中考压轴题：动点问题

中考数学中的动点问题

动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态

问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量

X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，

把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

动点问题最突出的特点为条件中的主要元素--点是运动的.这类题目形式多样,要求学生运用数形

结合的思想,通过观察、猜想、推理、计算等一系列数学探索活动,用方程或函数的观点描述这些变化,

进而寻求解题思路.

这部分压轴题的主要特征是先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点。

简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式。

复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数型结合的思想，求得点的坐标，进而用待定系数法求函数的解析式。

还有一种常见题型，解析式中有待定字母，这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解，或者根据题意列出方程组求解。

1

一、因动点产生的相似三角形问题 （2008济南市）24．（本小题满分9分）

已知：抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)，顶点C (1，?3)，与x轴交于A、B两点，A(?1，0)．

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断请求出此定值；若不是，请说明理由．

（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边．AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断

PAPB?EFEGPMBE?PNAD是否为定值? 若是，

是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

y E M A D O P N B x C 第24题图

（2008年绍兴市）24．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动

23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示OP，OQ；

（2）当t?1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；

（3）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．

C Q O P 图1

（第24题图） A x y D B C E Q O 图2 P A x y B 2

（2008年苏州市）29．(本题9分)如图，抛物线y?a(x?1)(x?5)与x轴的交点为M、N．直线y?kx?b与x轴

交于P(－2，0)．与y轴交于C，若A、B两点在直线y?kx?b上．且AO=BO=2， AO⊥BO．D为线段MN的中点。OH为Rt△OPC斜边上的高． (1)OH的长度等于 ；k= ，b= ．

(2)是否存在实数a，使得抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点F．满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式．同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)．并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG?102，写出探索过程

（2009年卢湾区二模）24．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）

在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y?2x2沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x?3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C． （1）求△ABC面积；

（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．

3

y 54321-5-4-3-2-10 12345-1-2-3-424题图-5 x （2009年南汇区二模）25．（本题满分14分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分8分）如图所示，抛物线y??x??3m?(m>0)的顶点为A，直线l：y?233x?m与y轴交点为B.

（1）写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；

（3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与⊿OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

yl: y=AOB33x - mxy= -?x-3m?2第25题图

4

二、因动点产生的等腰三角形问题 （2008年温州）24．（本题14分）

如图，在Rt△ABC中，?A?90?，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

（2009年上海市）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）

在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，．点B4)，直线CM∥x轴（如图7所示）0)，点C的坐标为(0，与点A关于原点对称，直线y?x?b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

5

A D P B R E C

H Q

（第24题图）

y 4 C 3 2 B 1 A 1 图7 D y?x?b

M ?1 O x

（2009年黄埔区二模）25.（本题满分14分）如图，在?ABC中，AB?AC?5,BC?6，D、E分别是边AB、

AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.

（1）试求?ABC的面积；

（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

（3）设AD?x，?ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关 系式，并写出定义域；

（4）当?BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.

（2009年静安区二模）25．(本题满分14分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分3分）

已知：⊙O的直径AB=8，⊙B与⊙O相交于点C、D，⊙O的直径CF与⊙B相交于点E，设⊙B的半径为x，OE的长为y，

（1） 如图7，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，

并写出定义域；

（2） 当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的

长；

（3） 设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如

果能够，请直接写出BC 的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由．

6

A D E G B F C

C E A O B 图7 F D （2009年宝山区二模）24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）

2 在直角坐标系中，把点A（－1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点A?，经过点A、A?的抛物线y?ax?bx?c与y轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标为（1，m)，且m?3，若△ABP是等腰三角形，求点B的坐标。

O x

y 图7

7

三、因动点产生的直角三角形问题 （2009年嘉兴市）24．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1．以A为中心顺时针旋

转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x． （1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

M A B （第24题）

N C

（2008年天津市）25．（本小题10分）

已知Rt△ABC中，?ACB?90?，CA?CB，有一个圆心角为45?，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在?ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN思路点拨：考虑MN22?AM2?BN2；

?AM2?BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CEC 对折，得△DCM，连DN，只需证DN?BN，?MDN?90?就可以了．

请你完成证明过程：

（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN不成立，请说明理由．

8

2A

E M N F 图①

B

?AM2?BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若

C E M

A N F 图②

B

（2008年河南省）23．（12分）如图，直线y??（1）试说明△ABC是等腰三角形；

43 x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

① 求S与t的函数关系式；

② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

yCA

OBx

9

四、因动点产生的平行四边形问题 (黄冈市)

OC∥AB，20．（本题满分14分）已知：如图，在直角梯形COAB中，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，10)，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒． （1）求直线BC的解析式；

（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的

27？

（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关

系式，并指出自变量t的取值范围；

（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．

（义乌市）

23. (本题10分) 如图1，已知双曲线y=

kxB y D y D B C C O P A x O A （此题备用）

x (k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试解答下

列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为 ；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=

kx(k>0)于P，Q两点，点P在第一象限.

①说明四边形APBQ一定是平行囚边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是短形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.

10

（2008年青岛市）24．（本小题满分12分）

已知：如图①，在Rt△ACB中，?C?90?，AC?4cm，BC?3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0?t?2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP?C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP?C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

（2009年崇明）24、（本题满分12分）如图，抛物线y?ax2?bx?3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，

tan?OCA?13B B P P A Q 图①

C A Q C

图② P?

，S?ABC?6．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计

y 算过程）．

B O A x C 11

y 为原点， （2009年普陀区）25．如图，在平面直角坐标系xOy中，O点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，33）. 将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落 到点B的位置，抛物线y?ax2?23x经过 点A，点D是该抛物线的顶点.

（1）求证：四边形ABCO是平行四边形； （2）求a的值并说明点B在抛物线上；

（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB， 求点P的坐标；

(4) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作

平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴 上，写出点P的坐标.

（2009年青浦区）24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y?kx?b分别与x轴负半轴交于点A， 与y轴的正半轴交于点B，⊙P经过点A、点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB=10，AP?（1）求点P到直线AB的距离； （2）求直线y?kx?b的解析式；

（3）在⊙P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，

y 请说明理由．

B

A P O x 254C B O D A x 第25题

.

12

（2009年徐汇区）24．（本题满分12分）

如图，抛物线y?ax2?bx?c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A(1,0)、B（4，，?OCA??OBC． 0）（1）求抛物线的解析式； （3分）

（2）在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的

坐标； （3分） （3）如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标． （6分）

（2009年江西省）24．如图，抛物线y??x2?2x?3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.

（第24题） A O B x C O A B x C y y D 13

五、因动点产生的梯形问题 （2008年成都市）28. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=

55.

（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；

（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S?QMN，△QNR的面积S?QNR，求

S?QMN∶S?QNR的值.

（2008年常州市）如图,抛物线y?x2?4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.

(1) 求点A的坐标;

(2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶

点P的坐标;

(3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4?62?S?6?82时,求x的取

值范围.

14

-4-3-2-1ly543210-1-2-3-4123x(第28题）（2009年河北省）26．（本小题满分12分）

如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．

A Q D P C E B 图16

15

六、因动点产生的面积问题 【08武汉中考】25.（本题 12分）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1,0），C（3,2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将 四 边 形ABCD面积二等分，求k的值；（3）如图2，过点 E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与 点 A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标.

（2008年河北省）26．(08河北)（本小题满分12分）

如图15，在Rt△ABC中，?C?90?，AB?50，AC?30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE?EF?FC?CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK?AB，交折线BC?CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t?0）． （1）D，F两点间的距离是 ；

（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由； （3）当点P运动到折线EF?FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值； （4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值． ．．

16

C D A F P E 图15

K G Q B （2009年奉贤二模）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴正半轴上，边CO在y轴的正半轴上，且

AB?2，OB?23，矩形ABOC绕点O逆时针旋转后得到矩形EFOD，且点A落在y轴上的E点，点B的对

应点为点F，点C的对应点为点D. (1)求F、E、D三点的坐标；

（2）若抛物线y?ax2?bx?c经过点F、E、D，求此抛物线的解析式；

（3）在x轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得三角形QOB的面积等于矩形ABOC的面积？

17

七、因动点产生的相切问题 （2009年奉贤二模）25．(本题满分14分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分) 已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30o，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N． （1）求证：△BDM∽△CEN；

（2）当点M、N分别在边BA、CA上时,设BD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解

析式，并写出定义域．

（3）是否存在点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说

明理由．

B D

第25题

E

C

A N

M

F

（2009年卢湾区二模）25．（本题满分14分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分） 在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，cos?B?EF⊥BC交AC边于点F．

（1）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切？

（2）过点F作FP⊥AC，与线段DE交于点G，设BD长为x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其

定义域．

18

13，D为AB上一点，过点D作DE⊥AB交BC边于点E，过点E作

AFDBEC25题图

（2009年闵行区二模）25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分，满分14分）

如图，已知在正方形ABCD中，AB = 2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作PF⊥AP，与∠DCE 的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG．

（1）求证：AP = FP；

（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试判断⊙P与⊙G两圆的位置关系，并说明理由； （3）当BP取何值时，PG // CF．

（2009年浦东新区二模）25．（本题满分14分）

如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．

（3）如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，求BP∶PD的值．

C

A D G

F

B P C

（第25题图）

E

A M B P D N

19

（2009年徐汇区二模）25．（本题满分14分）

如图，?ABC中，AB?AC?10，BC?12，点D在边BC上，且BD?4，以

点D为顶点作?EDF??B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F． （1）当AE?6时，求AF的长； （3分）

（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，

求BE的长； （5分） （3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长． （6分）

（2009年杨浦区二模）25．（本题14分）（第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 如图，梯形ABCD中，AD//BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=

35A E

F

A

B

D

C B

D （备用图）

C

．点O为BC边上的动点，联结OD，以O

为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，联结MN．

（1） 当BO=AD时，求BP的长；

（2） 点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；

（3） 在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关

系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。

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A P D

A

D

M O

N C

B

（备用图）

B

C

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