线性矩阵不等式的LMI工具箱求解

一、线性矩阵不等式的LMI工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP）

1、可行性问题描述

系统状态方程：

?x1?x?2??x3??0???0??????-41?200??1??1???x1?x?2??x3??0?????0?u? ???????4??在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P，使得：

AP+PA=?Q

成立，其中Q为正定矩阵。

那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：

TAP+PA<0

这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB的LMI工具箱进行判断。

T2、仿真所需要用到的命令

setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；

lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS；

X = dec2mat(LMISYS,DECVARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。

[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin大于0时，表明LMI系统不可行，P阵无解，系统不稳定，tmin小于0时，便可以用dec2mat函

数求解出P矩阵。

3、仿真结果

可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。得：

（二）特征值问题(EVP)

1、EVP问题描述

该问题对应矩阵工具箱中的LMI约束的线性目标函数最小化优化问题。一般采用mincx求解器求解。

考虑这样一个优化问题：

min Trace(X)s.t. AX?XA?XBBX?Q?0TT

其中：

?5?A?0???7?3684??2??1????7; B?3; Q??5?????1??43??????56?24???2. ??28??2、仿真用到的命令

DECVARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；

[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt返回全局最优的决策变量,xopt返回决策变量的最优解。相应的矩阵变量的最优解可以用函数dec2mat从xopt得到。

evlmi=evallmi(LMIs,xopt)：对给定的决策变量xopt，求取系统的值； [lhs,rhs]=showlmi(evlmi,1)：显示第一个线性矩阵不等式的左边和右边的矩阵值。这个不等式的成立与否可以通过eig(lhs-rhs)来检验。如果返回的结果是负定的，那么表示xopt满足第一个线性矩阵不等式。

3、仿真结果

下面给出EVP优化问题的分析结果：

可以看到，flag为负定，说明Xopt是要求的矩阵不等式的解。

（三）广义特征值问题（GEVP）

1、问题描述

广义特征值问题一般是用来寻找一个最小的λ，使得其满足下面的矩阵不等式组：

C(x)?D(x)0?B(x)A(x)??B(x)

假设有如下的三个系统：

x(t)?Aix(t), (i?1,2,3)

其中，Ai, (i?1,2,3)分别为：

2???0.8, A?2???3??1.31.5???1.4, A?3???2.7??0.7T??1A1???10.9??. ?2?要求寻找一个单一的lyapunov函数V同时要求衰减率-dV(x)dtmin ?(x)?xPx来验证给定的三个系统的稳定性，

最大化。这样的一个问题等价于如下的优化问题：

s.t. I?P A1P?PA1??P A2P?PA2??P A3P?PA3??PTTT

2、仿真用到的命令

[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)：用于求解广义特征值的线性矩阵不等式问题；

、仿真结果

3

由仿真结果可以看出，得到的alpha=-0.122是给问题的最优值，因此相应的最大衰减率是0.122，最优解如仿真结果中的Popt所示。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zyy2.html