）

A． 0.38×10 B． 0.38×10 C． 3.8×10 D． 3.8×10

8．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）

6545

A． 1：2 B． 1：4 C． 1：5 D． 1：6

9．已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0， 错误的个数有（ ）

2

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（ ）

A． （2010，2） B． （2019，﹣2 ） C． （0，2） D． （2010，﹣2 ）

二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分） 11．当x≤0时，化简|1﹣x|﹣

12．已知x1、x2是方程x﹣2x﹣3=0的两实数根，则|x1﹣x2|的值为 ．

2

的结果是 ．

13．分解因式：2x﹣2= ．

14．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ．

15．将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 cm．

2

2

16．如果不等式组

17．对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b=

，若2⊕（2x﹣1）=1，则x的值为 ．

的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为 ．

18．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，点E在AB上，且AE：EB=2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF的长是 ．

三、解答题（本题有8小题，共78分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．①化简：

②已知a是一元二次方程x+3x﹣2=0的实数根，求代数

20．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

2

+4cos60°； ÷（a+2﹣

）的值．

21．法航客机失事引起全球高度关注，为调查失事原因，巴西军方派出侦察机和搜救船在失事海域同时沿同一方向配合搜寻飞机残骸，在距海面900米的高空A处，侦察机测得搜救船在俯角为30°的海面C处，当侦察机以100米/分的速度平行海面飞行20分钟到达B处后，测得搜救船在俯角为60°的海面D处，求搜救船搜寻的平均速度．（结果保留一个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

22．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．

23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙O的半径．

24．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了 名同学； （2）条形统计图中，m= ，n= ；

（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度；

（4）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？

25．某市石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题： 价目品种 甲种塑料 乙种塑料 出厂价 2100（元/吨） 2400（元/吨） 成本价 800（元/吨） 1100（元/吨） 排污处理费 200（元/吨） 100（元/吨） 每月还需支付设备管理、 维护费20000元

（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y1元和y2元，分别求y1和y2与x的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；

（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？

26．如图，一次函数y=﹣x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

2

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐

标．

2019年贵州省黔东南州中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（﹣1）的相反数是（ ）

A． 1 B． ﹣1 C． 2009 D． ﹣2009

考点： 有理数的乘方；相反数．

分析： 求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号； ﹣1的奇次幂都是﹣1；﹣1的偶次幂都是1． 解答： 解：∵（﹣1）=﹣1， ∴﹣1的相反数为1． 故选：A．

点评： 本题考查的是相反数的概念以及乘方的性质． 2．函数

中自变量x的取值范围是（ ）

2009

2009

A． x≤2 B． x=3 C． x＜2且x≠3 D． x≤2且x≠3

考点： 函数自变量的取值范围． 专题： 函数思想．

分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

解答： 解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0， 解得：x≤2． 故选：A．

点评： 考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

3．某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A． 中位数 B． 众数 C． 平均数 D． 极差

考点： 统计量的选择． 专题： 应用题．

分析： 由于有13名同学参加百米竞赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小． 解答：解：共有13名学生参加竞赛，取前6名，所以小梅需要知道自己的成绩是否进入前六．

我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数， 所以小梅知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．

故选：A．

点评： 本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）

；④AC=AD?AB．其

2

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 相似三角形的判定．

分析： 由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 解答：解：有三个．

①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；

③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确

④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； 故选：C．

点评： 此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．

5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么满足的方程是（ ）

A． 50（1+x）=196 B． 50+50（1+x）=196

2

C． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196 D． 50+50（1+x）+50（1+x）=196

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 增长率问题．

分析： 根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．

解答： 解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x， ∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）万个，

2

∴50+50（1+x）+50（1+x）=196， 故选D．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．

2

2

2

6．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（ ）

A． 逐渐增大 B． 不变 C． 逐渐减小 D． 先增大后减小

考点： 反比例函数的性质． 专题： 动点型．

分析： ∵△OAB的OA长度已经确定，∴只要知道点B到OA边的距离d就可知道△OAB 的面积变化情况【△OAB 的面积=0A?d】，而点B到OA边的距离d即为点B的纵坐标，∵点B是双曲线

（x＞0）上的一个动点，在（x＞0）第一象限y随x的增大y值越来越小，

即d值越来越小，故△OAB 的面积减小． 解答： 解：设B（x，y）． ∴S△OAB=0A?y；

∵OA是定值，点B是双曲线

（x＞0）上的一个动点，双曲线

（x＞0）在第一象限

内是减函数，

∴当点B的横坐标x逐渐增大时，点B的纵坐标y逐渐减小， ∴S△OAB=0A?y会随着x的增大而逐渐减小． 故选：C．

点评： 本题考查了反比例函数的性质：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．

7．2019年12月15日，嫦娥三号着陆器、巡视器顺利完成互拍，把成像从远在地球38万km之外的月球传到地面，标志着我国探月工程二期取得圆满成功，将38万用科学记数法表示应为（ ）

A． 0.38×10 B． 0.38×10 C． 3.8×10 D． 3.8×10

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： 解：38万=3.8×10， 故选：D．

5

n

6

5

4

5

点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

8．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）

n

A． 1：2 B． 1：4 C． 1：5 D． 1：6

考点： 位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质．

分析： 图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，根据三角形的中位线定理可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4． 解答： 解：∵D、F分别是OA、OC的中点， ∴DF=AC，

∴△DEF与△ABC的相似比是1：2， ∴△DEF与△ABC的面积比是1：4． 故选：B．

点评： 本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方．

9．已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0， 错误的个数有（ ）

2

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 压轴题． 分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＞﹣1，故＜

1，∵a＜0，∴b＞2a，所以2a﹣b＜0，①正确；

②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；

③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确； ④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误； 故错误的有2个． 故选：B．

点评： 此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（ ）

A． （2010，2） B． （2019，﹣2 ） C． （0，2） D． （2010，﹣2 ）

考点： 规律型：点的坐标．

分析： 由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转180°得点P1，即为直线PA与x轴的交点，依此类推，点P2为直线P1B与y轴的交点，由此发现一般规律． 解答： 解：由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，﹣2）． 记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．

根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2）． 令P6（a6，b2），

同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2）， 由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，﹣2）．

故选：D．

点评： 本题考查了旋转变换的规律．关键是根据等腰梯形，点的坐标的特殊性，寻找一般规律．

二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分） 11．当x≤0时，化简|1﹣x|﹣

的结果是 1 ．

考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 压轴题．

分析： 依据绝对值和平方根的性质解题． 解答： 解：∵x≤0， ∴1﹣x＞0 ∴|1﹣x|﹣

=1﹣x﹣|x| =1﹣x﹣（﹣x） =1．

故答案为：1．

点评： 此题考查了绝对值和平方根的性质，要求掌握绝对值和平方根的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中． 绝对值规律总结：

一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0． 二次根式当a≥0时，当a≤0时，

12．已知x1、x2是方程x﹣2x﹣3=0的两实数根，则|x1﹣x2|的值为 4 ．

考点： 解一元二次方程-因式分解法． 分析： 首先将原方程变形为（x﹣3）（x+1）=0，即可解决问题． 解答： 解：∵x﹣2x﹣3=0， ∴（x﹣3）（x+1）=0， ∴x﹣3=0或x+1=0，

解得：x1=3，x2=﹣1， ∴|x1﹣x2|=4， 故答案为：4．

点评： 该题主要考查了运用因式分解法来解一元二次方程的问题；解题的关键是正确运用因式分解法，将所给的方程变形，然后求解．

2

2

规律总结： =a； =﹣a．

13．分解因式：2x﹣2= 2（x+1）（x﹣1） ．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．

解答： 解：2x﹣2=2（x﹣1）=2（x+1）（x﹣1）． 故答案为：2（x+1）（x﹣1）．

点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

14．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 相交 ．

考点： 圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．

分析： 本题可根据方程解出两个半径的值，将两个半径的和或差与圆心距比较，若d＞R+r则两圆相离，若d=R+r则两圆外切，若d=R﹣r则两圆内切，若R﹣r＜d＜R+r则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况．

解答： 解：解方程（x﹣1）（x﹣2）=0，得x1=1，x2=2， ∵2﹣1=1＜2＜2+1=3， 所以两圆相交． 故答案为：相交．

点评： 本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离（d＞R+r）、内含（d＜R﹣r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．

15．将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 4π cm．

2

2

2

2

考点： 扇形面积的计算；旋转的性质． 专题： 压轴题．

分析： 易得整理后阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积． 解答： 解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm， ∴BC=2，AC=2，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°， ∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC=

×（4﹣2）=4πcm．

2

2

2

故答案为：4π．

点评： 本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解．

16．如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为 1 ．

考点： 解一元一次不等式组． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 先用含有a、b的代数式把每个不等式的解集表示出来，然后根据已告知的解集，进行比对，得到两个方程，解方程求出a、b． 解答： 解：由由2x﹣b＜3得：

得：x≥4﹣2a

故原不等式组的解集为：4﹣2a≤又因为0≤x＜1 所以有：4﹣2a=0，

解得：a=2，b=﹣1 于是a+b=1． 故答案为：1．

点评： 本题既考查不等式的解法，又考查学生如何逆用不等式组的解集构造关于a、b的方程，从而求得a、b．

17．对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b=

，若2⊕（2x﹣1）=1，则x的值为

．

考点： 解分式方程． 专题： 新定义．

分析： 先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．

解答： 解：2⊕（2x﹣1）=1可化为

﹣=1，

方程两边都乘以2（2x﹣1）得，2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1）， 解得x=，

检验：当x=时，2（2x﹣1）=2（2×﹣1）=≠0， 所以，x=是原分式方程的解， 即x的值为． 故答案为：．

点评： 本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

18．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，点E在AB上，且AE：EB=2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF的长是 3.8 ．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 首先过点A作AN∥CD，分别交EF，BC于点M，N，易得四边形AMFD与四边形ANCD是平行四边形，则可求得FM=CN=AD=3，BN=2，易证得△AEM∽△ABN，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得EM的长，继而求得答案．

解答： 解：过点A作AN∥CD，分别交EF，BC于点M，N， ∵AD∥BC，EF∥BC， ∴AD∥EF∥BC，

∴四边形AMFD与四边形ANCD是平行四边形， ∴CN=MF=AD=3，

∴BN=BC﹣CN=5﹣3=2， ∵EF∥BC，

∴△AEM∽△ABN， ∴EN：BM=AE：AB， ∵AE：EB=2：3， ∴AE：AB=2：5， ∴EM=BN=0.8， ∴EF=EM+FM=0.8+3=3.8． 故答案为：3.8．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

三、解答题（本题有8小题，共78分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．①化简：

+4cos60°；

②已知a是一元二次方程x+3x﹣2=0的实数根，求代数

2

÷（a+2﹣）的值．

考点： 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 分析： ①直接运用实数的有关运算法则计算、化简，即可解决问题．

②运用方程根的定义，求出a+3a=2；首先将所给的分式化简，然后求值，即可解决问题． 解答： 解：①原式=﹣9+3﹣1+4+2 =﹣1．

②∵a是一元二次方程x+3x﹣2=0的实数根， 2

∴a+3a﹣2=0， 2

∴a+3a=2；

÷（a+2﹣

）

2

2

=

==

=

∵a+3a=2， ∴

2

，

÷（a+2﹣）

=．

点评： 该题主要考查了实数的混合运算、分式的化简求值等代数知识点问题；牢固掌握运算法则等代数基础知识是灵活解决代数问题的关键．

20．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

考点： 作图—应用与设计作图．

分析： 仔细分析题意，寻求问题的解决方案． 到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C． 由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个． 解答： 解：（1）作出线段AB的垂直平分线； （2）作出角的平分线；

它们的交点即为所求作的点C（2个）．

点评： 本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．

21．法航客机失事引起全球高度关注，为调查失事原因，巴西军方派出侦察机和搜救船在失事海域同时沿同一方向配合搜寻飞机残骸，在距海面900米的高空A处，侦察机测得搜救船在俯角为30°的海面C处，当侦察机以100米/分的速度平行海面飞行20分钟到达B处后，测得搜救船在俯角为60°的海面D处，求搜救船搜寻的平均速度．（结果保留一个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析： 首先根据题意作出图形，分析图形，过点C作CE⊥AB，过B作BF⊥CD，根据题意构造直角三角形Rt△ACE与Rt△BDF．利用CE=DF构造方程，进而可解． 解答： 解：由题意得：AB=100×20=2000（米），

过C作CE⊥AB于E，过B作BF⊥CD于F，则CE=BF=900米． ∵CE⊥AB，∠BAC=30°， ∴在Rt△ACE中， tan30°=∴

=

=，

，

∴AE=900，

∴BE=AB﹣AE=2000﹣900∵BF⊥CD，∠BDF=60°， ∴在Rt△BFD中， tan60°=∴

=

=，

，

=1100，

∴DF=300，

∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CE．

∴四边形CEBF为矩形． ∴BE=CF=1100，

∴CD=1100+300=1400，

∴1400÷20=70≈121.2（米/分）． 答：搜救船的平均速度为121.2米/分．

点评： 本题考查了解直角三角形的知识，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

22．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．

考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．

分析： 游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 解答： 解：此游戏不公平． 理由如下：列树状图如下，

列表如下，

由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种． P（小明赢）=

，P（小亮赢）=

．

∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．

（说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可）

点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙O的半径．

考点： 切线的判定；解直角三角形．

分析： （1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可； （2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可． 解答： 解：（1）直线MN与⊙O的位置关系是相切， 理由是：连接OC， ∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA， ∵∠CAB=∠DAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD，

∵AD⊥MN， ∴OC⊥MN， ∵OC为半径， ∴MN是⊙O切线；

（2）∵CD=6，cos∠ACD=∴AC=

=，

=10，由勾股定理得：AD=8，

∵AB是⊙O直径，AD⊥MN， ∴∠ACB=∠ADC=90°， ∵∠DAC=∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴∴

==

， ，

∴AB=12.5，

∴⊙O半径是×12.5=6.25．

点评： 本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

24．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 200 名同学；

（2）条形统计图中，m= 40 ，n= 60 ；

（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度；

（4）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，即可得出总人数；

（2）利用科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n=200×30%=60人，即可得出m的值；

（3）根据艺术类读物所在扇形的圆心角是：

×360°=72°；

（3）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计6000册中其他读物的数量； 解答： 解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，

故本次调查中，一共调查了：70÷35%=200人， 故答案为：200；

（2）根据科普类所占百分比为：30%， 则科普类人数为：n=200×30%=60人， m=200﹣70﹣30﹣60=40人， 故m=40，n=60； 故答案为：40，60；

（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：故答案为：72；

（4）由题意，得

（册）．

×360°=72°，

答：学校购买其他类读物900册比较合理．

点评： 此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．

25．某市石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题： 价目品种 甲种塑料 乙种塑料 出厂价 2100（元/吨） 2400（元/吨） 成本价 800（元/吨） 1100（元/吨） 排污处理费 200（元/吨） 100（元/吨） 每月还需支付设备管理、 维护费20000元

（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y1元和y2元，分别求y1和y2与x的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；

（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？

考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 专题： 图表型．

分析： （1）因为利润=总收入﹣总支出，由表格可知，y1=（2100﹣800﹣200）x=1100x，y2=（2400﹣1100﹣100）x﹣20000=1200x﹣20000；

（2）可设该月生产甲种塑料x吨，则乙种塑料（700﹣x）吨，总利润为W元，建立W与x之间的解析式，又因甲、乙两种塑料均不超过400吨，所以x≤400，700﹣x≤400，这样就可求出x的取值范围，然后再根据函数中y随x的变化规律即可解决问题．

解答： 解：（1）依题意得：y1=（2100﹣800﹣200）x=1100x， y2=（2400﹣1100﹣100）x﹣20000=1200x﹣20000，

（2）设该月生产甲种塑料x吨，则乙种塑料（700﹣x）吨，总利润为W元，依题意得： W=1100x+1200（700﹣x）﹣20000=﹣100x+820000． ∵

解得：300≤x≤400．

∵﹣100＜0，

∴W随着x的增大而减小，

∴当x=300时，W最大=790000（元）． 此时，700﹣x=400（吨）．

因此，生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大，最大利润为790000元． 点评： 本题需仔细分析表格中的数据，建立函数解析式，值得一提的是利用不等式组求自变量的取值范围，然后再利用函数的变化规律求最值这种方法．

26．如图，一次函数y=﹣x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

2

考点： 二次函数综合题．

分析：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；

（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标． 解答： 解：（1）∵y=﹣

+2分别交y轴、x轴于A、B两点，

∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）， 将x=0，y=2代入y=﹣x+bx+c得c=2，

将x=4，y=0代入y=﹣x+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=， ∴抛物线解析式为：y=﹣x+x+2；

（2）如图1，设MN交x轴于点E，

222

则E（t，0），BE=4﹣t． ∵tan∠ABO=

==，

∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t． 又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t+t+2， ∴MN=yN﹣ME=﹣t+t+2﹣（2﹣t）=﹣t+4t

∴当t=2时，MN有最大值4；

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形， 如图2所示．

2

22

（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a） 由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2 从而D为（0，6）或D（0，﹣2），

（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点， 易得D1N的方程为y=﹣x+6，D2M的方程为y=x﹣2，

由两方程联立解得D为（4，4） 故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．

点评： 本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时一定要细心．

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