52方案设计与决策型问题

方案设计与决策型问题

一、选择题

1、（山东省德州二模）今年是祖国母亲60岁生日，小明、小敏、小新商量要在国庆前夕给祖国母亲献礼，决定画5幅国画表达大伙的爱国之情。小明说：“我来出一道数学题：把剪5幅国画的任务分配给3个人，每人至少1幅，有多少种分配方法?”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是( ) A．7个 B．6个 C．5个 D．3个 答案：B

2、（2012山东省德州三模）现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种

不同的地砖作镶嵌 (两种地砖的不同拼法视为同一种组合), 则不同组合方案共有（ ）

A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 答案：B

3、（山东省德州二模）今年是祖国母亲60岁生日，小明、小敏、小新商量要在国庆前夕给祖国母亲献礼，决定画5幅国画表达大伙的爱国之情。小明说：“我来出一道数学题：把剪5幅国画的任务分配给3个人，每人至少1幅，有多少种分配方法?”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是( ) A．7个 B．6个 C．5个 D．3个 答案：B

4、（2012山东省德州三模）现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种

不同的地砖作镶嵌 (两种地砖的不同拼法视为同一种组合), 则不同组合方案共有（ ）

A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 答案：B

二、解答题

1、（2012山东省德州三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB?BC，且BC?AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条．．线为三角 形的“等分积周线”． 尝试解决： （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这

条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

A A

1 B C B C

（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB

于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．

（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5

cm，AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法． 答案：解：(1) 作线段AC的中垂线BD即可.??????????????????2分

(2) 小华不会成功．

A若直线CD平分△ABC的面积

那么S?ADC?S?DBC ∴

DBE11AD?CE?BD?CE 22

∴ BD?AD?????????????????????????4分 ∵ AC?BC

∴ AD?AC?BD?BC

∴ 小华不会成功．????????????????????????5分

（3）① 若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．????????6分

A ② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：

（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示 FG 过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G H易求，BG=4，AG=CG=3

E设CF=x，则CE=8-x BC4由△CEH∽△CBG，可得EH=(8?x)

514根据面积相等，可得?x?(8?x)?6???????????7分

25∴ x?3（舍去，即为①）或x?5

C∴ CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．???????????8分 （b）直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示

由 (a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．

（仿照上面给分）

A(c) 直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示

过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X M由面积法可得， AY=设BP=x，则BQ=8-x

24 5NBC 2

24x 25A124x?(8?x)?6???????????????根据面积相等，可得?225由相似，可得PX=

11分

∴ x?P8?148?14 ?5（舍去）或x?22B8?148?14时，BQ=?5，舍去． 22XQYC而当BP?∴ 此种情况不存在．?????????????????12分

综上所述，符合条件的直线共有三条．

（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）

2、（2012山东省德州三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB?BC，且BC?AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条．．线为三角 形的“等分积周线”． 尝试解决： （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这

条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

A A

B C B C

图 1 图 2

（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB

于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．

（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB＝BC＝5

cm，AC＝6 cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法． 答案：解：(1) 作线段AC的中垂线BD即可.??????????????????2分

(2) 小华不会成功．

A若直线CD平分△ABC的面积

那么S?ADC?S?DBC ∴

DB3

E11AD?CE?BD?CE 22C

∴ BD?AD?????????????????????????4分 ∵ AC?BC

∴ AD?AC?BD?BC

∴ 小华不会成功．????????????????????????5分

（3）① 若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段．????????6分

A ② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：

（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图所示 FG 过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G H易求，BG=4，AG=CG=3

E设CF=x，则CE=8-x B4由△CEH∽△CBG，可得EH=(8?x)

514根据面积相等，可得?x?(8?x)?6???????????7分

25∴ x?3（舍去，即为①）或x?5

C∴ CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．???????????8分 （b）直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示

由 (a)可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．

（仿照上面给分）

A(c) 直线与AB、BC分别交于P、Q，如图所示

过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X M由面积法可得， AY=设BP=x，则BQ=8-x 由相似，可得PX=

24 5NBC24x 25A124x?(8?x)?6???????????????根据面积相等，可得?22511分

∴ x?P8?148?14?5（舍去）或x? 22B8?148?14?5，舍去． 时，BQ=

22XQYC而当BP?∴ 此种情况不存在．?????????????????12分

综上所述，符合条件的直线共有三条．

（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）

4、(2012温州市泰顺九校模拟)(本题l2分) 为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B

两类薄弱学校全部进行改造，根据预算，共需资金1575万元，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元. （1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zze7.html