八年级数学相似三角形练习题及答案

1、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ DAB＝∠ ACB＝90°，过点D作DE ⊥ AC，垂足为F，DE与AB相交于点E. （1）求证：AB·AF＝CB·CD

（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP

2

的面积为ycm.

①求y关于x的函数关系式；

②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.

5、（08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．

(1)填空：如图9，；四边形ABCD是. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图10，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10

的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

图

9

.

C 图10

6

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

（第21题）

1、（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC

∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.

∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B ∴△DCF∽△ABC

∴

CDCFCDAF

，即.∴AB·AF＝CB·CD

ABCBABCB

＝12，∴CF＝AF＝6

（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°， ∴AC

∴y

1

(x 9)×6＝3x＋27（x＞0） 2

②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.

显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB. 由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.

EF∥BC，得AE＝BE＝

1159

AB＝，EF＝. 222

∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.

Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8. ∴DE＝DF＋FE＝8＋∴当x＝

925＝. 22

12925

时，△PBC的周长最小，此时y＝

22

2、证明：（1） 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形

AD CD,DE DG, ADC EDG 90 ,

ADE CDG, △ADE≌△CDG，

AE CG

（2）由（1）得 ADE CDG, DAE DCG,又 ANM CND，

ANMN

AN DN CN MNCNDN∴ AMN∽ CDN

3、解:(1) ABE∽ DAE, ABE∽ DCA

∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴ ABE∽ DCA (2)∵ ABE∽ DCA

∴

BEBA

CACD

由依题意可知CA=BA=2

∴

m2

2 n

∴m=

2 n

自变量n的取值范围为1<n<2. (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n ∵m=

2 n

∴m=n= ∵OB=OC=

1

BC=1 2

∴OE=OD=2－1 ∴D(1－2, 0)

∴BD=OB－OD=1-(2－1)=2－2=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－2)=22－2 ∵BD2＋CE2=2 BD2=2(2－2)2=12－8, DE2=(22－2)2= 12－82 ∴BD2＋CE2=DE2

(4)成立

证明:如图,将 ACE绕点A顺时针旋转90°至 ABH的位置,则CE=HB,AE=AH, ∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.

连接HD,在 EAD和

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD. ∴ EAD≌ HAD ∴DH=DE

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°

∴BD2+HB2=DH2 即BD2＋CE2=DE2

4、解：⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB.

⑵∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥＝CD，

∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∵DE

1

CD, 2

2

2

S1S DEF DE 1 DE

∴ DEF ,,

S CEB EC 9S ABF AB 4

∵S DEF 2,

∴S CEB 18,S ABF 8,

∴S四边形BCDF S BCE S DEF 16,

∴S四边形ABCD S四边形BCDF S ABF 16 8 24 5、解：（1）1分

等腰；…………………………2分

（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）

①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对) ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分

∵ AF＝t，AB＝8， ∴ FB＝8－t，BK

1

(8 t). 2

1(8 t)tan30 t). ……………7分 2在Rt△BPK

中，PK BK tan 2

∴ △FBP

的面积S

11 FB PK (8 t) t)， 22∴ S与t之间的函数关系式为：

S

24(t

8)2，或S t …………………………………8分 12123t的取值范围为：0 t 8. …………………………………………………………9分

6、解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所

以BQ=BP.又因为∠B=60,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin60=t,由AP=t,得PB=6-t,

所以S△BPQ=

3211

×BP×QE=(6-t)×3t=－t+33t；

222

(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60，∠RQC=∠B=60，又因为∠C=60, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos60=

1

×2t=t, 2

所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=90,所以∠APR=∠PRQ=90.因为△APR～△PRQ,

所以∠QPR=∠A=60,所以tan60=

00

6 2tQR6,即 ,所以t=, PR5t

所以当t=

6

时, △APR～△PRQ 5

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