考研经典数学讲义第八章多元函数微分法

多元函数微分法

第八章 多元函数微分法一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学

注意: 善于类比, 区别异同.1

多元函数微分法

一、基本概念1. 多元函数 (1) 区域 邻域 : U ( P0 ,δ), U ( P0 ,δ) 区域 连通的开集n

y

o

P0x

z

R 空间 {( x1 , x2 xn ) xi R}

(2) 多元函数概念 定义域及对应规律 n 元函数 u f ( P ) f ( x1 , x2 , , xn )

z x2 y2

P D R常用

n

x

y

二元函数 z f ( x , y ) (图形一般为空间曲面) 三元函数u f ( x , y, z ) (无几何直观)2

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arcsin( 3 x 2 y 2 ) 的定义域. 例1. 求 f ( x , y ) 2 x y

3 x2 y2 1 2 x 2 y 2 4 解: 2 2 x y 0 x y 所求定义域为:

y x

o

2

D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.例2.设 f ( x , y )

2

解: f (4, ) 4sin 2, 2 2

x sin y , 求f (4, )、f ( x y , x y ). 2

f ( x y, x y ) ( x y)sin( x y).3

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2. 多元函数的极限 (1)定义：设函数 z f ( x, y ) 的定义域为D, P0 ( x0 , y0 )是D 描述性定义

对于二元函数 z f ( x , y ), 0 ( x0 , 总存在正数 , 使 的聚点. 如果对于任意给定的正数, y0 )是定义域D的聚点 P0 0 0

( x, y 无限接近 当P( x, y) P0 ( x0 , y0 )0 对应的函数值)2f ( y )y )2 PP 得对于适合不等式 时， ( x x

于一个确定的常数A, 都有 f ((x,, y ) A x0 , y成立， 的一切点 P( x, y ) D, 则称A为 x y) ( 0 )时，函数 z f ( x , y ) 的极限 记为： lim x ) z f ( xx,,y)) ( x(,x,) yf) ( x,(y ) , yA,时的极限. 则称常数A为函数 ( y 当 y0 0

0

0

记为： lim

( x , y ) ( x0 , y0 )

f ( x, y ) A, 或 lim f ( x , y ) A, x xy y00

lim 或记为 f ( x , y ) A ( 0), 或 P P f ( P ) A,0

或f ( P ) A,( P P0 ),这里 PP0 ( x x0 ) ( y y0 ) .2 24

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(2)二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系 ①不同点： P P0 的方式(路径)不同 一元函数 P P0 ( x x0 ) 的方式有两种，故有 f ( x0 ) f ( x0 ) A lim f ( x ) A 二元函数极限 P P0 的方式是任意的，有无数个.( x , y ) ( x0 , y0 )x x0

lim

f ( x, y ) A 沿任何路径 P P0时极限存在且相等

确定二元函数极限不存在的方法： ☆令P(x,y)沿y=kx趋向于P0 ( x0 , y0 ), 若极限值与k有关， 则可断言极限不存在； 使 ( x ☆找两种不同趋近方式， ( x , y )lim , y ) f ( x, y ) 存在，0 0

但两者不相等， 或有的极限不存在， 此时也可断言f(x,y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在.5

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②共同点： ●在点 P 是否有定义并不影响极限是否存在， 0 即有

定义 与有极限不能互相推出. ●定义方式相同. 故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到 多元函数中. 用定义只能证明极限.③联系： 由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同. 所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有 界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概 念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价

无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来. 但一元函数极限的充要条件及洛必达法则不能用 于多元函数极限上.6

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例3.考察函数 xy , 2 2 f ( x, y) x y 0, x 2 y 2 0, x 2 y 2 0.

在原点的二重极限.

lim 解: 当点P ( x , y )沿x轴趋于点(0, 0)时， f ( x , y ) 0;

当点P ( x , y )沿y轴趋于(0, 0)时， f ( x , y ) 0; limy 0 x 0

x 0 y 0

但是，P( x, y )沿直线y x趋于(0,0)时xy x2 1 lim f ( x , y ) lim 2 lim 2 , 2 2 x 0 x 0 x y x 0 x x 2y x 0

y x 0

(x,y ) (0,0)

lim

f ( x , y )不存在.7

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sin( x 2 y ) . 例4. 求极限 lim 2 2 x 0 x y y 0

1 2 xy ( x y 2 ) 2

sin( x 2 y ) x 2 y sin( x y ) 解: lim 2 lim[ 2 ], 2 2 2 x 0 x 0 x y x y x y y 0 y 02

sin( x 2 y ) u x 2 y sin u 1(或用等价无穷小代换) lim 其中 lim 2 x 0 u 0 u x y y 0

x2 y x2 y 1 0. 0 2 x x 0 0, lim 2 2 2 x 0 x y 2 y 0 x y x2 y lim 2 0 lim f ( x ) 0 lim f ( x ) 0 2 x 0 x x0 x x0 y 0 x y

sin( x y ) lim 2 0. 2 x 0 x y y 0

2

x x0

lim f ( x ) a lim f ( x ) ax x08

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3. 多元函数的连续 (1)定义： 设函数z=f(x,y)的定义域为D,聚点 P0 ( x0 , y0 ) D

若 lim f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 则称函数z=f(x,y)在 P0 处连续.x x0 y y0

若令 x x0 x, y y0 y, 记 z f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ),

lim 则 x x f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) lim z 0.0 y y0

x 0 y 0

lim u f ( P )在P0点连续 P P f ( P ) f ( P0 )0

(2)间断点： 设 P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P ) 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f (P ) 的间断点.9

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xy , 2 2 例如, 函数 f ( x , y ) x y 0 ,

x2 y2 0 x2 y2 0

在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.又如, 函数 在圆周 x y 1上间断.2 2

(3)多元初等函数： 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过 有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子 所表示的多元函数， 叫多元初等函数.

z 如： x sin xy, z ln( x 2 y 2 1),

z e sin x cos y, z sin x10

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定理: 一切多元初

等函数在其定义区域内是连续的.定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. (4)多元函数连续性的应用----求极限lim 如果f(P)是初等函数， P0 是f(P)的 且 求P P f ( P ) 时，

定义域的内点， 则f(P)在点 P0 处连续 lim f ( P ) f ( P0 ). P Px y . 例5. 求 lim x 1 xy y 20

0

x y 是二元初等函数， 解: 函数 f ( x , y ) xy (1, 2) D ( x, y ) xy 0 x y 1 2 3 lim f (1,2) . x 1 xy 1 2 2 y 211

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f ( x x , y ) f ( x , y ) lim , (1)定义：f x ( x , y ) x 0 x f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) lim , y 0 y

4. 多元函数的偏导数

f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x

f x ( x, y ) x x0y y0

f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) f y ( x0 , y0 ) lim0 y y

f y ( x, y) x x0y y012

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(2)多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点： 连续 可导 含 偏导记号已不再有“商”的义. (3)多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点： 定义方式相同. 故多元函数偏导的求法与一元函数类似. 因此, 可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用. (4)偏导及高阶偏导的记号： 2 z z 2z ( ) f x x ( x , y ); ( z ) f x y ( x , y ); 2 x x x y x x y f12 ( x, y) 2 z 2z z z f y x ( x , y ). ( ) ( ) f y y ( x , y ); 2 x y y x y y y 混合偏导 纯偏导13

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xy 2 2 例6. 设f ( x, y ) x y 0

( x, y ) (0,0) 求 ， f x (0, 0), f y (0, 0). ( x, y ) (0,0)

提示：求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求. 解: 由定义可知： 0 f ( x ,0) f (0,0) lim lim 0, f x (0,0) x 0 x 0 x x f (0, y ) f (0,0) 0 (0,0) lim fy lim 0. y 0 y y 0 y练习： f ( x , y ) e 已知 的情况是( B )(C ) f x (0, 0)存在, f y (0, 0)不存在,x 2 y4

, 则函数在原点偏导数存在(08数学三)

( A) f x (0, 0), f y (0, 0)都存在， ( B ) f x (0, 0)不存在, f y (0, 0)存在, ( D) f x (0, 0), f y (0, 0)都不存在.14

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5. 多元函数的全微分 (1)可微的定义: 对于二元函数 z f ( x , y )●可微

z A x B y ( )

能

( x )2 ( y )2

z ( A x B y ) ( )f ( x x , y y ) f ( x , y ) ( A x B y ) 是 lim 0 2 2 x 0 ( x ) ( y ) y 0

是

z z ●微分：z f ( x , y ), dz dx dy x y u u u u f ( x, y, z ), du dx dy dz . x y z●全微分的实质：

z dz

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(2)多元函数连续、可导、可微的关系 极限

存在 函数连续 偏导数存在 有定义 连续 函数可导 可微分 偏导数连续

函数可微 (3) 判定函数可微的方法: ★ 不连续 不可微.

★ 不可导 不可微. 偏导数连续 ★偏导连续 可微. ★定义法: f ( x x , y y ) f ( x , y ) ( f x x f y y ) 是 lim 0 可微 x 0 ( x ) 2 ( y ) 2 y 016

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例7. 函数 z f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 )可微的充分条件是( D )

( A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续 ;

? 可微

( B ) f x ( x , y ), f y ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在 ;

(C ) z f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y当 ( x )2 ( y )2 0 时是无穷小量 ;( D) z f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y ( x )2 ( y )2

当 ( x ) ( y ) 0时是无穷小量 .2 2

) z A f x x , ) x ( y ( 可微 是 0 可微 x ( B y y f ) x , y 是 y lim f x ( x, y) x f y ( x, y) y ( ) 可微 z0 2 2 x ( x ) ( y ) y 0能z 17

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1. 如果函数f ( x, y)在(0,0)点处连续,那么下列命题正确的是( B )

f ( x, y ) ( A) 若极限 lim 存在,则f ( x, y )在(0,0)点处可微， x 0 x y y 0 f ( x, y) ( B )若极限 lim 2 存在,则f ( x , y )在(0, 0)点处可微， 2 x 0 x y y 0 f ( x, y ) (C ) 若f ( x , y )在(0,0)点处可微,则极限 lim 存在， x 0 x y y 0 f ( x, y ) ( D)若f ( x , y )在(0, 0)点处可微,则极限 lim 2 存在. 2 x 0 x y y 02. 设连续函数z f ( x , y )满足 lim则 dz (0,1) 2dx dyx 0 y 1

(12数学一)

f ( x, y ) 2 x y 2 x ( y 1)2 2

0,

(12数学三)18

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(4)几个需要记住的重要函数(反例): xy x2 y2 0 x2 y2 1)函数 f ( x , y ) 0 x2 y2 0 它在(0,0)处可导,不可微,不连续. 2)函数 f ( x , y ) x2 y2

它在(0,0)处不可微、不可导、连续.xy

3)函数 f ( x , y )

x2 y2

, x2 y2 0

0,

x2 y2 019

它在(0,0)处连续,可导,不可微.

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xy

例8. 讨论函数 f ( x , y )

0, x y 0 在原点处连续、可导、不可微.2 2

x2 y2

, x2 y2 0

1 2 解: (1) xy ( x y 2 ) 2 xy 1 2 0 x y2 0 x2 y2 2 xy lim f ( x , y ) lim 2 0 f (0, 0) 2 x 0 x 0 x y y 0 y 0

所以，所给函数在(0,0)处连续.(2) f x (0,0)

同理 f y (0,0)=020

多元函数微分法

xy

例8. 讨论函数 f ( x , y )

x2 y2

, x2 y2 0

0,

x2 y2 0

在原点处连续、可导、不可微.解: (2)由导数的定义知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 ,( 3) lim z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ] ( x ) 2 ( y ) 2 x 0 y 0

x y lim x 0 ( x )2 ( y )2 y 0

z f (0 P ( x, )沿着直线 如果考虑点

x,0 yy) f (0,0) y x 趋近于(0,0), 1 x y x x 则 lim lim , 2 2 x 0 ( x )2 ( y )2 x 0 ( x ) ( x ) 2 y xx 0 可微 0 lim y

lim

z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ] x 0 y 0

f ( x x , y y2) f ( x , y ( f x x f y y ) )0 2( x ) ( y )

故函数在点( 0,0)处不可微.

( x ) 2 ( y ) 2

021

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