2016年高考浙大附中全真模拟卷文科数学

- 1 - 浙大附中2016年高考全真模拟试卷

数学（文科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟.

参考公式：

柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13

V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高

台体的体积公式121()3

V h S S = 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积 球的表面积公式24S

R π= 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式343

V R π= 其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上）

1．设?

?????

∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ?，则实数a 的取值范围是 （A ） 1<a （B ）1≤a （C ）21<a （D ） 2

1≤a 2. 已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是 （A ） 1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b > （D ）22a b

> 3. 已知sin cos (0,)3

αααπ+=∈，则sin()12πα+的值为

（A ）

6

（B

）6

（C ）16+

（D ）16

- 4．已知数列}{n a 中满足151=a ，21=-+n a a n n ，则n

a n 的最小值为 （A ） 10 （B ）1152- （C ）9 （D ）

427 5．若实数a ，b ，c 满足log 2log 2log 2a b c <<，则下列关系中不可能成立．．．．．

的是 （A ） a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）a c b <<

- 2 - 6．若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则

（A ）过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行

（B ）过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直

（C ）过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交

（D ）过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面

7．如图，21,F F 分别是双曲线C ：()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，经过右焦点2F 的直线与双曲线C 的右支交于Q P ,两点，且Q F PF 222=，Q F PQ 1⊥，则双曲线C 的

离心率是

（A ） 2 （B ）3 （C ）210 （D ）3

17 8．已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60?角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点．若球O 的体积为36π，则O ，P 两点间的距离为

（A

）（B

）（C ）3 （D ）6

非选择题部分（共110分）

二、填空题（本题共7道小题， 共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）

9. 已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列

的公比=q ▲ ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ▲ ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ▲ ．

10.若实数,x y 满足：2202403110x y x y x y -+≤??+-≥??-+≥?

，则x ,y 所表示的区域的

面积为 ▲ ，若x ,y 同时满足(1)(2)0

t xt y t ++++=，则实数t 的取值范围为 ▲ ．

11.已知某几何体的三视图如右图所示（长度单位为：cm ），则

该几何体的体积为 ▲ 3cm ，表面积为 ▲ 2cm . 12. 已知直线l 的方程是60x y +-=，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形（O 为

坐标原点），则△OAB 外接圆的方程是 ▲ ．

第7题（第7题图） (第11题图)

- 3 - 13. 在ABC ?中，1cos 3

A =,2A

B =，则CA CB 的最小值是 ▲ ． 14. 若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ▲ ．

15.设函数2()f x x =(01)x ≤≤，记(,)H a b 为函数()f x 图象上点到直线y ax b =+距离的

最大值，则(,)H a b 的最小值是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. （本题15分）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

c o s c o s C A =. （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若角π6

B =

，BC

边上的中线AM =ABC ?的面积.

17. （本题15分）已知数列{}n a 首项为2，且对任意*n N ∈，都有 1223111

111n n n n a a a a a a a a +++++= ,数列{}n a 的前10项和为110． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列；

（Ⅱ）若存在*

n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值．

- 4 -

18. （本题15分）如图所示，在三棱锥ABC P -

中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =

，PD =．

（Ⅰ）证明：BC PB ⊥

（Ⅱ）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．

19.（本题15分）已知O 为坐标原点，F 是抛物线2:4E y x =的焦点.

（Ⅰ）过F 作直线l 交抛物线E 于,P Q 两点，求 OP OQ ?

的值；

（Ⅱ）过点(,0)T t 作两条互相垂直的直线分别交抛物线E 于,,,A B C D 四点，且,M N 分别为线段,AB CD 的中点，求TMN ?的面积最小值．

20.（本题14分）已知函数()b kx x x f +++=

2

1

，其中b k ,为实数且0≠k （Ⅰ）当0>k 时，根据定义证明()x f 在()2,-∞-单调递增； （Ⅱ）求集合=k M {b | 函数)(x f 由三个不同的零点}.

数学（文科）答案

一、AAAD,ABDB

（第18题图）

P

A

C

D

- 5 - 二、9、52，3n-2，(31)2n n -； 10、52，42,3-??-???

?； 11、16，

； 12、2(2)x -+2(2)y -=8； 13、19

-； 14、5； 15

。

16.解析：（1

）因为(2)cos cos b A C ，

由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C ， ……………2分

即2sin cos cos cos B A A C C A

()A C =+ ． ……………4分 因为B A C π＝－－，所以()sinB sin A C =+，

所以2sin cos B A B ．

因为0()B π∈，，所以0sinB ≠，

所以cos A ，因为0A π<<，所以6A π=． ……………7分 （2）由（1）知π6

A B ==，所以AC BC =，23C π=． …………….8分 设AC x =，则12

MC x =，又

AM = 在AMC 中，由余弦定理

得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-?=

即222()2cos120,22

x x x x +-??=o 解得 2.?x ＝ 2

故212sin 23ABC S x π?== 17．解：（Ⅰ）当2n ≥时，1223111111n n n n a a a a a a a a --+++= 111111n n n n n n a a a a a a ++-∴=- 即111122n n n n

n n a a a a ++-=-12(1)n n na n a +∴=--122(1)n n n a na ++=+- ， 122n n n na na na ++∴=+即*122(2,)n n n a a a n n N ++=+≥∈且 ，

当1n =代入已知条件得122313

112a a a a a a +=即2132a a a =+ *122()n n n a a a n N ++∴=+∈∴数列{}n a 为等差数列．

（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，则

2d ∴=1(1)2n a a n d n ∴=+-?=21

n n λ∴≥+ ， 令21n n C n =+则21222(1)

2112112221

n n n C n n n n C n n n n

n +++++===+>+++，

- 6 - min ()11n C λ∴=∴≥．

18．证明：（Ⅰ）因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面 ABC AC =， PD ?平面PAC ，AC PD ⊥，

所以PD ⊥平面ABC ．

记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥．

因为AB BC ==4=AC

，所以

BE ===

连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠

=o ，BE ，1DE =

，

所以

BD === 在△BCD 中，因为3

CD =，BC

，BD =，

所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．

因为PD ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，

所以BC PD ⊥．

因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．

因为PB ?平面PBD ，所以BC PB ⊥． （Ⅱ）过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，

则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．

由（Ⅰ）知，△ABC 的面积12ABC S AC BE ?=

??= 因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -?=??133

=?=． 由（Ⅰ）知PBC ?为直角三角形，BC =PB =

所以△PBC 的面积11322

PBC S BC PB ?=??=． 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，

即1

33AH ??=AH =． 在Rt △PAD 中，因为PD =，1AD =，

所以2AP ===．

B P

A C

D E

- 7 -

因为3sin 2AH APH AP ∠===． 所以直线AP 与平面PBC

19.解：（Ⅰ）设直线l 的方程为:1l x ty =+，

1122(,),(,)P x y Q x y ， 由214x ty y x

=+??=?2440y ty ?--= ∴124y y =-，121x x =

∴12123OP OQ x x y y ?=+=- 12123x x y y =+=-．

（Ⅱ）根据题意，直线,AB CD 斜率存在， 故设1:,:AB x my t CD x y t m

=+=-+，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ， 由24x my t y x =+??

=?2440y my t ?--=， ∴212122222

y y x x m m t ++=?=+，得2(2,2)M m t m +， 同理可得222(,)N t m m

+-

∴2TM =

=，

TN ==∴112()42TMN S TM TN m m

?==+≥ 当且仅当1m =时，面积取最小值4．

20. 解：（1）证明：当(,2)x ∈-∞-时，b kx x x f ++-=＋2

1)(．……1分 任取12,(,2)x x ∈-∞-，设21x x >．

???

? ??+++--???? ??+++-=-b kx x b kx x x f x f 2211212121)()(

- 8 - 12121()(2)(2)x x k x x ??=-+??++??

．

由所设得021<-x x ，0)

2)(2(121>++x x ，又0>k ， ∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <．

∴()f x 在)2,(--∞单调递增．

（2）解法一：函数)(x f 有三个不同零点，即方程02

1=+b kx x ＋＋有三个不同的实根． 方程化为：???=++++->0)12()2( 22b x k b kx x 与?

??=-+++-<0)12()2( 22b x k b kx x ． 记2()(2)(21)u x kx b k x b =++++，2()(2)(21)v x kx b k x b =+++-．

⑴当0>k 时，)(),(x v x u 开口均向上．

由01)2(<-=-v 知)(x v 在)2,(--∞有唯一零点．

为满足)(x f 有三个零点，)(x u 在),2(+∞-应有两个不同零点． ∴???

????->+->+-+>- 2220)12(4)2( 0)2(2k k b b k k b u k k b 22-<?．

⑵当0<k 时，)(),(x v x u 开口均向下．

由01)2(>=-u 知)(x u 在),2(+∞-有唯一零点．为满足)(x f 有三个零点，

)(x v 在)2,(--∞应有两个不同零点． ∴???

????-<+->--+<- 2220)12(4)2( 0)2(2k k b b k k b v k k b --<?22．

综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-．

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