第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷解析（解析版）

一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是( ) A．光的双缝干涉实验 B．黑体辐射 C．光电效应 D．康普顿效应 【参考答案】BCD

2．系统l和系统2质量相等，比热容分别为C1和C2，两系统接触后达到共同温度T；整个过程中与外界(两系统之外)无热交换。两系统初始温度T1和T2的关系为( ) A．T1=(T－T2) －T B．T1=(T－T2) －T C．T1=(T－T2) +T D．T1=(T－T2) +T 【参考答案】D

【名师解析】物体1的放热=物体2的吸热，建立方程：C1m(T1－T)=C2m(T－T2)，解得T1=(T－T2) +T ，选项D正确。学*科网

3．假设原子核可视为均匀球体。质量数为A的中重原子核的半径R可近似地用公式R=R0A表示，其中R0为一常量。对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是( ) A．质量密度是基本相同的 B．电荷密度是基本相同的 C．表面积是基本相同的 D．体积是基本相同的 【参考答案】ACD

【名师解析】核子数相同的原子核，其质量数相同，由题知原子核的半径相同，原子核体积相同，由此可知，质量数相同→质量基本相同→质量密度基本相同，选项A正确；核子数相同的原子核。电荷数不一定相同，体积相同，电荷密度是不一定相同，选项B错误；原子核的半径相同，原子核体积相同，原子核的表面积是基本相同的，选项CD正确。

4．一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)对地球的张角能覆盖赤道上空东经θ0－Δθ到东经θ0+Δθ之间的区域。已知地球半径为R0，地球表面处的重力加速度大小为g，地球自转周期为T 。 Δθ的值等于( )

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1/3

C2

C1C1C2C2C1

C1C2

C2C1

4πR01/34πR01/3

A．arcsin( 2 ) B．2 arcsin( 2 )

22

TgTg4πR01/34πR01/3

C．arccos ( 2 ) D．2arccos ( 2 )

22

TgTg【参考答案】C

5．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断，且光强都相同，总的光强为I，脉冲宽度(发光持续时间)为τ，光脉冲的光强I随时间t的变化如图所示。该光脉冲正入射到一长为L的透明玻璃棒，不考虑光在玻璃棒中的传输损失和端面的反射损失。在通过玻璃棒后光脉冲的光强I随时间t的变化最可能的图示是(虚线部分为入射前的总光强随时间变化示意图)( )

【参考答案】BCD

【名师解析】因为能量是没有损失的，所以通过玻璃棒后光脉冲的光强(图中实线总面积)应该与原来的光

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强(虚线面积)相同。又因为是三种不同波长的光，所以在同种介质中传播的速度都不相同，所以到达玻璃棒右端点的时间都不同，所以正确选项为D。学科@网

二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．

6．(10分)如图，一个球冠形光滑凹槽深度h=0.050m，球半径为20m．现将一质量为0.10kg的小球放在凹槽边缘从静止释放。重力加速度大小为9.8m/s．小球由凹槽最高点滑到最低点所用时间为__________s．

【参考答案】2.22s

7．(10分)先用波长为λ1的单色可见光照射杨氏双缝干涉实验装置；再加上波长为λ2(λ2>λ1)的单色可见光照射同一个杨氏双缝干涉实验装置。观察到波长为λ1的光的干涉条纹的l、2级亮纹之间原本是暗纹的位置出现了波长为λ2的光的干涉条纹的1级亮纹，则两种光的波长之比λ2：λ1=__________________。

【参考答案】3：2 【名师解析】

两束光到达I位置的光程差记为d；根据光的干涉产生明亮条纹的知识可知，对于波长为λ1的单色光而言，

d= λ1 ；对于波长为λ2的单色光而言，d=λ2，故λ2：λ1=3：2

8．(10分)某一导体通过反复接触某块金属板来充电。该金属板初始电荷量为6μC，每次金属板与导体脱离接触后，金属板又被充满6μC的电荷量。已知导体第一次与金属板接触后，导体上带的电荷量为2μC；经过无穷次接触，导体上所带的电荷量最终为______________。

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32

【参考答案】3μC

9．(10分)如图，一焦距为20cm的薄透镜位于x=0平面上，光心位于坐标原点0，光轴与x轴重合。在z=0平面内的一束平行光入射到该透镜上，入射方向与光轴的夹角为30°．该光束通过透镜后汇聚点的位置坐标为_________________。

[来源:Zxxk.Com]

20

【参考答案】(20, －3 )

3

【名师解析】过焦点F平行于透镜，作一焦平面。延长过光心的光线为副光轴。把过原点O(薄透镜光心)20

的光线延长后交焦平面于P，则该束平行光汇聚于P点。故位置坐标为(20, －3 ).

3

10．(10分)一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧连接，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动，弹簧的伸缩方向与小球的振动方向一致。在一沿此弹簧长度方向以速度u做匀速直线运动的参考系里观察，此弹簧和小球构成的系统的机械能___________(填“守恒”或“不守恒”)，理由是__________________________________________________________________________。

【参考答案】不守恒 墙壁对弹簧有作用力(外力)，且在运动参考系中，该力的作用点有位移，所做的功不为零。

【名师解析】在一沿此弹簧长度方向以速度u做匀速直线运动的参考系里观察，此弹簧和小球构成的系统的机械能不守恒..。理由是：墙壁对弹簧有作用力(外力)，且在运动参考系中，该力的作用点有位移，所做的功不为零。

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三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．

11．(20分)某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿泉水的实验，如图所示。A、

B、C为三根相同的火柴棍，火柴棍长为l，细实线为棉线，棉线的直径为d(d<

桌面内，另一半在桌面外，火柴棍A与桌面上表面的边沿垂直；桌面厚度为h；O是火柴棍A的中点与桌面边沿的接触点；棉线紧贴桌沿绕过A，压在水平火柴棍C的两端；火柴棍B的一端顶在火柴棍A的球状头部(可近似忽略球状头部的尺度)，另一端顶在火柴棍C的中点。这样的结构可以稳定地悬挂起一瓶或多瓶矿泉水。

(1)如果没有火柴棍B和C，光靠A是否可能悬挂起一瓶矿泉水?为什么?

(2)加上火柴棍B和C、小心挂上重物时，火柴棍A会在过A的竖直平面内绕O点有一个角位移，通过火柴棍B的带动，压在火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适，可使整个系统达到稳定平衡。求平衡时该角度的大小。

已知火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够粗糙(即可以没有滑动)，而且它们的质量与重物相比均可忽略。

【名师解析】

(1)不能。从力的平衡看，单一的A无所提供向上的力与一瓶矿泉水的重力平衡。

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12．(20分)如图，一边长为L的正方形铜线框abcd可绕水平轴ab自由转动，一竖直向上的外力F作用在

cd边的中点，整个线框置于方向竖直向上的均匀磁场中，磁感应强度大小随时间变化。已知该方形线框铜

线的电导率(即电阻率的倒数)为σ，铜线的半径为r0，质量密度为ρ，重力加速度大小为g． (1)当框平面与水平面abef的夹角为θ时，求该方形线框所受到的重力矩。

(2)当框平面与水平面abef的夹角为θ时，框平面恰好处于平衡状态。求此时线框中cd边所受到的磁场B的作用力的大小与外力的大小F之间的关系式。

(3)随着磁感应强度大小随时间的变化，可按照(2)中的关系式随时调整外力F的大小以保持框平面与水平

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面abef的夹角总为θ．在保持夹角θ不变的情形下，已知在某一时刻外力为零时，磁感应强度大小为B；ΔB求此时磁感应强度随时间的变化率│ │．

Δt

【名师解析】

(1)该方形线框的质量：m=ρV=ρS4L=4Lρπr0

2

方形线框的重力相对于AB边的力矩为：Mg=mg cosθ=2Lρgπr0 cosθ 2

L22

ΔφΔB22

(3)磁通量 φ(θ)=LBcosθ 感应电动势ε= =Lcosθ││

ΔtΔt方形线框的电阻R，由电阻定律有R=ρ =ΔBcosθ││

Δtl4LεL2

= σπr0 2 该方形线框上的感应电流为i=

Sσπr0R4

cd边所受到的安培力的大小为 FA=iBL=σπr02Bcosθ│4

L2

ΔB│ ΔtΔB8ρg因为要外力F等于零，所以是第(2)小题中的第1种情况 ││=

ΔtBLσsinθ

13．(20分)横截面积为S和2S的两圆柱形容器按图示方式连接成一气缸，每个圆筒中各置有一活塞，两活塞间的距离为l，用硬杆相连，形成“工”字形活塞，它把整个气缸分隔成三个气室，其中I、Ⅲ室密闭摩尔数分别为ν和2ν的同种理想气体，两个气室内都有电加热器；Ⅱ室的缸壁上开有一小孔，与大气相通；

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1 mol该种气体内能为CT(C是气体摩尔热容量，T是气体的绝对温度)。当三个气室中气体的温度均为T1时，“工\字形活塞在气缸中恰好在图所示的位置处于平衡状态，这时I室内气柱长亦为l，Ⅱ室内空气的摩3

尔数为ν0 ．已知大气压不变，气缸壁和活塞都是绝热的，不计活塞与气缸之间的摩擦。现通过电热器对

2I、Ⅲ两室中的气体缓慢加热，直至I室内气体的温度升为其初始状态温度的2倍时，活塞左移距离d．已知理想气体常量为R．求

(1)Ⅲ室内气体初态气柱的长度； (2)Ⅲ室内气体末态的温度；

(3)此过程中I、Ⅲ室密闭气体吸收的总热量。 【名师解析】

(1)设大气压强为p0．初态：I室内气体压强为p1；III室内气体压强为p3，气柱的长度为l3． 末态：I室内气体压强为p1′；III室内气体压强为p3′．学……科网 由初态到末态：活塞左移距离为d．

首先用整体法，力学平衡： p3(2S)= p1S+ p0(2S－S)

ll3

然后对三部分气体分别分析：p1lS=νRT1； p0(×S+×2S)=ν0RT1 ； p3l3(2S)=(2ν)RT1

222

νRT1ν0RT1νRT12ν

联立上述各式得：·2S =·S +·S 得：l3=l

l3SlSlS ν+ν0(2)方法同第(1)小题：p3′(2S)= p1′S+ p0(2S－S)

对I室中气体：p1′(l－d)S=νRT2=νR2T1 对III室中气体：p3′(l3+d)(2S)=(2ν)RT3′

T3′=

2νl+(ν+ν0)dν0l－d · (1+ ·)T1

(l－d)(ν+ν0)2νl(3)大气对密闭气体系统做的功为：W=p0(2S－S)(－d)=－p0Sd=－ν0RT1

系统密闭气体内能增加量为： ΔU=νC(T1′－T1)+ (2ν)C(T3′－T3) 且初态T3= T1 故ΔU=νC(2T3′－T1)

2νl+(ν+ν0)dν0l－d将T3′代去得：ΔU=[ · (2+ ·)－1]νCT1

(l－d)(ν+ν0)νl密闭气体系统吸收的热量为

dl第 8 页 共 13 页

Q=ΔU－W=[

2νl+(ν+ν0)dν0l－dd · (2+ ·)－1]νCT1+ ν0RT1

(l－d)(ν+ν0)νll14．(20分)把沿x方向通有电流(x方向的电场强度为Ex)的长方体形的半导体材料，放在沿z方向的匀强磁场中，半导体材料的六个表面分别与相应的坐标平面平行；磁感应强度大小为Bx．在垂直于电场和磁场的+y或－y方向将产生一个横向电场Ey，这个现象称为霍尔效应，由霍尔效应产生的电场称为霍尔电场。实验表明霍尔电场Ey与电流的电流密度Jx和磁感应强度Bx的乘积成正比，即Ey=RHJxBz，比例系数RH称为霍尔系数。

某半导体材料样品中有两种载流子：空穴和电子；空穴和电子在单位电场下的平均速度(即载流子的平均速度与电场成正比的比例系数)分别为μp和－μn，空穴和电子的数密度分别为p和n，电荷分别为e和一e．试确定该半导体材料的霍尔系数。 【名师解析】

为确定起见，取坐标系如图所示，磁场沿Z方向，通电电流密度Jx沿x方向。设半导体材料中的载流子空穴和电子沿x方向的平均速率分别为vpx 和vnx，

由J=I/s，I=nqvs，得J=nqv 由题中已知条件知：空穴和电子的(单位体积内的)数密度为p和n； 故沿x方向的电流密度为Jx=ep vpx +(－e)n(－vnx) 由题意知，其中 vpx=μpEx ；－vnx=－μnEx

设两种载流子的横向平均速率分别为vpy 和vny，则横向电流密度为

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Jy=ep(－vpy)+(－e)n(－vny)

这时，空穴在横向受到的作用力大小为：Fpy=e[Ey－vpxBz]；这时的力是合力，其中[Ey－vpxBz]是等效合场强； 同理：电子在横向受到的作用力的大小为：Fny=(－e)[Ey－(－vnx)Bz]；其中[Ey－(－vnx)Bz]是等效合场强； 故两种载流子的横向平均速度为：－vpy=μp·Ey合=μp·[Ey－vpxBz] －vny=－μp·E′y合=－μn·[Ey+vnxBz]

pμp2－nμn2霍尔电场达到稳定时有 Jy=0 综上各式：Ey=ExBz

(pμp+nμn)

1pμp－nμn因为：Ey=RHJxBz 得RH=

e(pμp+nμn)2

15．(20分)某根水平固定的长滑竿上有n(n≥3)个质量相同的滑扣(即可以滑动的圆环)，每相邻的两个滑扣(极薄)之间有不可伸长的柔软轻质细线相连，细线长度均为L，滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒为滑扣对滑竿正压力大小的μ倍。开始时所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互挤压)；今给第1个滑扣一个初速度使其在滑竿上开始向左滑行(平动)；在滑扣滑行的过程中，前、后滑扣之间的细线拉紧后都以共同的速度向前滑行，但最后一个(即第n个)滑扣固定在滑竿边缘。已知从第1个滑扣开始的(n一1)个滑扣相互之间都依次拉紧，继续滑行距离l(0

[来源:学+科+网][来源:学#科#网Z#X#X#K]22

(2)整个过程中克服摩擦力所做的功；

(3)整个过程中仅仅由于细线拉紧引起的总动能损失。 【名师解析】

(1)为普遍起见，设两个物体质量分别为m1和m2，初速度分别为v1和0，发生完全非弹性碰撞后共同速度为

v，则碰前的动能 E=mv12 ①

由于细绳拉紧前后时间间隔极短，可以忽略摩擦阻力，故前后动量守恒，有 m1v1=(m1+m2)v ② 12

碰后的动能之和(即系统剩余动能)为： E′=(m1+m2)v ③

2由①②③式得 E′=

[来源:学科网]12

m1

E ④ [此式为后续计算的通式，后续计算特别简单，因为质量相等。] m1+m2

m2

E m1+m2

损失的动能为 ΔE=E－E′=

12

设第1个滑扣以速度v10开始运动 E0=mv10 ⑤

2

在第1个滑扣滑动距离L、第1与第2个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E1f=E0－μmgL ⑥

在第1个滑扣与第2个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬前，系统剩余动能为(根据④式)

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E20=

111

E1f = E1f =(E0－μmgL) ⑦ 1+122

在第1、2、3个滑扣共同滑动距离L、第3与第4个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为 E3f=E302112211222

－3μmgL=[E0－(1+2)μmgL]－3μmgL = E0－(1+2+3)μmgL ⑩

32233……

依次类推，在第k个与第k+1个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为 1111k(k+1)(2k+1)

Ekf= E0－(12+22+32+……+k2)μmgL = E0－ μmgL

kkkk61(k+1)(2k+1)=E0－ μmgL， 1≤k≤n－2 k6

于是，在第(n－2)个与第(n－1)个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E(n－2)f = E0－

n－2

1

(n－1)(2n－3)

μmgL ⑾

6

在第(n－2)个与第(n－1)个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬间，系统剩余动能为

n－21(n－2)(2n－3)

E(n－1)0= E(n－2)f = E0－ μmgL ⑿ [可类比⑦、⑨，并代入⑾得到]

n－1n－16

[由⑾知，E(n－2)f >0，

1(n－1)(2n－3)

E0－ μmgL>0； n－26

E(n－1)f <0，E0－

n－2

得

1

(n－1)(2n－3)

μmgL<0，

6

(n－1)(n－2)(2n－3)n(n－1)(2n－1)

μmgL

66

定义域]

则从第1个滑扣开始的(n－1)个滑扣都依次拉紧，且可继续滑行距离l(0

E(n－1)0=

1(n－2)(2n－3)E0－ μmgL=(n－1) μmgl (因为要继续滑行距离l) ⒀ n－16

[

(n－2)(2n－3)

L+2(n－1)l](n－1) μg

3

由⑤⒀ 得：v10=

(2)整个过程中克服摩擦力所做的功为

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W=μmgL+μ(2m)gL+μ(3m)gL+……+μ[(n－2)m]gL+μ[(n－1)m]gl=[

(3)在整个过程中仅仅由于细线拉紧引起的总能量损失为

(n－2)

L+l](n－1) μmg 2

121(n－2)(2n－3)(n－2)ΔE=mv －W =[L+2(n－1)l](n－1) μmg －[L+l](n－1) μmg

210232(n－2)(n－3) =[L+(n－2)l](n－1) μmg 学&科网

3

16．(20分)如图，两劲度系数均为k的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上，下端悬挂一质量为m的小物块。平衡时，轻弹性绳与水平面的夹角为α0，弹性绳长度为l0．现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放。

(1)证明小物块做简谐振动；

(2)若k=0.50N/m、m=50g、α0=30°、l0=2.0m，重力加速度g=9.8 m/s。，求小物块做简谐振动的周期T； (3)当小物块下拉的距离为0.010m时，写出此后该小物块相对于平衡位置的偏离随时间变化的方程。已知：11

当x<<1时， ≈1－x ，1+x ≈1+x ．

1+x2【名师解析】

④代入② 展开，化简得：l=

2

lcos2α0+lsin2α0+y2+2l0ysinα0

l+2l0ysinα0 =l0

2

0

1+2y2020

由于y是小量，y是二阶无穷小量，可略去。得 l=

l0

sinα0

1y由小量展开式：当x<<1时， 1+x ≈1+x ，知l=l0[1+ sinα0]=l0+ysinα0 ⑤

2l0

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将⑤代入③，得 sinα=

l0sinα0+y1

，由 当x<<1时， ≈1－x ，知

l0+ysinα01+xl0

1y22

sinα=(l0sinα0+y)[(1－sinα0)]? l0sinα= l0sinα0+y－y sinα0－(y/l0)sinα0

l0

且 忽略y项，? l0sinα= l0sinα0+ycosα即 sinα= sinα0+(y/l0)cosα

2

0

22

0

⑥

当小物块处在平衡位置时有 mg=2k(l0－L)sinα0 即 L =l0－

mg2ksinα

⑦

0

[来源:学&科&网]

2

⑤⑥⑦(代去l，L，sinα)代入① 得：ma=mg－2k[l0+ysinα0－l0+ ][ sinα0+(y/l0)cosα0 ]

2ksinα0

mgmgy2mgycos2α022

ma=mg－2k[ysinα0+ + sinα0cosα0 + ] 略去y项

2kl02kl0sinα0

2

mgcos2α0

ma=－(2ksinα0+ )y 由简谐运动的特征方程知：F回=－Ky

l0sinα0

2

mgcos2α0

所以 K=(2ksinα0+ )

l0sinα0

2

由此，物体的运动满足简谐运动的特征方程。因此，当y很小时，小物块做简谐运动。 (2)小物块做简谐运动的周期为

T=2π

m = K 2π

2k2gcosαsinα0+ ml0sinα

2

0

⑧

0

将题给数据代入 ⑧ 得 T=1.8s

(3)因将小物块拉开距离y0=0.010m 时从静止松手，故小物块做简谐振动的振幅为 A=0.010m 初始时，小物块速度为零，小物块位于最大振幅处，其初相位为 φ0=0 ⑨ 2π

圆频率为 ω0==3.5rad/s

T故在国际单位制中，小物块做简谐振动的方程为

y=0.010×cos(3.5×t)。

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